網絡保密通信中的有限時間同步控制理論研究

孟雷

摘 要： 在網絡保密通信中，為了保證保密信息在網絡中傳輸的安全性，提出一種新的有限時間同步控制策略，使得發送端網絡與接收端網絡能夠在有限時間內實現廣義輸出同步，即發送端網絡與接收端網絡能在極短的時間內達到同步，并且雙方網絡滿足一種非常復雜的函數關系，從而增加了第三方破解雙方網絡滿足的關系，增強了信息傳輸的安全性和保密性。應用Lyapunov穩定性理論證明了發送端網絡與接收端網絡在設計的非線性控制器作用下是如何保證系統穩定性的。仿真實驗采用Lorenz系統，結果表明，該網絡結構滿足無標度特性，在設計的非線性控制器下能夠有效地實現有限時間廣義輸出同步。

關鍵詞： 有限時間同步； 安全通信； 廣義輸出同步； 信息安全； 發送端網絡； 接收端網絡； 非線性控制器

中圖分類號： TN915.08?34； TP391.41 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）05?0047?04

Abstract： In the network secret communication， in order to guarantee the transmission security of secret information in network， a new finite?time synchronization control strategy is proposed to realize the generalized output synchronization from the sending?end network to receiving?end network in finite time， and ensure that the two networks can satisfy a complex function relationship in shortest time， so as to make the third party crack the relationship satisfying the two networks， and enhance the security and confidentiality of information transmission. According to the Lyapunov stability theory， how to guarantee the system stability of the sending?end network and receiving?end network by using the nonlinear controller was verified. The Lorenz system is used for simulation experiment. The simulation results show that the network structure satisfies the scale?free characteristic， and the nonlinear controller can realize the finite?time generalized output synchronization effectively.

Keywords： finite?time synchronization； safety communication； generalized output synchronization； information security； sending?end network； receiving?end network； nonlinear controller

0 引 言

網絡安全涉及計算機科學、網絡技術、通信技術、密碼技術、信息安全技術、應用數學、數論、信息論等多種學科。網絡通信中的保密技術是通信技術的核心技術之一。因此，網絡安全、通信保密問題特別重要。

當兩個網絡在傳輸秘密信息時必須要保證兩個網絡同步才能正確接收信息，然而在信息傳輸的過程中如何保證信息傳輸的安全性是一個非常重要的問題，前人研究了很多同步機制，比如完全同步、滯后同步、輸出同步[2?4]等。其中，輸出同步能夠有效地提高發送端網絡與接收端網絡信息傳輸的安全性，每次可以設計不同的投影函數，使得攻擊方無法預測兩個網絡之間的同步關系。文獻[5?7]研究了兩個網絡的輸出同步，然而輸出同步機制的收斂時間是無窮的，而希望得到的結果能夠在有限的、很短的時間內達到兩個網絡的同步，進而更加及時地傳輸信息。

為了實現兩個網絡的有限時間同步，一個有效的方法就是使用有限時間同步控制技術。有限時間同步控制已經在文獻[8]中的混沌系統中得到了應用與研究。其中的隨機近似算法的穩定性是與隱含的漸近穩定性相關的常微分方程，因此又意味著算法的收斂。幾個特定類別的算法被認為是應用程序，并為其強化算法的已知結果提供簡單的推導，第一次證明了一類不適用任何先驗假設穩定性的一步隨機逼近算法的收斂性，并回答了最優成本控制性問題。文獻[9?10]對復雜網絡與神經網絡的有限時間同步控制進行研究。其中，文獻[9]研究了不同階混沌系統的廣義同步問題。基于有限時間穩定性理論，提出一種在有限時間內不同階次的混沌系統廣義同步的控制策略。除了參數之間的關系，得出系統的初始狀態和收斂時間。在文獻[10]中，研究了在隨機噪聲擾動的復雜網絡中進行有限時間隨機同步的問題。利用有限時間穩定性定理、不等式技巧、維納過程的性質通過加入合適的控制器，確保對復雜網絡的有限時間隨機同步的充分條件。分析了控制參數對同步速度和時間的影響。在文獻[11?12]中，考慮了一類具有耦合時變時滯的中立型復雜動態網絡的同步問題。通過使用對系統動力學的非線性凸表示，利用LMI基于離散化Lyapunov泛函?穩定性條件（線性矩陣不等式），得到與時滯相關的同步判據對中性的復雜動態網絡的同步。然而以上方法均沒有考慮時變時滯的情況，其所考慮的均為含有常數時延的情況。endprint

基于以上分析，本文所做的工作填補了在網絡保密通信中帶有時變時滯的發送端網絡與接收端網絡實現有限時間廣義輸出同步的空缺，設計了一種新型的控制器用于保證發送端網絡與接收端網絡的有限時間廣義輸出同步，進而更好地保證網絡間傳輸信息的安全性。

1 理論基礎

考慮一個包含有個節點的復雜網絡的動力學系統，其中每個節點都是維的，動力學方程如下：

式中：是第個節點在第個時刻的狀態向量；是連續的非線性可微的向量函數；是內部耦合矩陣，是連接耦合變量的常數矩陣，一般來說，選擇為單位矩陣。是外部耦合矩陣，代表網絡的拓撲結構。如果網絡中，節點和節點存在連接，定義，否則，并且定義同理，。

為了在兩個網絡間傳輸信息時達到有限時間廣義輸出同步，從而提高網絡保密通信的安全性，實現信息的安全傳輸，定義方程（1）為發送系統，接收系統定義如下：

式中：是內部耦合矩陣；代表網絡拓撲結構；表示添加到響應系統的控制器。

本文中沒有假設耦合矩陣是不可約的，也沒有假設耦合矩陣是對稱的，所以發送端的網絡（1）和接收端的網絡（2）都可以是無向的網絡也可以是有向的網絡，在兩個網絡中都可能包含一些孤立的節點或者簇。

下面給出有限時間廣義輸出同步的定義。

定義：假設是一個連續可微向量集，如果網絡（1）和（2）滿足下面的式子就表明發送網絡（1）和接收網絡（2）達到了有限時間廣義輸出同步：

式中就是發送端網絡（1）和接收端網絡（2）達到有限時間廣義輸出同步的時間。

下面給出本文需要用到的一些假設和引理。

假設 對所有的存在一個正常數滿足：

引理 對于一個連續可微系統，假設存在一個連續可微的函數，使其是正定，并且：

式中，微分系統是有限時間穩定的，并且可計算出有限時間的表達式如下：

式中為一個系統的初始狀態。

2 控制器設計

利用有限時間理論，發送端網絡（1）和接收端網絡（2）將實現有限時間廣義輸出同步，本文給出了實現有限時間廣義輸出同步的定理，利用Lyapunov穩定性理論對所設計的控制器如何保證系統的穩定性進行證明。

定理 在假設1存在的條件下，發送端網絡（1）和接收端網絡（2）實現了有限時間廣義輸出同步，為了克服傳統控制器在收斂性和穩定性方面的弊端，將同步誤差與雅克比矩陣相結合，體現出最優的線性逼近以保證同步性。因此，在接收端添加控制器為：

通過將雅克比矩陣與同步誤差引入到控制器中，可有效抑制同步過程中產生的噪聲和波動，并實時性地糾正狀態偏差。利用雅克比矩陣最優逼近的特性，可降低對收斂性的保守性，從而適用于更加復雜的網絡和實際通信環境。

證明：依據發送端網絡（1）和接收端網絡（2），得到下面的誤差系統：

構建如下的Lyapunov函數：

3 實驗與分析

為了驗證定理的正確性與有效性，進行了大量的模擬實驗。受控復雜網絡采用Lorenz系統，并且考慮網絡包含有50個節點和兩種性質的邊。發送端網絡的動力學方程可以描述為：

接收信息端的網絡動力學方程為：

接收端的網絡動力學性質也滿足Lorenz系統的動力學特性。為無標度網絡的連接矩陣，根據定理計算出的最大同步時間為0.823 5。

圖1顯示了在控制器作用下的同步誤差和曲線，當時，可以清楚地看到三條誤差曲線在相同的時間達到同步。從以上的數值仿真可以看出，所提出的控制器具有較高的同步精度和較快的收斂性。

4 結 語

為了實現信息在網絡中的保密通信，研究了一種有限時間廣義同步控制理論，保證發送端的網絡與接收端網絡能在有限時間內達到同步。根據Lyapunov穩定性理論，證明了所提控制器的有效性。最后，利用Lorenz系統進行仿真實驗，驗證了本文所提定理的正確性。

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