定式思維招全錯，審清題意挽敗局

王修湯

學完《簡單的線性規劃問題》一節后，我班同學練習了這樣一道題.

一、題目重現

某制藥公司有三條生產線生產中成藥產品.公司進行產品結構調整，決定用現有產品生產線的剩余生產能力試生產兩種新產品，新產品的生產方式為批量生產：400個產品為一批.目前由于大多數生產設備已用于其他產品的生產，所以首先確定每周生產線可用的生產時間，以及各種產品每批的生產時間，時間單位以小時計.然后由生產中心確定生產成本，市場中心進行定價，得到兩種新產品每一批的利潤.具體數據如下表所示.

試確定這兩種產品的生產方式，以使公司每周的利潤最大，并求出最大利潤.

二、普通解法我班同學普遍解法如下：設每周生產產品一x批，生產產品二y批，每周的利潤為g千元，則約束條件為

目函數為z=3x+5y，畫出可行域（如圖1）.當直線z=3x+5y經過直線3x+2y=18與直線y=6的交點（2，6）時，z取最大值36，所以生產線每周生產2批產品一，生產6批產品二時，公司利潤最大，最大利潤為36千元.

三、參考答案

設第三條生產線每周生產產品一、產品二分別為x批、y批，此生產線每周的利潤為z元z千元，則約束條件為3x+2y≤18，x≥0，y≥0目標函數為z=3x+5y，畫出可行域（如圖2）.當直線z=3x+5y經過直線3x+2y=18與直線x=0的交點（O，9）時，z取最大值45，所以生產線1每周生產4批產品一，生產線2每周生產6批產品二，生產線3每周生產9批產品二時，公司每周的利潤最大，最大利潤為87千元.

四、錯因分析

本是課本上的一道常規練習題，全班同學卻無一人做對，這必須引起足夠的重視.仔細分析了解就會發現，是我們的定式思維招致了錯誤.因為這幾天我班剛學過線性規劃的應用題，很多題目都是根據條件列jLI_I表格，再寫出約束條件.例如課本中有一道例題：某工廠生產甲、乙兩種產品，生產1 t甲種產品需要A種原料4 t，B種原料12 t，產生的利潤為2萬元；生產1t乙種產品，需要A種原料1t，B種原料9t，產生的利潤為1萬元.現有庫存A種原料10t，B種原料60t，則甲、乙兩種產品應各生產多少，才能使利潤總額最大？

課本上為了指導解題，將已知數據整理成下表：

根據表格，很多同學列出的約束條件是O≤4x+y≤10，0≤12x+9y≤60，這個約束條件對于這道x≥0，y≥o.題來說是正確的.但是當我們做其他題目時，例如前面的原題，還不由自主地去套用表格的這種模式，就會列出上面錯解中的約束條件.從錯解得出的結論也能發現錯誤，因為錯解結論中并沒有交待清楚每一條生產線如何生產，僅僅是籠統指出生產線每周生產2批產品一，生產6批產品二.

五、重新審題

題目中“400個產品為一批”是什么意思？每一批只能全是一種產品嗎.還是可以在同一批中同時有產品一和產品二？靜心分析應該是每一批都是一種產品.第一，因為生產線的性質決定了每批只能生產一種產品；第二，題目中的表格也體現出每批只是一種產品.

對于第1條和第2條生產線，沒有懸念.每周只能生產一種產品，當然盡全力生產，效益最高.所以第1條生產線每周生產4小時產品一，即生產4÷1=4批，就能獲得最大利潤4×3=12（千元）；而第2條生產線每周生產12小時產品二，即生產12÷2=6批，就能獲得最大利潤6×5=30（千元）.

唯獨第3條生產線，它是一段時間生產產品一，另一段時間生產產品二，必須合理安排才能獲得更大的利潤.所以才會有約束條件3x+2y≤18，x≥0，y≥0其實從表格可知，產品二所需時間短，利潤大，所以理所當然全部生產產品二，這和我們利用線性規劃知識解得的答案r=0，y=9完全一致.所以，第3條生產線每周生產18小時產品二，即生產18÷2=9批，獲利9×5=45（千元）.總的利潤為每周12+30+45 =87（千元），即8.7萬元，

由此算來，解題的前提是“審題”，如果連題目的意思都沒有弄明白就下手解題，那就只能死套題型，最終招致的就是“全錯”.只有審清題意，才是解決數學問題的“正道”，endprint