脈沖型地震下隔震結構的等強度位移需求譜研究

王亞楠， 杜永峰， 胡高興

(1.西安工業大學 建筑工程學院，西安 710021； 2.西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

隔震支座作為隔震結構的重要部件，在強震作用下將經歷很大的變形，如果設計不當或遭遇特殊地震作用，例如，近年來受到廣泛關注的脈沖型地震動，極易發生拉裂、失穩等破壞，進而影響上部結構的抗震性能[1]。在對隔震結構進行抗震性能評估時，需要對隔震支座的位移需求進行計算，判斷支座位移是否超出其變形能力范圍。通常情況下，采用非線性動力時程分析法對隔震支座的位移需求進行計算，該方法雖然嚴謹但是較為復雜和繁瑣，耗時較大，利用非彈性位移需求譜對隔震支座的最大非彈性變形進行估算是一種切實可行且非常高效的方法。

關于非彈性位移需求譜的研究，國內外已有不少文獻可供參考。Borzi等[2]建立了用于求解等延性非彈性位移需求譜、位移減小因子的數學表達式以及延性系數和阻尼比之間的關系表達式。Chopra等[3]研究了非彈性單自由度體系和彈性單自由度體系峰值變形之間的關系，建立了以周期比、延性系數或強度折減系數作為參數的非彈性位移比譜表達式。Hatzigeorgiou[4]對單自由度體系在近斷層和遠場地震動作用下的延性需求譜進行了比較分析，建立了以周期、阻尼比、剛度比以及力減小因子作為基本參數的延性需求譜的數學表達式。Iervolino等[5]在大量近斷層脈沖型地震記錄的基礎上建立了等強度折減系數非彈性位移比譜的解析表達式。Garcia[6]對前向近斷層地震動作用下退化和非退化單自由度體系的等強度折減系數非彈性位移比譜進行了研究，建立了非彈性位移比譜的數學表達式。韋承基[7]研究了彈塑性結構最大位移響應與彈性結構最大位移響應之間的關系，建立了可用于結構抗震設計的彈性位移需求譜及彈塑性位移比譜。肖明葵等[8]對采用雙線性恢復力模型的彈塑性單自由度體系的位移比譜進行了研究，通過數值擬合方法建立了彈塑性位移比譜的數學表達式。夏洪流等[9]以非線性單自由度體系為研究對象，研究了結構位移響應最大值與結構基本周期、屈服強度系數以及屈服后剛度系數間的關系，建立了最大位移響應的估算公式。黃建文等[10]建立了理想彈塑性結構的等延性非彈性位移比譜，研究了剛度退化、強度退化以及捏攏效應等退化因素對非彈性位移比譜的影響。翟長海等[11]研究了場地條件、屈服強度、自振周期以及恢復力模型等因素對等強度位移比譜的影響規律，建立了等強度位移比譜的數學表達式。徐福江等[12]研究了滯回模型、阻尼比以及屈服后剛度系數對等延性位移需求譜的影響，通過數值擬合方法建立了等延性位移需求譜的數學表達式。

綜上所述，已有研究主要針對傳統抗震結構的非彈性位移需求譜進行研究，研究中所用恢復力模型、參數的定義和取值等均以傳統抗震結構為準。近年來，隨著隔震技術在實際工程中的大量應用，圍繞隔震結構開展的研究呈多元化發展趨勢，其中，易偉建等[13～16]對隔震結構的彈性位移需求譜進行了研究，而關于隔震結構非彈性位移需求譜方面的研究則相對較少。文中以對隔震結構影響顯著的近斷層脈沖型地震記錄作為激勵，采用Bouc-Wen模型描述隔震支座的非線性力-變形關系，建立隔震結構非彈性位移需求譜的基本方程，運用Matlab求解得到了隔震結構的等強度位移需求譜，并給出了其數學表達式。

1 運動方程的建立

地震作用下，非彈性單自由度體系的運動方程為

(1)

(2)

式中:α代表體系屈服后與屈服前剛度比；k代表體系屈服前剛度；xy代表體系屈服位移；Z代表體系的滯變分量，具體表達式為

(3)

將式(2)代入式(1)，并與式(3)一起組成方程組

(4)

對該微分方程組進行求解可以得到非彈性單自由度體系在地震作用下的位移響應、速度響應和加速度響應。

2 等強度位移需求譜的基本方程

將式(4)兩邊同除以m，得到建立非彈性位移需求譜的基本方程

(5)

更進一步，如果以圓頻率作為自變量，給定其它變量值，通過求解便可以得到圓頻率與體系位移響應最大值之間的對應關系，從而建立體系的非彈性位移需求譜。為了建立等強度位移需求譜，先對強度折減系數Ry進行定義，其表達式為

Ry=mSa/fy

(6)

式中:m為體系的質量；Sa為彈性單自由度體系的譜加速度，與非彈性單自由度體系對應；fy為體系的屈服強度;mSa為體系在地震作用下保持彈性所需的最小強度。

將式(5)左右兩邊同除以xy，引入變量u=x/xy和Ry，通過對方程組進行變形得到以強度折減系數Ry作為參變量的方程組

(7)

以強度折減系數Ry作為參變量，對式(7)進行求解，并對求解結果進行處理，便可以建立體系的等強度位移需求譜。

3 等強度位移需求譜的建立

根據隔震結構的力學特性，在建立隔震結構的等強度位移需求譜時，周期T的取值范圍取0.1～6 s，間隔0.1 s，上部結構阻尼比ζ取0.05，支座屈服后與屈服前剛度比α取0.1，用于描述隔震支座非線性行為的Bouc-Wen模型的相關參數β，γ，η，A的取值分別為0.5，0.5，1，1。將上述參數代入前文已經建立的運動方程，以36條脈沖型地震記錄(詳見文獻[16]，研究者在該文獻中已對脈沖型地震動的選取準則和選取結果進行了論述，不再贅述)作為輸入，求解并建立隔震結構的等強度位移需求譜。

圖1(a)和(b)所示為強度折減系數分別取5和6時建立的等強度非彈性位移譜。從圖中可以看出，不同脈沖型地震記錄作用下等強度位移需求譜的差別很大，譜峰值及其在橫坐標軸上的投影值(周期)分布范圍很廣。

(a) Ry=5

(b) Ry=6

圖2(a)和(b)所示為強度折減系數分別取5和6時建立的標準化等強度位移需求譜。從圖中可以看出，與原始等強度位移需求譜相比，經標準化后等強度位移需求譜的特征非常明顯，如：譜形相似，均包括上升段、下降段、平穩段和水平段四個階段；均存在明顯的譜峰值。但是，譜峰值的變化幅度較大，且強度折減系數對譜峰值存在一定的影響。

圖3(a)和(b)所示分別為強度折減系數Ry對平均等強度位移需求譜和單個等強度位移需求譜的影響。從圖中可以看出，在等強度位移需求譜中存在一個臨界周期，當體系周期小于該臨界周期時，位移譜的譜值隨強度折減系數的增大呈增大趨勢；當體系周期大于該臨界周期時，位移譜的譜值隨強度折減系數的增大呈減小趨勢。另外，強度折減系數在整個周期段對位移譜譜值的影響都較為明顯。

(a) Ry=5

(b) Ry=6

(a) 平均等強度位移需求譜

(b) 單條等強度位移需求譜

Fig.3 Influence of strength reduction factor on constant-strength displacement demand spectra

4 等強度位移需求譜的數學表達式

圖4(a)和(b)所示為強度折減系數分別取5和6時建立的等強度位移比譜，圖中細實線為各地震動作用下的等強度位移比譜，粗實線為平均等強位移比譜。從圖中可以看出，在短周期段，等強度位移比譜的波動幅度很大，經平均后呈陡降趨勢；在中長周期段，等強度位移比譜的波動幅度較大，經平均后呈平穩下降趨勢；在長周期段，等強度位移比譜的波動幅度很小，基本在“1”附近波動。

(a) 強度折減系數為5

(b) 強度折減系數為6

圖5(a)和(b)所示分別為強度折減系數對平均等強度位移比譜和單個等強度位移比譜的影響。從圖中可以看出，在等強度位移比譜中存在一個臨界周期，當體系周期小于該臨界周期時，位移比譜值隨著強度折減系數的增大呈增大趨勢；當體系周期大于該臨界周期時，位移比譜值隨著強度折減系數的增大呈減小趨勢。另外，強度折減系數對位移比譜值的影響在短周期段和中長周期段較為明顯，在長周期段不明顯。

通過非線性曲線擬合方法得到了等強度位移比譜的數學表達式，運用該表達式可以直接在彈性位移需求譜的基礎上獲得等強度位移需求譜，便于在實際工程進行應用，具體表達式為

RDis(T)=aTb+cT+d

(8)

式中:T為體系的自振周期;a,b,c和d為表達式的相關參數，它們的取值與強度折減系數的取值大小有關，見表1。

運用式(8)即可在彈性位移需求譜Sd_el的基礎上，得到等強度非彈性位移需求譜Sd_in，具體表達式如下

(a) 平均等強度位移比譜

(b) 單條等強度位移比譜

Fig.5 Influence of strength reduction factor on constant-strength displacement ratio spectra

表1等強度位移比譜表達式的參數取值

Tab.1Parametervaluesofconstant-strengthdisplacementratiospectra

Ryabcd50.640-0.945-0.0610.91460.858-0.861-0.0580.81171.068-0.798-0.0540.69481.283-0.744-0.0460.55691.488-0.701-0.0390.415101.699-0.661-0.0300.258

Sd_in=RDis·Sd_el

(9)

圖6(a)和(b)所示為強度折減系數分別取5和6時，真實非彈性位移比譜和擬合非彈性位移比譜之間的對比。從圖中可以看出，擬合非彈性位移比譜與真實非彈性位移比譜之間的匹配度很高，表明文中給出的擬合表達式具有一定的準確性。另外，表1列出了擬合表達式中相關參數的取值，便于實際工程應用。

5 結 論

為了對隔震支座的地震位移需求進行快速、高效估算，文中對脈沖型地震動作用下基礎隔震結構的等強度位移需求譜進行了研究，研究結果如下：

(a) Ry=5

(b) Ry=6

Fig.6 Comparison between realistic and fitting constant-strength displacement ratio spectra

(1) 存在一臨界周期，位移需求譜的譜值在該周期兩側隨強度折減系數的變化規律截然相反。

(2) 與短周期及中長周期段相比，等強度位移比譜在長周期段圍繞“1”小幅波動，受強度折減系數的影響較小。

(3) 給出了等強度位移需求譜的數學表達式，便于隔震支座非彈性位移需求的快速估算。

[1] 王亞楠, 李慧, 杜永峰. TMD-基礎隔震混合控制體系在近場地震作用下的能量響應與減震效果分析[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(4): 204-209.

WANG Yanan, LI Hui, DU Yongfeng. Energy response and anti-vibration effect analysis for a base-isolated structure with TMD under near-field earthquake[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(4): 204-209.

[2] BORZI B, CALVI G M, ELNASHAI A S. Inelastic spectra for displacement-based seismic design[J]. Soil Dynamic and Earthquake Engineering, 2001, 21(5): 47-61.

[3] CHOPRA A K, CHINTANAPAKDEE C. Inelastic deformation ratios for design and evaluation of structures: single degree of freedom bilinear systems[J]. Journal of Structural Engineering, 2004, 28(5): 1309-1319.

[4] HATZIGEORGIOU G D. Ductility demand spectra for multiple near and far fault earthquakes[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010, 30(2): 170-183.

[5] IERVOLINO I, CHIOCCARELLI E, BALTZOPOULOS G. Inelastic displacement ratio of near source pulse like ground motions[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2012, 41(3): 2351-2357.

[6] GARCIA J R. Inelastic displacement ratios for seismic assessment of structures subjected to forward-directivity near-fault ground motions[J]. Journal of Earthquake Engineering, 2011, 15(5): 449-468.

[7] 韋承基. 彈塑性結構的位移比譜[J]. 建筑結構, 1997, 20(3): 40-48.

WEI Chengji. Displacement ration spectrum of elasto-plastic structures[J].Journal of Building Structures,1997,20(3):40-48.

[8] 肖明葵, 王耀偉, 嚴濤,等. 抗震結構的彈塑性位移需求譜[J]. 重慶建筑大學學報, 2000, 22(增刊1): 34-40.

XIAO Mingkui, WANG Yaowei, YAN Tao, et al.The spectrum of elasto-plastic displacement for seismic structures[J].Journal of Chongqing Jianzhu University,2000,22(Sup1): 34-40.

[9] 夏洪流, 李英民, 楊溥. 罕遇地震作用下SDOF結構位移響應的統計特性分析[J]. 重慶建筑大學學報, 2000, 22(增刊1): 139-143.

XIA Hongliu, LI Yingmin, YANG Pu, et al. Analysis of the statistic characteristics of displacement response of SDOF system under rare earthquake[J]. Journal of Chongqing Jian-zhu University, 2000,22(Sup1):139-143.

[10] 黃建文, 朱晞. 近震作用下單自由度結構的非彈性響應分析研究[J]. 中國安全科學學報, 2003, 13(11): 59-65.

HUANG Jianwen, ZHU Xi. Inelastic response analysis for the SDOF structures under near-field earthquake[J]. China Safety Science Journal,2003,13(11):59-65.

[11] 翟長海, 李爽, 謝禮立,等. 近場脈沖型地震動位移比譜特征研究[J]. 土木工程學報, 2008, 41(10): 1-5.

ZHAI Changhai, LI shuang, XIE Lili, et al. Charac-teristics of displacement ratio spectra for near-field motions[J].China Civil Engineering Journal, 2008, 41(10): 1-5.

[12] 徐福江, 錢稼茹. 常延性系數彈塑性位移需求譜及其應用[J].工程力學, 2007, 24(6): 15-20.

XU Fujiang, QIAN Jiaru. Costant ductility inelastic displacement spectrum and its application[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(6): 15-20.

[13] 易偉建, 張海燕. 彈塑性反應譜的比較及其應用[J].湖南大學學報(自然科學版), 2005, 32(2): 42-45.

YI Weijian, ZHANG Haiyan. Comparison and application of elastic-plastic response spectra[J]. Journal of Hunan University(Natural Science), 2005, 32(2): 42-45.

[14] 翟長海, 李爽, 謝禮立. 抗震結構非彈性位移比譜[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2009, 41(2): 1-4.

ZHAI Changhai, LI Shuang, XIE Lili, et al. Inelastic displacement ratio spectra of seismic structures[J]. Journal of Harbin Instiute of Technology, 2009, 41(2): 1-4.

[15] 翟長海, 公茂盛, 謝禮立. 工程結構等強度位移比譜影響因素分析[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2005, 37(4): 455-458.

ZHAI Changhai, GONG Maosheng, XIE Lili, et al. Influence analysis on displacement ratio spectra of constant yielding strength for evaluation of existing structures[J]. Journal of Harbin Instiute of Technology, 2005, 37(4): 455-458.

[16] 王亞楠, 李慧, 杜永峰, 等. 近場脈沖型地震動作用下設計位移反應譜[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2015, 46(4): 1511-1517.

WANG Yanan, LI Hui, DU Yongfeng, et al. Displacement design spectra for near-fault pulse-type ground motions[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2015, 46(4): 1511-1517.