進給伺服系統的PID參數整定

文思奇 林榮文 黃李威

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108）

在交流伺服系統中，多數采用三相永磁同步電動機（PMSM）。這類電動機與無刷直流電動機（BLDC）和感應異步電動機（IM）相比，其效率高，運行可靠。永磁同步電動機有兩種類型，一種是內裝式，另一種是外裝式。外裝式常見的隱極式同步電動機，其特點是在d軸和q軸上，磁路的磁阻基本相同。內裝式常見的凸極式同步電動機[1]，其特點是在q軸上的磁阻小于d軸，且結構簡單，制造成本低，易對永磁磁極進行優化設計[2]。

目前在工業上大量使用常規的PID參數調節來實現控制伺服系統，這種固定參數的調節方式由于系統的非線性和被控對象特性變化時，控制性能比較差。于是可以借助智能控制算法來達到更好的控制效果。

本文主要介紹基于遺傳算法的伺服系統PID參數整定，通過Matlab仿真Kp、Ki、Kd參數自整定得到最優解。

1 數控機床進給伺服系統的數學模型

1.1 PMSM的數學模型

通過坐標變換將三相坐標系下的定子交流電流變換為兩相旋轉坐標系下的直軸電流和交軸電流[3]。

為了得到理想情況：①假設磁路不飽和；②定子三相繞組對稱，忽略空間高次諧波；③忽略鐵心損耗（渦流損耗和磁滯損耗）；④定子空載電動勢是比較標準的正弦波；⑥系統中頻率和溫度對繞組的電阻假設無影響，一直保持恒定值。圖1為PMSM等效結構坐標圖。

圖1 PMSM等效結構坐標圖

圖1 中，Oa、Ob、Oc為三相定子繞組的軸線，取轉子的軸線與定子a相繞組的軸線的電氣角為θ，可以建立永磁同步電動機的物理方程[4]為

式（1）、式（2）分別是感應電動機的電壓方程和磁鏈方程，ua、ub、uc是三相定子繞組的電壓，ia、ib、ic是三相定子繞組的電流，?a、?b、?c是三相定子繞組的磁鏈，定子電阻Ra＝Rb＝Rc＝R，定子電感La＝Lb＝Lc=L；?f為轉子磁場的等效磁鏈。

三相定子交流電的主要作用是產生一個旋轉的磁場[5]，當兩相相位正交的對稱繞組通以兩相相位相差90°的交流電時，也能產生旋轉磁場。根據矢量變換原理，建立一個與永磁同步電動機轉子同步旋轉的d-q坐標系，讓d軸與轉子磁極重合，順著旋轉方向超前90°電角度為q軸，把永磁同步電動機定子的各參量都轉化到d-q旋轉坐標系下。

1.2 矢量變換原理

矢量變換分為Clarke和Park兩種，變換的基本的原則是變換前后磁動勢完全等效。矢量變換時，先進行 Clarke變換，式（3）中將三相靜止坐標系的電流值iA、iB、iC轉換為兩相靜止坐標系中的電流值 iα、iβ。然后再經過 Park變換，兩相靜止坐標系就變成了兩相旋轉坐標系[6]。式（5）中將兩相旋轉坐標系中的電流值 iα、iβ轉換為兩相靜止坐標系中的電流值id、iq。

圖2為OABC到Oab的轉換。

圖2 OABC到Oαβ的轉換

圖3 Oαβ到OMT的轉換

可以得到Clarke正變換為

Clarke和Park變換其用意就是將交流電動機電流解耦成勵磁電流跟電驅電流來控制，模擬直流電動機一樣的控制特性。

1.3 同步旋轉坐標上的PMSM數學模型

凸極式電動機的自感互感都是余弦函數，將電壓方程變成含有時變系數的微分方程。圖4為永磁同步電動機矢量圖。

圖4 永磁同步電動機矢量圖

設定Lmd、Lmq為d、q軸的勵磁電感；Lsσ為d、q軸線圈的漏感；ud、uq為d、q軸定子電壓；id、iq為 d、q軸定子電流；φd、φq為 d、q軸定子磁鏈；Lq=Lmq+Lsσ、Ld=Lmd+Lsσ為 d、q 軸的總電感；φf是轉子磁場的等效磁鏈。

得到PMSM電流方程為

2 遺傳算法在PID控制中的應用

遺傳算法（genetic algorithms, GA）是以自然選擇和基因遺傳理論為基礎[7]，模擬大自然生物進化過程，通過選擇，交叉，變異等操作[8]，在解空間中通過指定的迭代次數進行尋優，向著全局最優的方向收斂。

在遺傳算法中，根據實際需求設定一個適應度函數，篩選出適應度較高個體，以提高遺傳算法的搜索效率和全局搜索能力[9]。遺傳算法過程用到了適應度準則，適應度高的會擁有較高概率遺傳到下一代中，適應度低的則會擁有較高的概率被淘汰[10]。

選用誤差絕對值時間積分性能指標作為參數選擇的最小目標函數，即

式中，e(t)為系統誤差；u(t)為控制器輸出；tu為上升時間；w1、w2、w3、w4為權值，而且 w4＞＞w1。

本文取適應度函數為目標函數J的倒數，即

式中，遺傳算法在進化搜索中基本不利用外部信息，僅以適應度函數為依據，利用種群每個個體的適應度來進行搜索。因為適應度函數的復雜度是遺傳算法復雜度的主要組成部分，所以適應度函數的設計應盡可能簡單，使計算的時間復雜度最小。

在伺服系統中應用遺傳算法時，首先需要對參數進行編碼和譯碼操作。編碼一般有二進制編碼和浮點數編碼兩種方式，這里選用二進制編碼。由于二進制編碼不能直接在控制器算式中使用，因此必須解碼后使用。編碼時，將3個參數分別代表10位二進制碼，同樣在解碼過程中，將這個數字串分為三部分，每十位為一個二進制編碼。然后轉換成十進制數。例如在工業過程控制中，Kp的變化范圍是從0.1到100。Kp譯碼公式如下：

式中，m為十位無符號二進制編碼。

再確定一個解碼方案，相當于基因型到表現型的轉換。然后進行解碼操作。再通過已經確定的轉換規則可得到個體的適應度。適應度值非負，適應度值增加的方向就是目標函數優化的方向。圖5為基于遺傳算法的PID優化控制方案原理圖。

圖5 基于遺傳算法的PID優化控制方案原理圖

本文選用比例選擇算子。因為比例選擇算子嚴格的遵循個體被選中的概率和適應度呈線性的正比關系。

式中，Pi代表被選中的概率。在這個群體中適應度高的個體要比適應度低的個體更容易遺傳下去，因為被選中進行復制的概率大。這樣就使得這種遺傳關系變得特別容易從適應度中看出來，并且比較標準。

根據遺傳算法的流程，可以得到基于遺傳算法的PID參數尋優的流程圖。與單純的GA算法類似，也是一個迭代循環。

圖6是基于遺傳算法的PID整定流程圖，可以看出在經過主要的選擇變異交叉操作后，進行判斷，若群體不穩定，則繼續迭代；若達到穩定條件，則停止操作，輸出尋優結果。

這種算法方法簡單，僅僅需要對數字串進行復制交換或者改變某一位。由于復制、交叉和變異功能以及群點尋優的方式避免了陷入局部最優解問題，所以這種方法不受模型初始條件的影響，可以在完全不知道系統初始狀態的情況下，在一個解空間中進行迭代尋優。一般來說，先根據傳統工業控制中的實際操作經驗，選取一組參數，然后進行遺傳算法的迭代，直到達到控制要求為止。這樣就可以節省很多時間以及避免不必要的時間浪費以及計算浪費，提高了控制效率。

把遺傳算法運用于PID的參數整定，不但克服了常規PID整定方法的缺點，而且實現了PID參數離線整定。這種方法把遺傳學的思想與控制工程相結合，模擬自然進化過程，搜尋最優解。

圖6 遺傳算法（GA）流程

3 進行Matlab仿真

圖7 階躍響應輸出曲線

圖8 階躍響應誤差曲線

圖9 最優個體適應值

圖 10 Kp、Ki、Kd優化曲線

使用經驗法選定Kp、Ki、Kd參數時，假設選定的Kp=0.5、Ki=60、Kd=0，當輸入為一階躍函數時，得到輸出曲線和誤差曲線，分別如圖7和圖8所示。

圖7中調節時間為0.071s，很明顯能看出此次調節時間較長，且系統波動較大。若應用在實際的工業控制中，控制效果不太好。使用遺傳算法時，進行Matlab仿真。

其中，Kp=0.1656、Ki=65.8216、Kd=0，適應度函數的最優值是Jbest=11.64。可以看出在100次迭代中，最優個體適應度值在 20次循環后逐漸趨于穩定。在圖10中，采樣點取每次迭代的最后一次結果，也就是最優解，采樣100次后，繪制出優化曲線圖。可以看出得到Kp、Ki、Kd都已經穩定，取出這個穩定值就是最優解。Kp、Ki、Kd得到最優解后繪制輸出曲線和誤差曲線，分別如圖11和圖12所示。

圖11 GA優化階躍響應輸出曲線

圖12 GA優化階躍響應誤差曲線

調節時間為0.0481s，相比于使用經驗法，調節時間已經明顯變短，圖形波動也沒有經驗法變化的劇烈，波形更加平滑。因此，可以知道基于遺傳算法的PID參數調節比僅僅依靠經驗值進行估算Kp、Ki、Kd的方式收斂速度更快。

4 結論

通過本文的研究，傳統的PID控制依靠經驗選取參數，曲線波動較大，調節時間也比較長。相比于傳統的PID控制，基于遺傳算法的PID控制效果更好，實現了PID參數調節的全局最優化。經過仿真實驗，可以得出基于遺傳算法的PID參數整定與傳統的PID參數選定相對比，具有更加精確的優點，多目標尋優，運算速度更快，魯棒性強，是理想快捷的優化算法。

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