動態楊氏模量儀的功能擴展

張莎 海蓮 張怡 張歡

摘要

本工作將動態楊氏模量儀擴展到了測量樣品棒支撐點的振幅-頻率曲線和共振峰，并設計了對應的自動測量系統。共振峰直觀圖豐富了動態法楊氏模量實驗教學，有助于加強學生對相關大學物理理論知識的理解和運用。且用楊氏模量儀實現振幅一頻率曲線和共振峰的測量，有多種設計方案，可以作為一個開放性的設計實驗，有利于增加儀器利用率，培養學生的科學素質和能力。

【關鍵詞】楊氏模量儀功能擴展 自動測量儀振幅-頻率曲線 共振峰

1 研究背景

楊氏模量是表征固體材料抵抗形變能力的重要物理量，因此測量固體材料的楊氏模量是理工科院校必做的大學物理實驗之一。測量楊氏模量的方法主要有靜態拉伸法、梁彎曲法和動力學共振法（動態法）等。共振法因不產生形變損壞、不受材質的限制、測量范圍廣等優點而使用廣泛。該方法利用試樣做受迫振動時，在合適的外加頻率下材料發生共振，通過測量共振頻率來間接測量楊氏模量。測量的關鍵是觀察樣品節點附近的振幅隨外加振動信號的變化而找出樣品的基頻共振頻率。

目前對共振法測量楊氏模量的探討主要包括：

1.1 共振法楊氏模量表達式的理論推導

吳明陽等人推導了樣品加換能器系統的固有頻率表達式，并指出外推法處理后的頻率才是材料的固有頻率。王龍等人從桿的橫振動偏微分方程出發詳細推導出方程通解，并用Matiab軟件計算出了樣品桿的橫振動前三階振動固有頻率和對應的振動模態及振動節點的位置。張凡等人從理論上說明了動態法為什么能夠測量楊氏模量，并闡述了試樣表層的氧化作用對實驗結論的影響原理。

1.2 實驗數據的采集

樊聰聰等人把測量裝置由懸掛法改為支撐法并增加了實驗棒的長度，從而擴大了數據的測量范圍和數據采集數目，提高了儀器的測量精確度。段卓琦研究了吊扎點位置、試樣尺寸及懸線材料與共振頻率之間的關系，介紹了用內插法和外延法確定節點處共振頻率的方法和幾種快速、準確鑒別真假共振信號的方法。

1.3 實驗儀器的改進

周成龍等人探索了根據動態法測量原理設計的新型楊氏模量自動測量儀，采用全自動掃頻技術，實現了金屬材料楊氏模量的自動測量。陳映純等人用虛擬示波器和基于聲卡的虛擬信號發生器提高了測量信號的精度。余觀夏等人指出了電流隨頻率變化導致相位不一致而引起的共振頻率測量誤差，并提出了改進方法。

1.4 實驗數視的分析和處理

曹旭等人分析了測量的共振頻率隨支撐點位置的變化關系，并根據最小二乘法采用MATLAB對其進行擬合，直接求得了楊氏模量以及相對誤差。劉立娜對利用彈性模量測試儀采用動態法測定石英楊氏模量時測量重復性、儀器準確度、樣品質量測量、樣品尺寸測量等引入的不確定度分量進行了評定，計算出石英楊氏模量的不確定度。

綜合這些研究以及目前的實驗現狀，該實驗目前存在以下問題：

（1）相關研究大多數著重于對楊氏模量測量的理論、方法和數據處理的研究，缺乏對儀器功能的擴展研究。

（2）相關研究對教材上實驗理論基礎做了補充，但涉及的理論知識和數學推導比較復雜，不符合民族院校等二本學校學生的知識結構特點。

（3）實驗過程與本科生大學物理基礎理論課的銜接不夠學生參與度不強;測量過程觀察不到直接的共振峰，不能直觀反映出實驗所利用的振動波動相關基礎知識，在充分調動學生己學的知識上有所欠缺。

（4）一套儀器目前只用于測量楊氏模量一個實驗，儀器利用率不夠高，需要擴展測試功能，開發其用于新的實驗。

為了讓本實驗與大學物理基礎課中受迫振動、共振以及駐波的知識更好的銜接起來，加深同學們對共振峰、基頻共振、二次三次諧振的理解;為了引導學生的創新思維，培養學生的動手能力、思考能力和綜合應用各科知識來解決問題的能力;也為了對更好的利用實驗室的儀器設備，開發更多的測試功能，提高同學們對大學物理實驗的興趣。本工作對共振法楊氏模量儀的功能進行了擴展研究，實現了試樣棒合適支撐點處振幅一頻率曲線的自動測量和共振峰的圖像顯示。

2 實驗原理

2.1 振動方程及解

細長棒的橫振動（彎曲振動）滿足動力學方程為：。其中，棒的軸線沿、方向，y為棒上距左端x處橫截面的y方向位移，Y為該棒的楊氏模量，ρ為材料密度，S為棒的橫截面積，J為橫截面的慣量矩。

根據分離變量法求解方程得：

其中ω為圓頻率，對于直徑為d，長度為L，質量為m的勻質圓棒有：m=ρSL，，其圓頻率可表示為：

K為常數，由邊界條件決定。本問題中支撐點位于棒的節點附近，并且長L的棒兩端均處于自由狀態，因此，在兩端面上，橫向作用力與彎曲矩均為零。根據此邊界條件，可得：cosKLchKL=1，即有：KL=0，4.7300，7.8532，10.9956，14.137，17.279，20.420……舍去靜止情況（KL=0），將第二個根作為第一個根，記作K₁L，以此類推。式（4）中帶入相應的K_nL值，由f_n=ω_n/2π到各諧振頻率f_n：基頻：

二次諧頻：

三次諧頻：

2.2 振動振幅

棒共振時，由式（2）可知，棒中的振動情況與駐波類似，x處的振幅滿足：

即各處的振幅隨x而改變。圖1給出了當n=1，2，3，4時的振動波形圖。n=1圖可以看出，試樣在作基頻振動時，存在兩個節點，它們的位置距離端面分別為0.224L和0.776L處。而n=2圖顯示，試樣在作二次諧振時，存在三個節點，它們的位置距離端面分別為0.132L，0.500L和0.868L處。值得注意的是，只有當外加頻率滿足f=f_n時，棒發生劇烈的振動（共振），振動振幅才滿足（5）式，對于任一定點（x=x₀，節點處除外）振幅最大;而外加頻率為其它值時，棒振動不明顯，上述特定點A的振幅很小。因此，對于一個特定點X0，其振幅A_x0會隨著外加頻率發生改變，在頻率f=f_n時，出現振幅極大。振幅-f曲線有利于直觀的理解樣品在共振和非共振時的振動情況。

理論推導的前提是支撐點取在節點處，但將不振動的節點作為支撐點，試樣棒難于被激振和拾振，因此，選擇節點附近的點作為支撐點。為此，根據（5）式，考慮到基頻共振、二次諧振和三次諧振的振幅分布情況，以及樣品棒刻線的情況，我們選擇x=0.0365L和對稱的x=0.9635L作為支撐點，收集數據和繪制振幅一振幅曲線。

3 儀器功能擴展與改造

要實現振幅一頻率曲線的測試功能，可以采用的方案較多，比如直接采用目前的儀器進行手動測量、筆記本作為主控單元的自動測量方案（主要部分為筆記本、程控信號發生器、振動單元、采集卡等）、單片機為主控單元的自動測量方案等。最簡單的手動測量，雖然能夠實現的振幅一頻率曲線數據測量，但存在以下問題：

（1）數據采點密集，則頻率變化間隔小，手動調節慢且讀取數據多，導致測量時間長;

（2）數據采點系，雖然測量時間縮短，但由于共振峰很尖銳，采點不夠則可能找不到共振峰;

（3）不能在實驗中直接觀察到實時的振幅一頻率曲線，只能實驗完成后自己作圖。由于以上原因，手動測量只適用于學生設計實驗中的一種選擇，教學過程中不適用。因此，我們選擇了其中一種自動測量方案，對現有儀器進行了改造，設計并制作了針對樣品棒的振幅-頻率自動測試儀。

本振幅一頻率自動測試儀選擇的是單片機作為主控單元的自動測量方案，主要由控制單元、信號發生單元、振動單元、信號采集單元、輸出單元五部分組成。系統設計圖如圖2所示。

控制單元是實現自動測試的核心，用以實現對信號發生單元、信號采集單元和輸出單元的協調控制。對信號發生單元，主要實現：控制信號發生單元的頻率變化范圍、頻率增加的頻率間隔△f和時間間隔△t;控制信號采集單元采集的時間間隔，快速響應和處理所采集的數據（振動位移），并計算出振幅;控制刷新輸出單元顯示的振幅一頻率曲線和輸出振幅一頻率數據。其程序設計流程圖如圖3所示。

信號發生單元主要把相應頻率的等幅正弦波數字信號轉化為電信號（D/A轉換），再經由功率放大器，將信號放大到能夠驅動激振器穩定工作的程度。

振動單元即FB2729A型動態楊氏模量儀主要部件為激振器、拾振器、樣品棒。激振器和拾振器都為壓電傳感器，激振器將電信號轉化為振動信號驅動樣品振動，而拾振器收集樣品機械振動信號并將其轉化為電信號。

信號采集單元采集拾振器轉化的電信號，并將其轉換為數字信號（A/D轉換），再將信號經濾波和放大，傳輸到控制系統進行計算。

在儀器組件的選擇上，對于控制單元我們選用的是實驗室現有的STC89C52單片機。對于信號發生單元，根據我們對頻率變化范圍30OHz-250OHz的需要和頻率精準度0.5Hz的要求，并考慮后續的實驗需求，選擇型號為AD9910的DDS芯片實現D/A轉換。對于振動單元，使用實驗室現有的FB2729A型動態楊氏模量儀及樣品棒。對于信號采集所需的A/D轉換芯片選擇TLC2543C芯片。功率放大器選用的TDA2030A音頻放大器模塊。

4 數據及分析

圖4給出了用自動測試儀測得的振幅一頻率曲線（黑色細線）和手動測量的振幅一頻率（藍色圓球）。其中自動測試儀進行了密集采點，頻率間隔為△f=2Hz;而手動測量的結果一般頻率間隔為△f=50Hz，在共振峰附近頻率間隔為△f=5Hz。圖中可以看到，手動和自動測量兩者的數據符合的較好，在450Hz-230OHz頻率區間內成功顯示有兩個尖銳的共振峰：基頻共振峰和二次諧振峰，與黃銅楊氏模量代入公式（4）的計算結果相符。只是自動測量的數據背底信號較強，但共振峰明顯;而手動測量的數據，由于較難實現密集采點，共振峰相對較低矮。

通過自動測量的曲線可以直接讀出基頻共振頻率f₁^a=736Hz和二次諧頻f_2a=1989Hz。而由測量楊氏模量時所采用的外推法，如4中插圖所示，測得基頻共振頻率為f₁=725.5Hz，據此和公式（4）計算得到二次諧頻為計算出其相對誤差分別為可見，相對誤差較小，振幅一頻率變化曲線可以反應樣品的共振情況。

5 結論

本工作成功實現了對共振法楊氏模量儀的功能擴展，并設計完成了樣品棒合適支撐點處振幅一頻率曲線的自動測試儀，并使用該儀器實現了對樣品棒合適支撐點處振幅一頻率曲線的自動測量和共振峰的直觀展示。結果顯示，在450-2300Hz區間內成功顯示有兩個尖銳的共振峰（基頻共振峰和二次諧振峰），且通過曲線圖得到的基頻和二次諧頻值與實驗理論值相差不大，因此，測量的振幅一頻率曲線能夠在誤差范圍內反應樣品的共振情況。該振幅-頻率曲線的自動測量儀，一方面，可用于動態法楊氏模量實驗教學中，有利于學生將該實驗與大學物理理論課中學習的振動波動知識更好的銜接，加深對受迫振動、共振甚至駐波知識的理解。另一方面，將共振法楊氏模量儀的功能擴展到振動棒振幅一頻率曲線測量，有多種設計方案，文中對其中一種方案的嘗試成功，表明，用共振法楊氏模量儀來測量振幅一頻率曲線可以作為開放性的設計實驗，培養學生的動手能力、思考能力和綜合應用各科知識來解決問題的能力，同時引導學生的創新思維，為本科生創新項目提供思路。

（通訊作者：張歡）

參考文獻

[1]吳明陽，朱祥.動態法測金屬楊氏模量的理論研究[J].大學物理，2009，28（03）：29-32.

[2]王龍，李東霞，馬紅章等.動態法測量楊氏模量的理論分析與Matlab輔助研究[J].大學物理，2015，34（10）：39-42.

[3]張凡，姜偉，呂丹.關于動態法測量金屬楊氏模量實驗的兩個重要方面的研究[J].大學物理實驗，2007，20（04）：35-38.

[4]樊聰聰，劉華揚，程敏A.動態法測楊氏模量實驗的探索與改進[J].大學物理實驗，2016，29（ol）：51-59.

[5]段卓琦.金屬楊氏模量的動態法測量研究[J].科技信息，2009，29：449-450.

[6]周成龍，劉會超，付東等.新型楊氏模量自動測量儀的探索與實踐[J].第六屆全國高等學校物理實驗教學研討會論文集（下），18-23.

[7]陳映純，吳先球，基于虛擬儀器的楊氏模量實驗中共振頻率的測量[J].物理實驗，2012，32（05）：40-41.

[8]余觀夏，張愛珍，阮錫根.用共振法測定動態楊氏模量實驗裝置的改進[J].物理實驗，2004，24（02）：41-42.

[9]曹旭，亓凱，馬犇等.基于MATLAB的最小二乘法處理楊氏模量測量數據的研究[J].大學物理實驗，2016，29（05）：126-129.

[10]劉立娜.動態法測定石英楊氏模量的不確定度評定[J].測量不確定度，2015，25（04）： 60-62.