基于左特征向量配置的結構聲主動控制

白 金, 黎 勝,2, 夏茂龍

(1. 大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室 船舶工程學院, 大連 116024;2. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心, 上海 200240)

結構聲主動控制是結構振動輻射聲場控制的研究重點之一[1-3]。結構聲主動控制從結構振動與聲輻射的關系出發，采用次級振源來進行結構聲的主動控制，其實質是將振動主動控制應用到結構聲輻射控制中，所以，結構聲主動控制的研究進展是與振動主動控制的研究進展息息相關的[4]。閉環振動系統的動態特性可以通過求解振動系統的極點、右特征向量和左特征向量獲得[5]：極點包含了振動系統的固有頻率和阻尼信息；右特征向量即為模態振型，振動系統的響應由各階模態振型疊加而成；左特征向量則代表了系統抵抗外部激勵的能力，即模態被激勵的能力，當左特征向量與激勵力向量正交時，與該階左特征向量對應的振動模態就不會被激發出來。因此，通過對左特征向量的配置可以實現對結構振動的主動控制。Choi等[6]采用最小二乘法將閉環系統的左特征向量配置成與激勵力向量正交且與控制力平行的形式，在較小的能量消耗下閉環系統的振動響應得到有效降低。Choi[7]采用最小二乘法同時對閉環系統的左特征向量和模態振型進行配置，使左特征向量與激勵力向量正交，而模態振型與輸出矩陣正交，閉環系統輸出點的振動響應得到大幅降低。目前，基于左特征向量的結構聲主動控制的研究仍然比較少。Wu等[8]采用自適應特征向量優化算法，求出能使噪聲抑制性能指標(Sound Suppression Performance Index)最小的最優左、右特征向量組合，并以此為目標對閉環系統進行特征結構配置，得到了較好的降噪效果。Wu等[9]通過對振動系統的左、右特征向量進行配置，將閉環系統的振動模態控制為弱輻射模態，并使受控后的左特征向量與激勵力向量正交，同樣得到了較好的降噪效果。本文采用耦合模態空間控制[10](Dependent Modal Space Control)方法，將閉環系統的左特征向量配置成與激勵力向量正交的形式，通過降低結構的振動水平，實現了結構振動聲輻射的主動控制。本文提出的結構聲主動控制方法具有物理意義明確、實施過程簡單、聲輻射抑制效果好的特點。以矩形簡支板為例對本文提出的結構聲主動控制方法進行了數值仿真，結果表明閉環系統的振動聲輻射得到了有效降低。

1 閉環系統的控制方程及其左、右特征向量

含有外部激勵力和控制力的結構動力學方程可以寫作

(1)

將控制力與振動結構考慮為一個整體，構成閉環系統，則式(1)可以寫成

(2)

式中：[Mc]、[Cc]和[Kc]分別為閉環系統的等效質量陣、等效阻尼陣和等效剛度陣，其具體表達式由控制系統的輸入與輸出之間的傳遞關系、即控制律決定。比如采用速度反饋控制律，則輸入為速度響應，輸出為阻尼控制力。式(2)實質上是將式(1)中的控制力分解為相應的慣性力、阻尼力和彈性力，并將其等效為對應的質量、阻尼和剛度。通過求解與式(2)對應的特征值問題

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可得相同的n對特征值s，將特征值s代入式(3)，可得右特征向量矩陣(即模態振型矩陣)

(5)

將特征值s代入式(4)，可得左特征向量矩陣

(6)

若[Mc]、[Cc]和[Kc]不為對稱陣，則[Φc]和[Ψc]也就不相同。閉環系統位移響應可以表示為

(7)

(8)

式中

[Hc]=

(9)

根據左特征向量的性質[11]可知[H]為對角陣，即模態振型矩陣[Φc]和左特征向量矩陣[Ψc]可將式(2)解耦。則有：

[H]ii=

(10)

(11)

2 左特征向量與模態振型的關系

[Φcm]=[Φm][W]

(12)

[Φc(n-m)]=[Φn-m]

(13)

振動系統的模態振型矩陣與左特征向量矩陣具有如下關系

[Φ]-T=[Ψ]

(14)

[Φc]-T=[Ψc]

(15)

式中：[Φ]和[Ψ]分別為開環系統的模態振型矩陣和左特征向量矩陣。將模態振型矩陣和左特征向量矩陣分成前m階和后n-m階兩部分：

[Φ]=[[Φm] [Φn-m]]

(16)

[Φc]=[[Φcm] [Φc(n-m)]]

(17)

[Ψ]=[[Ψm] [Ψn-m]]

(18)

[Ψc]=[[Ψcm] [Ψc(n-m)]]

(19)

結合式(12)、式(13)、式(16)和式(17)得：

[Φc]=[[Φcm] [Φc(n-m)]]=[[Φm][W] [Φn-m]]=

(20)

由式(20)得：

(21)

將式(14)和式(15)代入式(21)得：

(22)

將式(18)和式(19)代入式(22)得：

[[Ψcm] [Ψc(n-m)]]=[[Ψm] [Ψn-m]]×

(23)

即：

[Ψc(n-m)]=[Ψn-m]

(24)

[Ψcm]=[Ψm][WL]

(25)

[WL]=[W]-T

(26)

由此可知，當開環系統和閉環系統的模態振型滿足式(12)和式(13)時，則開環系統和閉環系統的左特征向量就會滿足式(24)、式(25)和式(26)。即，閉環系統的前m階左特征向量[Ψcm]為開環系統前m階左特征向量[Ψm]的線性組合，閉環系統的后n-m階左特征向量[Ψc(n-m)]與開環系統的后n-m階左特征向量[Ψn-m]相等，且線性轉換矩陣[WL]和[W]滿足關系式(26)。因此，若想將閉環系統的前m階左特征向量配置成與激勵力向量正交的形式，可以先將開環系統的前m階左特征向量[Ψm]通過線性組合構造出與激勵力向量正交的閉環系統的前m階目標左特征向量[Ψcm](即求出線性轉換矩陣[WL])，然后經式(26)得到線性轉換矩陣[W]，進而由式(12)得到閉環系統的前m階目標模態振型[Φcm]，最后以[Φcm]為控制目標采用耦合模態空間控制方法實施主動控制，則閉環系統的前m階左特征向量[Ψcm]就會被配置成與激勵力向量正交的形式。其實質上就是利用系統的模態振型與左特征向量之間的關系，通過配置系統的模態振型來配置系統的左特征向量。

3 與激勵力向量正交的左特征向量構造方法

(27)

式(27)可以寫成

k1WL1+k2WL2+…+knWLm=0

(28)

(29)

(30)

將閉環系統的前m階目標左特征向量[Ψcm]分為前m-1階和后1階兩部分

(31)

在這里，我們取[Ψm]的第m階向量作為閉環系統的第m階目標左特征向量，即

(32)

由式(30)、式(31)和式(32)可得：

[Ψm][WL]

(33)

式中

(34)

(35)

因此，由本文構造的目標左特征向量[Ψcm]只有前m-1階才滿足與激勵力向量正交的條件，這在實際應用中是需要特別注意的。

4 耦合模態空間控制方法

(36)

基于左特征向量配置的結構聲主動控制的實施步驟為

步驟1對開環系統進行模態分析和聲輻射分析，在關心的頻段內找出輻射能力較大的m階模態[Φm]，及其相應的左特征向量[Ψm]；

步驟2運用3節中介紹的方法得到線性轉換矩陣[WL]，再由式(26)得轉換矩陣[W]；

步驟3確定控制力施加位置，由耦合模態空間控制方法得到反饋控制增益矩陣[G]；

5 數值仿真

以受垂向點力激勵的矩形簡支板為例進行基于左特征向量配置的結構聲主動控制仿真。板長Lx=0.500 m，板寬Ly=0.350 m，板厚H=0.004 m，板密度ρs=7 850 kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比υ=0.3，各階模態阻尼比均取為ξr=0.01，空氣密度ρ=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s，參考聲功率為10-12W。板結構四邊簡支，坐標原點取在板的幾何中心。激勵力作用位置坐標為(x1,y1)=(0.100 m,0.050 m)，幅值為F=1 N。將板劃分為20×14的單元網格，計算中有限元和邊界元均采用四邊形四節點等參單元和相同的網格劃分，其中，有限元為基于Mindlin板彎曲理論的板元，邊界元為基于板表面的Rayleigh積分。

(37)

由式(26)得線性轉換矩陣[W]：

(38)

采用有效獨立法[13]選取5個控制點力，施加位置示于圖 1。有效獨立法通過逐步刪除有效獨立向量中最小值對應的自由度，來優化Fisher信息矩陣，使得各目標模態向量之間在盡可能少的位置點情況下保持線性獨立，從而使用較少的位置點獲得到更多的的模態信息。由耦合模態空間控制方法得到控制增益矩陣[G]。由式(36)得到反饋控制力，對結構實施結構聲主動控制。由于開環系統的質量陣、剛度陣和阻尼陣都是對稱陣，則開環系統的左、右特征向量相同，開環系統的第1、4、8階模態振型示于圖 2。閉環系統第1、4、8階模態振型和左特征向量示于圖 3。開環系統和閉環系統的前8階固有頻率、阻尼比和左特征向量與激勵力向量內積分別示于表 1和表 2。

圖1 控制力施加位置(■)和激勵力作用位置(★)

由于閉環系統的等效阻尼陣和等效剛度陣不再對稱，第1、4、8階模態振型和左特征向量不相同(見圖 3)。從表 1和表 2可以看到，閉環系統的第1、4階左特征向量與激勵力向量內積為零，達到了控制目的。同時，受控前后振動系統的其它階固有頻率、阻尼比和左特征向量與激勵力向量的內積沒有變化。

開環系統和閉環系統第1、4、8階振動模態的模態速度幅值示于圖 4?？梢钥吹剑]環系統的第1、4階振動模態的模態速度幅值極小，接近于零，說明激勵力無法激發閉環系統的第1、4階振動模態。開環系統和閉環系統的輻射聲功率曲線示于圖 5?？梢钥吹?，簡支板的輻射聲功率得到了有效降低。與開環系統相比，閉環系統的輻射聲功率曲線在第1、4階固有頻率處的波峰消失。但是在第8階固有頻率附近閉環系統的輻射聲功率高于開環系統的輻射聲功率。這是由于本文提出的方法在對[Φcm]中的m個左特征向量進行配置時，最多只能將其中的m-1個左特征配置成與激勵力向量正交的形式(第3節中有說明)。在本算例中，對閉環系統的第1、4、8階左特征向量進行配置，只保證了配置后的第1、4階左特征向量與激勵力向量正交，配置后的第8階左特征向量與開環系統的第8階左特征向量相同，不與激勵力向量正交。由式(38)可以看出，閉環系統的第8階模態振型為開環系統的第1、4、8階模態振型的線性組合。即，施加控制力后，振動系統的第8階左特征向量沒有改變，但第8階模態振型發生了改變，這也就無法保證在第8階固有頻率附近閉環系統的輻射聲功率低于開環系統，這在實際應用中是要特別注意的。

(a) 開環系統第1階模態振型

(b) 開環系統第4階模態振型

(c) 開環系統第8階模態振型

(a) 閉環系統第1階模態振型

(b) 閉環系統第4階模態振型

(c) 閉環系統第8階模態振型

(d) 閉環系統第1階左特征向量

(e) 閉環系統第4階左特征向量

(f) 閉環系統第8階左特征向量

Tab.1Thefirsteightnaturalfrequencies,dampingratiosandinnerproductsoflefteigenvectorandexcitationforcevectorofopenloopsystem

模態左特征向量與激勵力向量內積固有頻率/Hz阻尼比1(1,1)0.622119.320.012(2,1)0.731236.580.013(1,2)0.540361.210.014(3,1)0.024433.610.015(2,2)0.634474.720.016(3,2)0.206665.560.017(4,1)0.452712.770.018(1,3)0.154770.910.01

表2閉環系統前8階固有頻率、阻尼比和左特征向量與激勵力向量內積

Tab.2Thefirsteightnaturalfrequencies,dampingratiosandinnerproductsoflefteigenvectorandexcitationforcevectorofclosedloopsystem

模態左特征向量與激勵力向量內積固有頻率/Hz阻尼比1(1,1)0119.320.012(2,1)0.731236.580.013(1,2)0.540361.210.014(3,1)0433.610.015(2,2)0.634474.720.016(3,2)0.206665.560.017(4,1)0.452712.770.018(1,3)0.154770.910.01

圖4 開環系統和閉環系統第1、4、8階振動模態速度幅值

6 結 論

本文結合耦合模態空間控制方法，通過將閉環系統的左特征向量配置成與激勵力向量正交的形式，實現了基于左特征向量配置的結構聲主動控制。推導了振動系統的左特征向量與模態振型之間的關系，得出當閉環系統的模態振型為開環系統的模態振型的線性組合時，閉環系統的左特征向量也為開環系統的左特征向量的線性組合的結論。構造了與激勵力向量正交的目標左特征向量，以該左特征向量對應的模態振型為控制目標，采用耦合模態空間控制方法，間接實現了對閉環系統的左特征向量的配置，最終實現了低頻結構振動聲輻射的主動控制。最后以矩形簡支板為例對本文提出的結構聲主動控制方法進行了數值仿真，仿真結果驗證了本文提出的基于耦合模態空間控制方法通過閉環系統左特征向量配置進行結構振動聲輻射控制的有效性。

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