考慮幾何偏差及重力影響的單層網殼沖擊相似律研究

鐘渝楷， 姜正榮， 姚小虎， 石開榮， 羅 斌

(1. 華南理工大學 建筑設計研究院， 廣州 510640; 2. 華南理工大學 土木與交通學院， 廣州 510640;3. 華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室， 廣州 510640; 4. 東南大學 土木工程學院， 南京 211189)

網殼結構造型優美，輕巧且剛度大，目前被廣泛應用于體育場館等大型公共建筑，由于覆蓋空間大，可容納幾千人甚至上萬人，故其安全性極其重要。一旦發生恐怖襲擊或意外爆炸沖擊等，會造成巨大的人員財產損失和社會恐慌。因此，對該結構的沖擊動態響應研究十分必要。

目前，國內研究已取得較大進展。郭可[1]率先對K8型單層網殼在頂點沖擊載荷下的動力響應進行試驗研究。王多智等[2-4]利用數值模擬對K8型單層網殼進行了較全面的參數研究，并用試驗驗證了有限元模型的可靠性。王秀麗等對帶下部支承結構的K6型單層網殼進行模型試驗和數值模擬，得到響應規律和參數影響關系[5-7]；同時研究單層網殼臨界沖擊動能，獲得擬合公式[8]。丁北斗等[9]通過試驗研究單層網殼動態響應及失穩。然而，上述模型試驗主要集中于數值方法的驗證，并未涉及相似律的研究。由于工藝的限制或避免材料特性發生變化，工廠制作小模型構件時往往會出現幾何偏差；實際試驗時，模型和原型均受重力作用，其影響不可忽略，故對計及幾何偏差和重力影響的相似律研究具有重要意義。

本文對凱威特-聯方型混合網格單層網殼在頂點受沖擊物沖擊的相似律進行研究，考慮材料應變率效應、幾何偏差和重力影響等因素，推導原型與模型的相似關系。采用非線性有限元軟件LS-DYNA建立與已有文獻相同的模型，驗證數值方法的可靠性。此外，進行兩例算例分析，在考慮應變率效應的基礎上，分別考慮幾何偏差和同時考慮幾何偏差及重力影響，驗證相似律分析結果的正確性及可操作性。

1 網殼沖擊相似律

若模型和原型沖擊姿態和邊界條件相同，且同時忽略碰撞過程中的熱效應，則網殼頂點受沖擊物沖擊時的位移w可表示為

w=f(aq,aq1,…,aqn,ρq,Eq,νq,Yq;D,t,l,δ,ρ,E,ν,Y;vq)

(1)

式中：aq,aq1,…,aqn為沖擊物尺寸；ρq、Eq、νq和Yq分別為沖擊物質量密度、彈性模量、泊松比和動態屈服強度；D和t分別為網殼鋼管直徑、壁厚；l和δ分別為網殼跨度和矢高；ρ、E、ν和Y分別為網殼桿件質量密度、彈性模量、泊松比和動態屈服強度；vq為沖擊物速度。

以沖擊物質量密度ρq、網殼跨度l和動態屈服強度Y為基本物理量，式(1)可化為無量綱函數關系

(2)

考慮模型和原型幾何相似且均采用鋼材，忽略彈性模量變化，式(2)可簡化為

(3)

與模型和原型相關的物理量分別用下標m和p表示，βK=Km/Kp表示模型和原型相關物理量的比值。令Π=vq/(Y/ρq)1/2，若模型和原型滿足相似關系，需Πm=Πp，得

(4)

材料在沖擊下需考慮應變率效應，可用Cowper-Symonds模型表示[10]

(5)

將式(5)代入式(4)，得

(6)

(7a)

(7b)

由于模型和原型均采用鋼材，故ρ和Ys相同，將式(7a)和式(7a)代入式(6)，得

(8)

表1為下文分析模型(幾何比1∶10，跨度6 m、矢高1 m的凱威特-聯方型單層網殼)在不同沖擊速度下βvq的值，其中數值結果由數值模擬得到的應變率代入式(8)所得，近似結果由沖擊速度和結構特征長度的比值得到的應變率代入式(8)所得。可以看到，兩者極為相近，說明后者是可靠的。因為近似結果可通過計算直接得到，不需通過試驗或數值模擬，故下文分析采用近似結果。

1.1 考慮幾何偏差影響的相似關系

模型(特別是小比例模型)的構件尺寸往往很小，由于制作工藝及條件限制，工廠生產的模型構件往往某個方向的尺寸被整體縮放，從而出現幾何偏差，或為避免制作過程導致材料特性發生變化，特意放大模型尺寸。圖1所示，幾何比1/2的模型中，桿件的壁厚并未遵循1/2縮小，出現幾何偏差。

表1βvq數值模擬與近似結果對比

Tab.1Comparisonofβvqbetweennumericalsimulationandapproximateresults

沖擊速度/(m·s-1)數值結果近似結果誤差/%51.05561.06600.99101.06061.07341.21201.06991.08131.07301.08051.08610.52401.09081.0897-0.10601.09601.0947-0.12

圖1 桿件壁厚偏差

文獻[14]引入f2=f(βX/βl)=(βX/βl)nv來考慮幾何偏差的影響，其中βX=Xm/Xp為模型出現幾何偏差部位與原型的幾何之比，nv為指數，通過計算得到。由此，考慮幾何偏差的速度比

(9)

1.2 考慮重力影響的相似關系

在沖擊荷載作用下，網殼的重力影響不能忽略，式(3)添加高度項和重力項

(10)

式中：h為沖擊物所處高度，g為重力加速度，其他參數與前文一致。令Π1=h/l，Π2=gρql/Y。

由于原型與模型重力場一致，即βg=1。

由(Π2)m=(Π2)p，得

βY=βlβρq

(11)

將式(11)代入式(4)，得速度比

(12)

由式(11)得質量密度比

(13)

由式(13)可知，由于βl≠1且βY≠1，且一般βl≠βY，故βρq≠1，這表明要滿足相似關系，需原型與模型質量密度不同。為方便起見，模型仍采用與原型相同的材料(如鋼材)，通過配重來變相滿足質量密度比的要求，網殼通過添加節點質量，沖擊物通過增大高度方向尺寸實現配重，從而滿足相似關系[15]。

(14)

(15)

式中：Mp為原型的質量；Mm為模型的質量。

2 數值模擬驗證

2.1 有限元模型的驗證與分析模型的建立

對郭可的網殼沖擊試驗進行數值模擬對比驗證。試驗模型為K8型單層網殼，跨度1 202 mm，矢高248.7 mm，曲率半徑850 mm，劃分為4頻；桿件采用直徑4 mm的鋼絲，節點取20 mm鋼球，沖擊物為0.35 kg長方體落錘，尺寸0.1 m×0.1 m×0.02 m，受重力作用自由落體沖擊網殼頂點，下落高度分別為1 m和1.5 m，如圖2所示。

采用LS-DYNA建立有限元模型。桿件采用BEAM161單元，每根桿件劃分為3個單元，本構關系采用分段線性塑性模型“MAT_PIECEWISE_ LINEAR_PLASTICITY”，質量密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比ν=0.3，彈性模量E=206 GPa，屈服強度235 MPa，失效應變0.25，強化系數a=40 s-1，b=5。沖擊物采用SOLID165單元，本構關系采用剛體“MAT_RIGID”，材料基本參數與桿件一致。球節點采用質量單元MASS166施加在各節點，整個模型施加重力加速度場，方向豎直向下。沖擊物與網殼接觸采用點面接觸(NODE-TO-SURFACE)。

試驗中測量7根桿件軸力(見圖3)、沖擊接觸力峰值和接觸時間。數值模擬值和試驗值的對比分別如表2～表4所示。

(a)俯視圖(b)側視圖

圖2 試驗模型

Fig.2 Experimental model

圖3 測量桿件

桿件編號試驗值/N數值模擬值/N誤差/%1-1922-1830-4.792-1942-1793-7.673-508-64927.754-463-54217.065-247-2542.836-184-25136.417147914910.81

由表2、表3可見，除個別數據誤差較大，桿件軸力峰值的模擬值與試驗值均吻合較好，最小誤差僅為0.81%；軸力分布規律基本一致，主肋和環桿軸力較大，斜桿軸力較小，主肋和斜桿主要受壓力，環桿主要受拉力，且對稱桿件的軸力對稱性均較好。由表4可知，沖擊持時非常短暫，試驗值與模擬值均在3～4 ms，而接觸力峰值同樣較為接近。由此說明，有限元分析結果是可靠的。

表3 桿件軸力數值模擬值和試驗值對比(1.5 m)

表4 接觸力及接觸持時數值模擬值和試驗值對比

對比郭可試驗的數值結果，本文的模擬精度相比更高。主要原因可能是因為郭可未計及材料的應變率效應、接觸算法選擇的差異和軟件版本升級等對精度提高的影響。數值模擬值與試驗值產生誤差的原因可能是：有限元模型并未考慮沖擊過程中材料熱能、摩擦等消耗，且忽略節點剛度的貢獻；試驗時桿件及節點有累積損傷，沖擊時難以正對節點沖擊等。

圖4所示，利用LS-DYNA軟件建立跨度60 m、矢跨比1/6的凱威特-聯方型單層球面網殼作為原型。外圍兩環為聯方型網格，其他為凱威特型網格。凱威特型網格的主肋和環桿采用φ180×8，斜桿采用φ168×6；聯方型環桿為φ168×5.5，斜桿為φ180×7，均為圓鋼管。沖擊物采用直徑為3 m，高度為1 m的圓柱體。為了模擬實際材料性能，將剛體模型改為分段線性塑性模型，其他材料參數和接觸設置與上述試驗驗證模型一致。按原型建立幾何比βl=1/10的模型。

(a)俯視圖(b)側視圖

圖4 凱威特-聯方型單層網殼模型

Fig.4 Model of Kiewitt-Lamella single layer reticulated shell

2.2 考慮幾何偏差影響的數值驗證

表5 速度10 m/s時nv確定過程

表6 速度60 m/s時nv確定過程

由表5可知，沖擊物速度為10 m/s、nv=0.5時，兩個模型豎向位移誤差僅為2.51%，滿足工程精度要求，故nv一步就得到。表6給出60 m/s時nv的確定過程，nv=0.5時誤差為32.02%，大于25%，步長改為0.2，第三步時nv=0.3，誤差為3.64%，同樣滿足工程精度要求。故速度為10 m/s和60 m/s時，nv分別取0.5和0.3。

表7所示，未修正模型表示相似關系未考慮應變率和幾何偏差的影響，速度與原型一致；修正模型表示考慮應變率和幾何偏差的影響，模型豎向位移w為按比例放大后得到的。表中可見，對不同幾何偏差量，修正模型均能較好地預測原型位移，其誤差均小于4%，而未修正模型預測原型結果誤差均較大，甚至達到684.75%。

表7 模型預測結果與原型對比

2.3 同時考慮幾何偏差和重力影響的數值驗證

表8 速度5 m/s時nv確定過程

表9 速度40 m/s時nv確定過程

由表8和表9可知，分別經過三步和兩步便收斂得到nv，nv分別為0.9和0.6。

表10 模型預測結果與原型對比

3 結 論

根據量綱分析，在考慮應變率效應的基礎上，分別考慮幾何偏差和重力的影響，對單層網殼頂點受沖擊物沖擊的相似律進行了推導，給出了模型和原型動態響應的相似條件。利用已有文獻的試驗模型進行數值模擬，驗證有限元分析方法的可靠性。在此基礎上，建立分析模型，分別考慮幾何偏差和同時考慮幾何偏差及重力的影響，并將計算結果與未修正模型進行對比。研究表明：無論是考慮幾何偏差或同時考慮幾何偏差及重力的影響，本文給出的相似關系均能較好地預測原型的動態響應，而未修正模型預測結果與原型誤差很大，不能用于工程實踐。鑒于此，對類似結構的沖擊響應研究，建議考慮上述因素的影響。

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