集體的力量大
——《植樹問題》教學中數學模型的構建

李紅霞

（山東省日照市東港區日照河山實驗學校，山東 日照）

我們在教學《植樹問題》這節課時從以下幾個環節對構建數學模型進行了嘗試：

一、創設現實情境，提出疑問——喚起植樹問題的生活經驗

1.春暖花開，天氣轉暖，學校打算在校園里種植一批樹苗，分配給我班四個植樹地點。A點是一條全長30米的小路；B點也是30米，不過是在兩排教室之間；C點還是30米，這30米在教學樓前；D點是學校的圓形花壇，周長是30米。我們要求每兩棵樹之間的間隔是5米。植樹之前需要大家先規劃一下四個地點分別需要多少棵樹苗。四個植樹地點正好分給A、B、C、D四個學習小組。我們給學生提供一張學習卡，讓學生可以擺一擺，也可以畫一畫，在操作時把問題填完整，告訴老師自己小組需要的樹苗棵數，并且把思路用算式表示出來。

設計說明：創設情境從熟悉的校園入手，分配給學生具體可行的任務，讓學生有明確的探究方向，活動要求具體詳細化，為學生有效地操作規劃奠定基礎。

2.學生在操作的過程中，找到了需要的棵數，發現同樣是30米的長度，兩棵樹之間的間隔都是5米，需要的棵數卻不相同。然后，組織學生組內交流，看看這里面究竟有什么奧秘？

設計說明：學生在觀察各組的計算結果時發現問題，提出疑問，在尋找原因解疑的過程中，組內進行第一次思維的碰撞。

3.根據學生的匯報，總結出植樹的四種情況，邊分析邊板書。

A為兩端都栽，B是兩端都不栽，而C是只栽一端，D則是一個封閉圖形。我們可以得出，植樹的棵數與路段的形狀和兩端情況都有關系。總結剛才在觀察的時候用了對比的方法，對比是解決數學問題時重要的方法。

二、分析整理信息，深入探究——構建植樹問題的知識模型

1.對比的過程中有不同就會有相同，我們在引導學生尋找新的不同點時，發現算式中都有一個30除以5，而這求的就是間隔數，觀察四個組的算式，大家大致都認為間隔數會和棵數有關，那么到底有什么關系？讓學生再次進行分組交流。

設計說明：充分發揮學生的主體能動性，讓學生在對比中繼續發現問題，有了新的思考方向，進行第二次思維的碰撞。

2.學生分組匯報。A組匯報之后在集體驗證中總結出兩端都栽時的關系式：棵數=間隔數+1。

通過A兩端都栽時，棵數和間隔數之間的關系，又結合課件的直觀演示，學生進一步推理出另外三種情況下棵數和間隔數之間的關系，培養學生的推理能力。

3.師總結：把我們分組研究的四種情況綜合起來，就是一個很有名的數學問題（板書：植樹問題）。這么有名的數學問題，如果是一個人研究可能很困難，但依靠我們班集體的力量就輕松解決了，為自己的精彩表現鼓鼓掌吧！

設計說明：強調團隊的力量，讓學生在為順利解決問題的同時，感受到團結協作的重要性。

4.讓學生再來對照課件回顧一下植樹問題的四種情況。

設計說明：把植樹問題的規律抽象概括出來后，讓學生通過集體梳理，把知識系統化、整體化，從而完成植樹問題的知識模型的建立。

三、解決問題，應用知識模型——構建植樹問題的思維模型

設計分層練習，基礎達標一：判斷對錯。

1.在全長60米的小路栽樹，每隔3米栽一棵（兩端都栽），一共要栽20棵樹。（ ）

設計說明：在引導中向學生滲透解決植樹問題時的思考順序，讓學生感悟解決植樹問題的模型。

2.有一條長100米的石子路，在石子路的一邊每隔2米栽一棵樹（只栽一端），需要準備50棵樹。（ ）

3.在相距60米的兩樓之間栽樹，每隔3米栽一棵，共栽20棵。（ ）

提煉思維模型，（板書：思維）讓學生用這個思維模型來繼續挑戰。

4.一個池塘的周長為120米，沿池塘周圍每隔4米栽一棵柳樹，可以栽多少棵？（ ）

A.29棵 B.30棵 C.31棵

5.花園小區兩座樓房之間相距40米，物業公司每隔4米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？（ ）

A.8棵 B.9棵 C.10棵

設計說明：做完一道題后，及時進行引導，歸納思考的順序，幫助學生梳理解決植樹問題的一般方法。

四、拓展延伸，應用思維模型——體驗數學的價值

我們總結植樹問題的規律，除了能解決植樹問題，它和我們的生活也有著密切的聯系。讓大家用剛才總結的思維模型來解決這些實際問題。（課件示練習題）

1.出示距離問題：在圓形花壇的周圍每隔3米擺一盆菊花，共擺了10盆，花壇的周長是多少米？

引導用思維模型分析思路。

2.出示車站問題：二路公共汽車行駛路線全長24千米，相鄰兩站的距離是3千米。一共有幾個車站？

引導學生不要忙著計算，先判斷屬于植樹問題的哪種情況，再想想棵數和間隔數的關系，間隔數是幾個？最后計算。

3.出示鋸木頭問題：一根木頭長20米，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？

讓學生充分討論這究竟屬于植樹問題的哪種情況，在辯論中得到答案。分析誰相當于小樹？誰看做是間隔的長度？

五、回顧整理，總結提升——集體的力量大

今天的研究快要結束了？你有什么收獲？

大家依靠團隊的力量不僅總結出了植樹問題的知識模型，而且建立了解決這類問題的思維模型集體的力量就是大。

設計說明：在升華中讓學生再一次感悟建立數學模型的重要性和實用性。