基于Kriging數(shù)據(jù)內(nèi)插的非直達(dá)波定位方法

吳保德

摘要

在蜂窩移動(dòng)定位系統(tǒng)中，定位精度的好壞主要由非直達(dá)波傳播問(wèn)題引起，采用非參數(shù)核方法可以在一定程度上抑制非直達(dá)波傳播對(duì)定位性能的不利影響，然而該方法對(duì)樣本信息沒(méi)有充分使用，故可以進(jìn)一步改善。本文提出一種基于Kriging數(shù)據(jù)內(nèi)插的改進(jìn)非參數(shù)核方法，該方法能有效利用樣本信息，在不同樣本個(gè)數(shù)環(huán)境下，能有效抑制非直達(dá)波誤差，提高定位精度。仿真實(shí)驗(yàn)顯示本文所提出的方法性能接近CR1B下限。

【關(guān)鍵詞】移動(dòng)定位 非直達(dá)波誤差 核方法Kriging內(nèi)插

1 引言

解決非直達(dá)波傳播所帶來(lái)的問(wèn)題，在蜂窩移動(dòng)定位系統(tǒng)中，對(duì)定位精度的改善有極大的意義。目前抑制非直達(dá)波誤差的思路主要有兩種，一是參數(shù)化方法，如利用散射體信道模型、消極加權(quán)等，然而環(huán)境決定非直達(dá)波的誤差，故參數(shù)化方法在抑制非直達(dá)波誤差過(guò)程中，不具有廣泛性;二是非參數(shù)方法，該類方法利用外場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷玫綐颖拘畔ⅲ脴颖拘畔⒚枋鰺o(wú)線信道環(huán)境，從而抑制非直達(dá)波誤差。對(duì)于非參數(shù)核方法，該方法對(duì)非直達(dá)波傳播造成的問(wèn)題有一定作用，然而該方法未能有效利用樣本信息，故可以進(jìn)一步改善，本文擬用數(shù)據(jù)插值的方式增加樣本點(diǎn)的數(shù)目，提出基于Kriging數(shù)據(jù)內(nèi)插的改進(jìn)非參數(shù)核方法，使得算法能有效利用樣本信息，適用于不同的樣本條件。

2 利用Kriging方法對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行插值

本文考慮TOA（time of arrival）定位方法，同時(shí)本文算法可直接擴(kuò)展到TDOA（timedifference of arrival）、SOA（strength of arrival）等定位方法。設(shè)（x_i，y_i）為第i個(gè)基站坐標(biāo)，i=1，…N，N為站點(diǎn)數(shù)目，估計(jì)域內(nèi)共有M個(gè)已知樣本點(diǎn)，其位置為（sx_j，sy_j），Z_j∈A，j=1，…，M為已知樣本點(diǎn)的測(cè)量矢量，A=[Z₁…Z_M]為已知樣本點(diǎn)測(cè)量矢量的集合，Zj=[z_j1，…，z_jN]^T，其中z_ji為第i個(gè)已知樣本點(diǎn)相對(duì)于第i個(gè)基站的距離測(cè)量值：

其中n_ji為零均值，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布，e_ji為非直達(dá)波傳播造成的正性誤差。Kriging算法利用加權(quán)平均的方法來(lái)得出待估值。即：

其中z_0i為待估點(diǎn)（sx₀，sy₀）處的對(duì)第i個(gè)基站距離測(cè)量值的估計(jì)值，λ_j為權(quán)值系數(shù)。Kriging方法的目的是在限制條件估計(jì)量無(wú)偏和估計(jì)方差最小情況下，獲得M個(gè)權(quán)值系數(shù)。要使z_0i為待估計(jì)點(diǎn)（sx₀，sy₀）處真值z(mì)_0i的無(wú)偏估計(jì)，即要求由此可得：

進(jìn)一步推導(dǎo)，可得到估計(jì)方差表達(dá)式，在無(wú)偏性的前提下，要讓估計(jì)方差最小，可以利用拉格朗日乘子法，即令：

對(duì)λ_j和μ求偏導(dǎo)，并使其為零，可得Kriging方程組：

寫成矩陣形式：

Kλ=D（7）

解式（7），可得權(quán)值系數(shù)：

從而可求得待估點(diǎn)（sx₀，sy₀）處的估計(jì)值，通過(guò)利用實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)（9），求解變異函數(shù)γ，進(jìn)而求解式（7）：

其中h為點(diǎn)（sx_j，sy_j）到點(diǎn)（sx_k，sy_k）的距離，N（h）為樣本中間距小于h的樣本點(diǎn)組數(shù)。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)進(jìn)行擬合，來(lái)達(dá)到對(duì)未知值估計(jì)，本文利用指數(shù)模型對(duì)其擬合，因?yàn)樵诜抡嬷锌闯鼍哂芯€性特性時(shí)，實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)是在零點(diǎn)處，故：

因此利用已知樣本點(diǎn)樣本值Z_j通過(guò)式（9）可得實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)，再使用式（10）模型進(jìn)行擬合，最后代入式（8）可解得權(quán)值系數(shù)λ，最后結(jié)合λ和式（2），可以得到待估點(diǎn)（sx₀，sy₀）處的估計(jì)值z(mì)_0i。

3 利用非參數(shù)核方法對(duì)移動(dòng)站進(jìn)行定位

本文以優(yōu)于文獻(xiàn)[3]的方法，先用Kriging方法對(duì)已知樣本點(diǎn)集合進(jìn)行插值擴(kuò)展，再通過(guò)非參數(shù)核方法進(jìn)一步定位移動(dòng)站，提高非參數(shù)核方法的定位精度。由第二部分的Kriging方法可得到擴(kuò)展后的樣本點(diǎn)測(cè)量集合：

其中A_N×M為事先測(cè)量的樣本點(diǎn)矢量集合，A_N×U'為插值得到的估計(jì)矢量集合，U為插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，。這里采用最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則，估計(jì)移動(dòng)站位置：

其中θ=[xy]^T為移動(dòng)站位置，f（θ|Z）為θ在θ處測(cè)量矢量Z下的條件概率密度函數(shù)，S為移動(dòng)站可能位于的區(qū)域，該信息可由服務(wù)基站提供。采用貝葉斯公式，可將式（12）轉(zhuǎn)換為：

其中f（θ|Z）為θ和Z的聯(lián)合概率密度函數(shù)，這里采用不受限于環(huán)境因素的方法，即非參數(shù)核方法，利用已知數(shù)據(jù)直接估計(jì)概率密度函數(shù)。其中聯(lián)合概率密度函數(shù)f（θ|Z）可寫為多個(gè)核函數(shù)的線性組合：

其中K_z和K_θ為核函數(shù)，h_z，h_θ為平滑常數(shù)。

在文獻(xiàn)[3]中Parzen Laplace核函數(shù)具有良好的性能，這里也采用該函數(shù)對(duì)聯(lián)合概率密度進(jìn)行擬合：

其中‖x‖¹為x到原點(diǎn)的L₁距離，由式（13）（14）可算出移動(dòng)站的位置：

其中θ_j=[sx_jsy_j]^T，為與樣本點(diǎn)測(cè)量矢量Z_j相對(duì)應(yīng)的移動(dòng)站的已知位置，將式（15）代入式（16）即可得到移動(dòng)站的位置。

4 仿真結(jié)果

本文采用微小區(qū)模型，如圖1，該模型同樣用在文獻(xiàn)[3]中，本文仿真環(huán)境參照文獻(xiàn)[3]中的設(shè)定，一共五個(gè)基站，如圖1中黑點(diǎn)所示，為樓群區(qū)，兩條街道的長(zhǎng)度為600m，寬度為20m。無(wú)線電波由均勻分布在圖1中菱形部分的移動(dòng)站開始，在陰影區(qū)域樓群區(qū)的拐角處發(fā)生折射，最后終止于基站，即基站到移動(dòng)站無(wú)線電波的傳輸距離為d_c+d_r，在此傳播路徑中，噪聲服從零均值高斯分布。

本文采用文獻(xiàn)[3]中給出了h_z的最優(yōu)取值為3.6σ，本文提出的基于Kriging插值的非參數(shù)核方法將與文獻(xiàn)[3]中不進(jìn)行插值的非參數(shù)核方法，參數(shù)化的最小二乘方法以及CRLB下限做比較。

圖2是在10m的距離測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差以及事先知道樣本點(diǎn)數(shù)量為20的情況下，兩種算法的性能比較圖。由于文獻(xiàn)[3]中的非參數(shù)核方法沒(méi)有進(jìn)行插值，隨著插值點(diǎn)個(gè)數(shù)U的變化，理論上定位誤差是保持不變的，然而由于距離測(cè)量噪聲和已知樣本點(diǎn)的分布是隨機(jī)的，因此其定位誤差存在一定波動(dòng)性。可以看出文獻(xiàn)[3]中隨著插值點(diǎn)個(gè)數(shù)U的變化，非參數(shù)核方法的定位性能在總體上是平穩(wěn)的，而本文算法的定位誤差在U增大過(guò)程中逐漸減小，當(dāng)多于100個(gè)插值點(diǎn)時(shí)，算法性能逐于穩(wěn)定，且本文算法明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[3]算法。

圖3是在10m的距離測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差以及U=200情況下，兩種算法的誤差比較圖，由圖可得，在已知樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)逐漸增加過(guò)程中，兩種算法的定位精度都在提高，但本文算法始終優(yōu)于文獻(xiàn)[3]算法，特別是在小樣本條件下，本文算法優(yōu)勢(shì)更為明顯，當(dāng)文獻(xiàn)[3]中所需要55個(gè)已知采樣點(diǎn)才能到達(dá)25m的定位精度時(shí)，本文算法只需要15個(gè)已知采樣點(diǎn)，這樣大幅度減少已知采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而減少獲取這些采樣點(diǎn)的成本，提高算法定位精度及實(shí)用性。

圖4是在已知100個(gè)樣本點(diǎn)和U-200條件下，兩種算法在不同距離測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差情況下定位誤差與CRLB下限做比較圖，由圖可得，兩種算法都逼近CRLB下限，但是本文算法更接近CRLB下限，也即優(yōu)于文獻(xiàn)[3]算法。同時(shí)相同條件下，本文算法與最小二乘方法的定位誤差進(jìn)行比較，也得本文算法優(yōu)于最小二乘方法。

5 結(jié)論

本文提出基于Kriging數(shù)據(jù)插值的非參數(shù)核方法，該方法首先擴(kuò)展樣本點(diǎn)集合，即使用Kriging對(duì)事先知道的樣本點(diǎn)集合進(jìn)行插值，再使用擴(kuò)展后的樣本點(diǎn)集合進(jìn)行定位，使得算法能有效利用樣本信息，仿真表明本文算法性能優(yōu)于不進(jìn)行插值的非參數(shù)核方法，算法性能更為接近CRLB下限，特別是在小樣本條件下，優(yōu)勢(shì)更為明顯，這樣就減少了已知采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而降低定位成本，增強(qiáng)算法實(shí)用性。

參考文獻(xiàn)

[1]饒中初，黃際彥.一種新的非直達(dá)波傳播環(huán)境下的TDOA定位方法[J].電子對(duì)抗，2015（04）：13-16.

[2]萬(wàn)群，王軍，羅詠劼，等.抑制非直達(dá)波誤差的高階矩方法[J].電子學(xué)報(bào)，2005，33（10）：1822-1824.

[3]Mcguire M，Plataniotis K N，Venetsanopoulos A N.Locationof mobile terminals using timemeasurements and survey points[J].IEEE Transactions on VehicularTechnology，2003，52（04）：999-1011.