電容濾波型不控整流裝置2/3/2/0導通模式的數值分析

徐 塵 付立軍

（海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，武漢 430033）

多脈波不控整流裝置因其結構簡潔、運行可靠及容量大的特點在高壓直流輸電、變頻調速系統、靜止無功補償器、有源電力濾波器等場合廣泛應用[1-3]。傳統上電子學對此類整流裝置的研究多集中于其直流側串接較大平波電抗器輸出恒流的情形[4-6]，而隨著中高壓變頻調速系統的廣泛應用，裝置直流側并聯較大濾波電容作為直流電壓源的情況，也在引起國內外相關學者的關注[7-11]。

根據整流裝置直流側輸出電流波形是否連續，電容濾波型三相不控整流裝置的工作模式可劃分為電流斷續模式和電流連續模式。根據工作過程中導通的功率元件數量及順序，存在兩種斷續工作模式，即“2/0”模式和“2/3/2/0”模式[12]。

對長時間穩態工作的整流裝置，一般應確保其處于電流連續模式，避免電流斷續帶來較大諧波畸變。但若裝置工作在某些負載變化較快的場合，如脈沖負載，則不可避免出現電流斷續。由于2/3/2/0模式狀態間切換過程復雜，在 1/6周期內會出現 4種電路模態，且其相對應的負載范圍窄，因此以往對于整流裝置斷續模式的研究集中于2/0模式[13-17]，忽略了對2/3/2/0模式的研究。如果采用2/0模式的計算方法來近似計算2/3/2/0模式，則不可避免會出現計算偏差。因此，完善2/3/2/0模式的研究，對準確分析電容濾波型三相不控整流裝置的非線性運行機理具有現實意義。對完善多脈波不控整流裝置（如12脈波、24脈波）的運行模式研究也有借鑒參考價值。

本文采用經典電路分析方法，分析了2/3/2/0模式4個導通階段間的邊界條件，利用電路的對稱性對不同導通狀態下電容濾波型三相不控整流裝置的電壓電流參數建立了微分方程，應用數值計算方法最終求得精確解，經過與電路時域仿真相比對，最終證明該方法的準確性。

1 2/3/2/0模式的等效電路

電容濾波型多脈波不控整流裝置交流側大多連接變壓器或發電機，交流電感的作用不可忽略，而由于空間、成本約束，直流側一般不再專門配備濾波電感，而并聯以較大容量的濾波電容。如圖1所示，L為交流側等效電感，r為交流側等效電阻，C為濾波電容，R為負載電阻。本文中設電路參數對稱，交流側為理想的三相交流電源，不含高次諧波。由圖2交流電流波形可知，2/0模式分為二管導通和電流斷續兩個階段。2/3/2/0模式則分4個階段：①二管導通，為方便敘述，以D1、D6管起始導通為例，作為整個過程的起點；②發生換相，由于線電壓周期脈動，存在由 A、B相換至 A、C相的過程。而換相過程中由于交流電感的存在導致電流無法突變，會出現D1、D2、D6三管導通；③換相結束，再次進入二管導通，但時間很短，此時D1、D2導通；④換相過后出現交流側電流斷續，此時電流為0，直到出現新的二管導通為止。整個過程持續π/3電角度。

設[0, γ]為 D1/D6管導通區間，[γ, δ]為 D1/D2/D6管導通區間，[δ, ε]為 D1/D2導通區間，[ε, π/3]為無器件導通區間。對不同區間的直流電壓uc和交流電流iA、iB、iC進行劃分，4個階段分別用下標1、2、3、4加以區分。其各個階段的等效電路如圖3所示。

圖1 電容濾波型三相不控整流裝置拓撲

圖2 電容濾波型三相不控整流裝置的電流斷續模式交流電流波形

圖3 2/3/2/0模式的等效電路

2 2/3/2/0模式的數值分析

在第一個二管導通區間，結合基爾霍夫定律，有如下二階微分方程：

當式（1）的特征方程具有共軛復根時，該方程解的形式為

但是c1仍未知，留到后文解決。

0時刻交流電流為0，變化率也為0，有如下關系：

由式（4）可知，u0為變量θ的函數。

tωγ=時刻，第一次二管導通結束，進入三管導通階段，D1/D2/D6管導通，此時，iB=iA，C相電流iC為0，其電流變化率也為0，其等效電路如圖4所示，并可以建立如下方程組：

圖4 三管導通起始時刻等效電路

則有

式（7）的第一個方程為二階非齊次常微分方程，當該二階方程的特征方程具有共軛復根時，uc2的解可表示為

進入[δ, ε]區間的等效電路，整流裝置再度進入二管導通狀態，類似方程（1），可得直流側電容電壓3cu 的二階微分方程如下（方程中ωt取[0, ε?δ]）：

由ε時刻電流斷續，電路開路，得到臨界條件：

此時直流電壓與線電壓有如下關系：

而設電流斷續時的電容電壓等于u3，有如下表達：

由式（27）可知，可將c1看做u4的函數，而式（26）的后半式u4可由u3表達。這樣，前文假設的其他參數 u1、i1、u2、i2、u4均可由 5個未知數θ、γ 、δ 、ε 、u3的相關函數來表示。這5個未知數，由式（6）、式（15）、式（21）、式（23）、式（25）組成非線性方程組，采用數值計算方法如牛頓法、割線法等，可求出上述5個未知數的確定解，應注意上述數值計算法均為局部最優解法，所以初值選取應盡可能合理。求出相關未知數后，可根據式（27）求出直流電壓uc，uc呈現6倍頻波動。

直流電流 id在區間[0, π/3]內與 A 相電流 iA重疊，也呈現6倍頻波動。表達式如式（28）所示。

以A相電流為例，2/3/2/0導通模式下的半個周期內交流側電流表達式如式（29）所示，由于交流電流存在半波對稱的特點，所以后半周期(t)=?iA(t ? π /ω)。

3 初值選取及算法收斂性

本文提出的對非線性方程的數值求解，傳統多采用牛頓法、二分法、割線法或其他改進型算法。這類迭代法一般都有局部收斂的問題，因此，初值的選擇對于算法最終是否能夠收斂十分關鍵，初值的選取應盡量接近。本文對初值的選取原則如下：2/3/2/0導通模式介于 2/0導通模式和 3/2導通模式之間，三管導通時長很短，可近似將γδε、、都取為π/3；θ為線電壓 uAC與D1、D6起始導通時刻的差值，由于交流電感引起二極管導通延遲，所以這個角度應選擇在0到π/6之間，本文取為π/12；而電壓u3的初值可由不控整流的直流電壓平均值的計算公式[5]近似得到，近似取為1.35m/E 。

4 仿真與驗證

利用符號計算軟件 Mathematica對上述方程組進行編程，調用該軟件的FindRoot函數，選擇割線法對上述5個方程進行數值求解。計算算例參數如下：L=0.2mH，r=0.02Ω，C=3.3mF，R=8.5Ω，Em=2206V，交流電壓頻率為 50Hz。裝置工作在穩態時，處于2/3/2/0模式。同時利用Matlab/Simulink軟件對如圖1所示電路進行時域仿真，仿真中設定二極管為理想開關元件，未考慮導通壓降，以驗證本文提出的計算方法。計算經過8次迭代收斂，數值計算求解方程組結果見表1。

表1 計算結果

由式（33）、式（34），通過分別計算電容電壓uc及直流電流 id在π/3電角度內的傅里葉級數求取各特征頻率幅值，獲得各次諧波含量；在時域仿真中則通過使用Powergui模塊的FFT分析工具獲得電容電壓及直流電流的諧波分量。計算結果與仿真對比見表2至表4。

從表 2、表 3中可以看出，直流側的諧波分量主要為6次諧波的倍頻分量。由表4可知，交流電流諧波次數為6n±1次。計算結果、仿真結果的直流分量和各次諧波幅值基本一致，證明了本文所提方法的正確性。

表2 直流電壓諧波含量計算結果與仿真結果對比

表3 直流電流諧波含量計算結果與仿真結果對比

表4 交流電流諧波含量計算結果與仿真結果對比

5 結論

對三相不控整流裝置的電流斷續模式，以往的研究基本上聚焦于“2/0”模式。對切換狀態復雜的“2/3/2/0”導通模式，在三相對稱且交流電壓不含高次諧波分量前提下，本文進行了分析計算方法的推導。主要根據不同導通狀態的分界條件，利用電路的對稱性，列寫出解析表達式。最終將復雜的電路狀態轉換用五元微分方程組來表達，繼而利用數值計算方法，求解了該超越方程組。本文利用上述方法分析了電壓、電流的諧波含量，與仿真對比，驗證了該方法的正確性。

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