基于阻抗綜合法的梁-圓柱殼耦合系統動態特性分析

周海軍， 賀才春， 姜其斌， 李玩幽， 周常榮， 莫海樞

(1. 株洲時代新材料科技股份有限公司， 株洲 412007； 2. 哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院， 哈爾濱 150001)

圓柱殼結構廣泛應用在航空航天工程、船舶與海洋工程、核工程等領域。近幾十年來，圓柱殼的動態特性引起了眾多研究，并發展出一系列針對不同復雜影響因素的薄殼理論分析方法[1]。在工程應用中，圓柱殼經常與其他結構耦合使用，如剛性質量、環狀結構、梁、板、艙壁等結構。

Zhang等[2]采用波傳播方法研究了薄圓柱殼的振動特性，計算了一個長圓柱殼結構的頻率并與FEM模型結果進行了對比分析。Li等[3-4]采用波傳播方法研究了帶環狀加強結構的圓柱殼的自由振動，殼體的傳播特性以及波傳播方法的精確性。Zhou等[5]采用波傳播方法研究了一般彈性邊界條件下圓柱殼的自由振動特性，并研究了彈性邊界對模態頻率參數的影響。

Howard等[6]建立了一個剛性質量-被動/主動隔振器-圓柱殼體的模型，研究了振動能量由剛性質量向圓柱殼傳遞的特性。胡浩等[7]采用子結構導納法研究了簡支邊界條件下帶有多根彈簧-集中質量-圓柱殼耦合結構的自由振動。陳曉利等[8]利用薄板和梁的導納公式推導了多加筋圓柱殼體在任意位置簡諧力激勵下的彎曲振動響應，并對特定參數的多加筋圓柱殼體的振動能量分布進行了數值仿真，結果表明振動能量在加筋處呈現急劇衰減。Lee等[9]采用子結構阻抗法研究了內部耦合了矩形板結構的簡支圓柱殼的自由振動和功率流特性。

通過研究上述文獻，并結合前期工作[10]，本文針對水下結構物軸系至圓柱殼的結構，提出了一個梁-圓柱殼耦合模型，梁和圓柱殼的子結構分別采用改進的傅里葉級數方法(Improved Fourier Series Method，IFSM)[11]和波傳播方法(Wave Propagation Approach)進行建模，兩者之間的耦合則采用阻抗綜合方法，結合所得到的子結構結果進行研究分析，所得結果采用有限元模型進行了驗證。

1 梁-殼耦合模型及子結構分析

梁-圓柱殼耦合模型如圖1所示，其中L和R分別為圓柱殼的長度和半徑，l1、l2和m分別是梁結構的每跨長度以及梁上集中質量點的質量，kl和kr為耦合彈簧剛度，f(t)為作用在質量點上的簡諧載荷。基于阻抗綜合法，圖1中的梁-殼耦合結構將分成梁和圓柱殼兩個子結構進行分析。

圖1 梁-殼耦合模型

1.1 阻抗綜合法[12]

一個擁有A和B兩個子結構的耦合系統，其中子結構A上作用一簡諧激勵，如圖2所示。假設此簡諧激勵為另一個子結構C。子結構A和B通過在2,3點處耦合。

圖2 擁有兩個子結構的耦合系統

子結構A的動柔度運動方程可以表示為

(1)

將其寫為矩陣形式

(2)

同理子結構B的運動方程為

(3)

其矩陣形式為

(4)

在系統2,3耦合點處的動力學相容和力平衡條件為

(5)

(6)

(7)

(8)

將式(5)和式(6)代入式(4)，可得：

(9)

或者

(10)

其中

將式(10)代入式(1)，可得：

(11)

此時，通過求解式(11)可以得到

(12)

(13)

(14)

其中：

此時，將耦合點和激勵點的響應表示成了各子結構的導納形式。

1.2 梁子結構導納分析

具有集中質量點的第i跨梁結構振動控制微分方程為

(15)

第i跨梁的彎曲撓度可表示為改進傅里葉級數的形式

(16)

式中:pi(x)為加速余弦級數收斂的輔助多項式函數。

當考慮了邊界條件之后，式(16)可以表示為

(17)

([Kij]-ω2[Mij]){Aj}={Fi}

(i,j=1,2……,N)

(18)

其中剛度和質量矩陣的單元表示如下

(19)

(20)

(21)

式(18)為一系列線性代數方程，根據已知的載荷可以求解得到未知的傅里葉系數。當系統為自由振動時，即式(18)右邊激勵向量設為0，則式(18)變為一個標準特征值問題方程，通過求解特征值方程可以得到方程的特征值和特征向量。當設置激勵向量為單位力幅值時，即可通過式(18)求解得到多跨梁結構的導納結果。

1.3 圓柱殼子結構導納分析

基于Flügge理論，u,v和w分別表示殼體的軸向，周向和徑向位移，此時薄壁圓柱殼的運動方程可以表示為

(22)

(23)

(24)

對于一個簡支邊界條件的圓柱殼，其位移可以表示為

(λm=mπR/L)

(25)

(26)

(27)

式中:ω為圓頻率;L為殼體長度;m和n分別為軸向和周向模態數;U，V，W分別為軸向、周向、徑向位移幅值系數。

將式(25)～ (27)代入式(22)～ (24)，分別將式(22)兩邊乘以cosλmscos(nθ)，式(23)兩邊乘以sinλmssin(nθ)，式(24)兩邊乘以sinλmscos(nθ)，然后在0～2π及0～L/R上積分，利用三角函數的正交性可以整理得到如下矩陣形式的表達式：

(28)

其中，ms=2πRhLρ/4

λmn2β2(1-μ)/2]

λmn2β2(1-μ)/2+μλm]=A13

式(28)為一系列線性代數方程，根據已知的載荷可以求解得到未知的幅值系數，進而可以求得殼體的響應。當設置激勵向量為單位力幅值時，即可通過式(28)求解得到圓柱殼結構的導納結果。

此時，將得到的多跨梁及圓柱殼子結構的導納結果代入式(12)～ (14)，即可得到耦合結構的位移響應。

2 數值結果及其分析

2.1 結果驗證及分析

如圖3所示的梁-圓柱殼耦合結構，圓柱殼采用簡支邊界，而梁則通過彈簧與圓柱殼相連。圓柱殼結構參數如下：R=0.25 m，L=2 m，h=0.005 m，E=2.1×1011N/m2，ρ=7 850 kg/m3,泊松比為0.3；梁結構參數為：圓截面半徑r=0.01 m，L=1 m，E=2.1×1011N/m2，ρ=7 850 kg/m3,泊松比為0.3。圓柱殼上聯結點取為(sl,θl)=(0.5,0)以及(sr,θr)=(1.5,0)，梁的聯結點即為其兩端點。

圖3 梁-圓柱殼耦合結構

在梁結構中點施加一單位力簡諧激勵，頻率范圍為0～500 Hz，所得到的耦合結構激勵點和耦合點的位移響應結果，以及與有限元模型所得結果的對比見圖4，可以看出，二者結果除了在耦合點響應處反共振峰有一點偏移，其他都吻合得較好。

(a) 激勵點響應

(b) 耦合點響應

經過分析可知反共振峰的偏移由于圓柱殼體軸向和周向模態數m和n的取值(M和N)收斂性引起的，如圖5所示，隨著軸向和周向模態數m和n的取值增大，共振峰快速收斂，反共振峰也體現出明顯的收斂趨勢。

可以看出，本文方法對梁-圓柱殼耦合結構的處理是正確的。

2.2 質量點-多跨梁-圓柱殼耦合結構分析

在圖3結構的基礎上，考慮懸臂梁及集中質量點的影響，如圖6所示，懸臂梁跨長度：l2=0.6 m，集中質量點質量m=5 kg，其他參數同圖3結構。單位力幅值簡諧激勵施加在質量點上，頻率范圍為0～500 Hz，所得質量點、左右兩個耦合點的響應見圖7。

圖5 圓柱殼收斂性分析

圖6 質量點-多跨梁-圓柱殼耦合結構

圖7 質量點及梁耦合點響應

由圖7可以看出：① 懸臂端質量點響應在低頻段要大于耦合點的響應，而到高頻后，三個位置的響應幅值基本相同；② 結構響應共振峰一致，這也符合結構固有頻率的特性；而響應的反共振峰卻各有不同。

然后改變懸臂端質量點質量及懸臂長度，分析其對結構響應的影響，重點分析質量點處的響應。如圖8所示，為在懸臂長度l2=0.6 m的情況下，改變質量點質量的結構響應影響，質量點質量分別為4 kg、5 kg及5.5 kg，可以看出，影響不是很大。

如圖9所示，為在質量點質量m=5 kg的情況下，改變懸臂長度的結構響應的影響，懸臂長度分別為0.4 m、0.6 m及0.8 m，可以看出，在0～50 Hz，三者變化不大，而再往高頻段走，不僅響應峰值發生偏移，而且結構特性也隨著響應峰值數量的改變而發生了變化。

圖8 質量點質量對耦合結構響應的影響

圖9 懸臂長度對耦合結構響應的影響

可以看出，相對于懸臂端質量點質量，梁的懸臂長度對質量點-多跨梁-圓柱殼耦合結構的振動特性影響更大。

3 結 論

本文采用子結構阻抗綜合法研究了梁-圓柱殼強耦合系統的振動特性。耦合系統分成了圓柱殼子結構和梁子結構，其中子結構可以有多種特征，如集中質量點、多跨等。通過求得的子結構導納結果，耦合系統通過阻抗綜合法直接求解系統響應，其中梁子結構的導納結果采用改進的傅里葉級數方法獲得，圓柱殼子結構的導納結果采用波傳播方法獲得，并且其他方法獲得的子結構導納結果也適用于該綜合方法。

通過與有限元模型所得結果的對比驗證了該方法的正確性，并研究了一個集中質量點-多跨梁-支撐圓柱殼的耦合系統在質量點簡諧激勵下的振動特性，可知相對于懸臂端質量點質量，梁的懸臂長度對質量點-多跨梁-圓柱殼耦合結構的振動特性影響更大。

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