一道求微分方程特解習題的推廣

高 芳，熊艷琴

（1.池州學院數學與計算機學院，安徽池州247100；2.南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇南京210044）

二階常系數線性非齊次微分方程y″+py′+qy=f(x)的求解是高等數學教學中的一個重要內容，一般的高等數學教材[1-2]均會討論當f(x)=Pm(x)eλx時（其中Pm(x)是m次多項式）特解的形式。

當非齊次項f(x)=Pm(x)eλx時，利用待定系數法，可得特解的一般形式為y*=xkQm(x)eλx

其中k=0,1,2，分別對應當λ不是特征根、單特征根和二重特征根的情形。

一般地，在利用待定系數法求特解時，計算比較繁瑣，計算量較大，教學中發(fā)現學生經常會出現計算錯誤。文獻[3-5]討論了二階常系數非齊次線性常微分方程的一些簡便求解方法。本文由一道例題求解出發(fā)，給出了當Pm(x)為二次多項式時一個容易計算和記憶的特解公式。

1 待定系數法

先從非齊次項中Pm(x)是最簡單的二次多項式進行分析。

例：求微分方程y″-6y′+9y=x2e3x的一個特解。

解：由于f(x)=x2e3x，而λ=3是對應的齊次微分方程特征方程的二重根，因此可設特解為

y*=x2(l x2+m x+n)e3x，對y*求導得

將y*′,y*′′代入原方程，得

在此例中，通過求解可知m,n均為0，特解形式變得相對簡單，特解的系數只與f(x)=x2e3x的二次項系數有關。對于f(x)=(ax2+bx+c)eλx的一般情形，二階常系數線性非齊次微分方程的特解形式又該如何？下面我們進行具體分析。

2 主要結論

對于微分方程

當P2(x)=ax2+bx+c(a≠0)時，分三種情形進行討論。

情形一、當λ不是特征方程的根時，即λ2+pλ+q≠0時，可設特解為

對y*求導得：

通過比較系數，得：

此時，由計算結果可知特解表達式中的未知系數由a,b,c和p,q,λ的值唯一確定.

情形二、當λ是特征方程的單根時，即λ2+pλ+q=0，2λ+p≠0時，可設特解為

對y*求導得：

將y*′′,y*′,y*代入方程（*）中，整理化簡得：

通過比較系數，可得：

特別地，當Pm(x)=ax2時，

此時特解由a,p,λ的值唯一確定，且特解形式相對簡單.

情形三、當λ是特征方程的二重根時，即當λ2+pλ+q=0，且2λ+p=0時，可設特解為

y*=x2(a1x2+b1x+c1)eλx，對y*求導得：

將y*′′,y*′,y*代入（*）中，化簡整理得：

通過比較系數，可知

在情形三中，特解待定系數里的a1,b1,c1可分別由a,b,c唯一確定，且形式簡單便于記憶。更一般地若f(x)=ax2eλx，在計算題中，可直接設特解為y*=a1x4eλx，求導代入方程，可簡化計算，通過分析過程可知，當λ是特征方程的二重根時，特解可由較簡單的形式給出。情形三下的結果可推廣至f(x)=(ax3+bx2+cx+d)eλx的情形，利用待定系數法，此時特解為：y*=x2(a1x3+b1x2+c1x+d1)eλx，其中.若f(x)=ax3eλx，在計算題中，可直接設特解為y*=a1x5eλx，求導代入方程，可簡化計算，并提高計算的速度和準確性。