求解飽和多孔介質圓柱殼動力學問題的一種半解析方法

向 宇， 孫 潤， 陸 靜， 袁麗蕓

(1. 廣西科技大學 汽車與交通學院，廣西 柳州 545006； 2．廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室(廣西科技大學)，廣西 柳州 545006)

由于飽和多孔介質板殼結構具有良好吸聲、吸能性能，已廣泛應用于航空航天、交通運輸、土木建筑等領域。因此，自1956年Biot提出飽和多孔介質的振動和聲傳播經典理論以來[1-2]，一直備受國內外學者的關注[3-4]。在飽和多孔介質圓柱殼動力學問題的建模和求解方法上，Shah利用經典Biot理論，通過將固體骨架和內部流體的位移分量沿徑向展開成Bessel函數、縱向展開成指數函數的乘積形式，分析了無限長充液多孔介質圓柱殼的軸對稱振動問題[5]；Zhou等[6]通過模態展開方法描述殼體位移和聲壓，對敷設有多孔吸聲材料的有限長雙層圓柱殼的聲透射問題進行了研究；Daneshjou等[7]將多孔介質層模擬為具有等效特性的流體，并將入射聲壓展開為Hankel函數，研究了多孔材料夾芯的雙壁面圓柱殼體中聲波的傳播問題；Allard等[8]結合聲波在介質中的傳播理論，建立了飽和多孔介質材料聲振特性分析的有限元模型；Boily等[9]采用有限元法對敷設有黏彈材料和多孔吸聲材料的兩端自由有限長圓柱殼的聲振頻響進行了分析；Liu等[10]也采用有限元法研究了梯度泡沫鋁夾芯圓柱殼的動力響應和爆炸抵抗性能。然而。迄今為止對飽和多孔介質材料的模型簡化多采用等效媒質法，應用較廣泛的為Gaunaurd等[11]依據經典的散射原理提出的Gaunaurd法，即當固體骨架較軟時，將其視為一種等效流體，而當固體骨架較硬時，則視其為一種等效的彈性介質。這些簡化模型雖然比較便利，但由于忽略了固體骨架和內部流體間的耦合作用和能量耗散，其計算結果僅適用于低頻段[12]。

本文從三維經典Biot理論出發，結合彈性板殼理論[13]，充分考慮固體骨架和內部流體間的耦合作用和能量耗散，建立了一種分析有限長飽和多孔介質圓柱殼聲振特性的半解析方法。該方法可適用于任意邊界條件，且在中高頻段內也具有較高的計算精度和穩定性，可為多孔介質圓柱殼的動力學分析提供一種新的思路和方法。

1 飽和多孔介質圓柱殼控制方程的建立

如圖1所示柱坐標系(x,θ,z)下的飽和多孔介質圓柱薄殼，殼的長度和厚度分別為L、h，中曲面半徑為Rs。

圖1 多孔介質圓柱薄殼示意圖

1.1 飽和多孔介質圓柱殼的本構關系

根據Biot理論，柱坐標下三維多孔介質的應力-應變關系為

σi=2Nei+Ae+Qε

(1a)

τij=Neij

(1b)

(1c)

式中：σi(i=x,θ,z)表示沿x，θ和z三個方向固體骨架的正應力；ei,εi(i=x,θ,z)分別表示固體骨架和內部流體的三個正應變分量，τij,eij(i,j=x,θ,z)分別表示固體骨架的三個剪應力分量和相應的剪應變分量；e,ε分別表示固體骨架和內部流體的膨脹應變；Q為微元體發生形變時固體骨架和內部流體相互作用的有關參數；R表示微元體內與流體有關的壓力參數；p為流體壓力；φ為多孔介質孔隙率；N,A類似于均勻各向同性彈性體中的拉美系數。

由式(1c)中的第1式，得

(2)

將式(2)代入式(1a)可得：

(3)

當圓柱殼很薄時，根據薄殼理論的直法線假設，中面法線及其垂直線段之間的直角保持不變，這兩個方向的切應變為零，即exz=0,eθz=0。而且，與中面平行的截面上的正應力的影響可以忽略不計，即σz-φp=0。將以上關系式代入式(3)的第3式，得

(4)

將式(4)回代入式(3)，并結合式(1a)、(1b)、(1c)，可得飽和多孔介質圓柱殼的本構關系如下

(5)

1.2 飽和多孔介質圓柱殼固體骨架的內力-位移關系

(6)

橫截面沿x方向的轉角θx可寫為

(7)

根據圓柱殼的幾何方程，并結合式(6)和式(7)，可導出多孔介質圓柱殼固體骨架的應變-位移關系

(8)

(9)

1.3 飽和多孔介質圓柱殼固體骨架的動力學方程

利用薄殼理論，可將Boit理論中多孔介質材料的三維運動方程簡化為二維曲面坐標下多孔介質殼體固體骨架的動力學方程

(10)

式中：α和β表示曲面坐標，H1和H2分別表示兩個方向的拉梅系數；Rα和Rβ分別表示中面沿兩個方向的主曲率半徑；Qα和Qβ表示中面沿兩個方向的橫向剪力；uf,vf,wf表示多孔材料中內部流體中曲面位移分量；ρ11=(1-φ)ρs+φ(α∞-1)ρf表示固體骨架相對密度；ρ12=-φ(α∞-1)ρf表示固體骨架與內部流相互作用產生的耦合質量密度；ρs表示固體骨架密度；ρf表示內部流體密度；α∞為多孔介質材料的扭曲率；b=ηφ2/q表示達西系數；η為流體黏度；q為達西滲透率。

對于圓柱殼，α=x,β=θ,H1=1,H2=Rs,Rα=∞,Rβ=Rs，將其代入式(10)，經整理后可得諧激勵下多孔介質殼體固體骨架的運動方程

(11)

其中，Ω11=jωb-ρ11ω2，Ω12=jωb+ρ12ω2。

1.4 飽和多孔介質圓柱殼內部流體的運動方程和本構關系

不計流體自身黏性(pij=0,i≠j)，柱坐標下內部流體的運動方程為[14]

(12)

(a)

(b)

(c)

圖2 圓柱殼中曲面微元的受力分析

Fig.2 The force analysis of mid-surface element in cylindrical shell

諧激勵作用下，由式(12)可得內部流體任一點位移幅值為

(13)

式中：Ω21=bωj+ρ21ω2,Ω22=bωj-ρ22ω2。其中，ρ21=ρ12，ρ22=φρf+φρf(α∞-1)表示多孔介質內部流體的相對密度。

將式(6)代入式(13)，并沿厚度方向積分，可得流體的中面位移幅值

(14)

諧激勵下，內部流體的應變-位移關系為

(15)

將式(13)的第3式代入式(15)的第3式，有

(16)

(17)

將式(8)、式(13)和式(14)代入式(17)，并將方程兩邊沿厚度z積分，得

(18)

采用同樣的方法將式(17)整理后乘以z，并沿厚度z積分，得

(19)

2 飽和多孔介質圓柱殼的一階常微分矩陣控制方程

諧激勵作用下，薄殼的Kelvin-Kirchhoff等效剪力為

(20)

根據圓柱殼的幾何特性，可將頻域內各物理量沿周向展開成Fourier級數，然后，對各物理量進行無量綱化，則上述變量可以寫為

其中，kn表示周向波數，帶“-”的變量表示為頻域內各物理量環向Fourier級數展開后的無量綱狀態量。為了便于書寫，在下文中省略上標(n)。

通過整合式(7)、(9)、(11)、(14)、(18)、(19)、(20)，消去中間變量，推導過程詳見附錄Ⅰ,可得飽和多孔介質圓柱殼用12個狀態分量表示的一階常微分矩陣方程

(21)

根據本文作者近年來的研究，式(21)可采用齊次擴容精細積分法和精細元法進行高精度求解[15]。將待求圓柱殼沿軸向劃分為M個單元，在每個單元內設置一定的精細積分步數，由齊次擴容精細積分法求出每個單元兩端點(節點)處狀態向量的關系如下

-Ti·Zi-1+Zi=Qi(i=1，…，M)

(22)

則對于M個單元，可得到M個形如上式的關系式，合并寫成矩陣形式

ΤΖ=Q

(23)

式(23)含12M個方程，12(M+1)個未知量。將圓柱殼兩端處各6個給定的邊界條件(4個骨架邊界條件，2個內部流體邊界條件)合并入上式，得到12(M+1)個方程，可解出12(M+1)個未知量。一旦解出各節點處的狀態向量，殼體內任意點的狀態向量即可再采用齊次擴容精細積分法求得。

對于自由振動問題，Q為零向量，將邊界條件擴充到式(23)后，令其系數矩陣的行列式為零，可得固有頻率的特征方程，從而得到結構振動的固有頻率ω。由于計及了流固耦合作用，該頻率為一復特征頻率。定義損耗因子為：η=lm(ω)/Re(ω)。

3 算例分析

算例1當孔隙度趨向于零時，飽和多孔圓柱殼可近似視為一個各向同性的均勻彈性實體。考慮一個懸臂圓柱殼，取孔隙度φ=0.000 1，幾何參數為：h=0.01 m，L=0.2 m，Rs=0.1 m，楊氏模量E=3.8×108Pa，泊松比μ=0.30，骨架材料密度ρs=2 700 kg/m3，內部流體為空氣。采用本文模型和方法計算結構的固有頻率，并采用有限元軟件模擬與其等效的均勻彈性體，其固有頻率的計算結果如表1所示。

表1 固有頻率計算結果對照

由表1可以看出，兩種模型所得結果基本一致，說明了本文模型的正確性。

算例2為了進一步驗證本文模型的精度，令孔隙度φ=0.8，殼的其他參數及邊界條件同算例1，將本文方法與等效媒質法進行比較。在等效媒質法中，均質圓柱殼的等效彈性模量和密度分別為Ee=3.8×108Pa，ρe=541 kg/m3。表2分別給出了兩種模型計算所得固有頻率。其中，等效媒質法將結構視為一等效實體模型，可采用有限元軟件計算，所得結構固有頻率為一實數；由于本文模型計及了多孔介質內部流體和骨架的耗散作用，所得結構固有頻率為一復數。

表2 本文模型與Abquas模型計算結果對照

從表2中可看出，兩種模型所得固有頻率幅值大體相當。但由于忽略了其內部流體的黏性影響，將結構視為一個等效實體模型，等效媒質法無法計及多孔介質結構的損耗特性，僅適用于骨架較硬，孔隙率較小，耦合影響不大的結構。而本文所提出的模型充分考慮了流體和固體的相互作用，不僅可以分析模型的損耗特性，且具有更為廣泛的適用性。

圖3 孔隙率變化時多孔介質圓柱殼頻響曲線對比

由圖3可看出，隨著孔隙率的增加，多孔介質圓柱殼的固有頻率在逐漸增大，共振頻率點處的峰值略有下降。因為孔隙率增大時，多孔介質結構的等效質量下降的速度比等效剛度快，從而導致結構的固有頻率增大；同時，結構的耗散性能隨孔隙率增大而更佳，導致共振頻率點處的峰值下降。

4 結 論

基于彈性薄殼理論和經典Biot理論，本文建立了求解飽和多孔介質圓柱殼振動問題的半解析方法。由于充分考慮了多孔骨架和內部流體的耦合作用，且對流體位移的表達未做任何簡化假設，本文方法可用于各種流體、激勵和邊界條件等，還可適用于較寬的頻率范圍，彌補了現有的等效媒質法等方法在分析飽和多孔介質圓柱殼動力學特性方面的不足。數值算例證明了本文方法的正確性。同時，數值計算表明，隨著孔隙率的增加，多孔介質圓柱殼的阻尼特性將更佳。

附錄Ⅰ控制方程的推導過程

1 基本方程

將式(7)周向展開并無量綱化后可得

(A1)

將式(9)周向展開并無量綱化后可得

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

將式(14)代入式(11)后周向展開并無量綱化可得

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

式(18)和式(19)周向展開并無量綱化后可得

(A13)

(A14)

式(20)周向展開并無量綱化后可得

(A15)

(A16)

2 一階常微分方程組的推導過程

由式(A2)可得

(A17)

由式(A4)、(A7)和(A15)可得：

(A18)

由式(A1)可得

(A19)

由式(A5)可得

(A20)

由式(A4)和式(A8)可得

(A21)

由式(A15)、(A9)、(A11)、(A3)和(A6)可得

(A22)

由整合式(A16)、式(A10)、式(A11)、式(A3)以及式(A6)可得

(A23)

由式(A16)、式(A12)以及式(A7)可得

(A24)

由式(A13)可得

(A25)

由式(A14)可得

(A26)

附錄Ⅱ系數矩陣[A]、[B]和向量{F}中的非零向量

1 系數矩陣A中的非零元素為

2 系數矩陣B中的非零元素為

3 載荷向量中的非零元素為

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