求幾類數列公共項問題的解題策略

唐春婷

（上海市民辦遠東學校〈普通高中〉）

一、兩個等差數列的公共項問題

解一：為了發現公共項的規律，不妨將兩個數列分別列舉出一些項：

5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41…

3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51…

顯然相同的項構成的數列是11，23，35，47…

由以上分析可知，相同項構成以c1=11為首項，以d=12為公差的等差數列，通項公式為cn=12n-1。

bp+1=4（p+1）-1=4p+3=3m+6=3（m+2）? ｛an｝；

bp+2=4（p+2）-1=4p+7=3m+10=3（m+3）+1? ｛an｝；

bp+3=4（p+3）-1=4p+11=3m+14=3（m+4）+2∈ ｛an｝；

所以，cn+1=bp+3，cn=bp。

cn+1-cn=bp+3-bp=12，易得公共項構成以c1=11為首項，以d=12為公差的等差數列，通項公式為cn=12n-1。

點評：由此可以看出新數列的公差應是原來兩數列的公差的最小公倍數。對于解一，推理不夠嚴謹，但是對于解選擇填空題，也不失為一種快速的方法。解二的推理較為嚴謹，技巧性較強，下面我們用中國剩余定理探究一下問題的本源。

解三：顯然數列 ｛an｝的每一項是被3除余2（也可以說被3除余-1）的自然數，數列 ｛bn｝的每一項是被4除余-1的自然數，這樣兩個數列的每一項余數相同，設構成的新數列為 ｛cn｝，根據同余，則 ｛cn｝滿足易得cn=12k-1，又通過簡單的計算得新數列的首項為11，因此令k=n，k∈z所以cn=12n-1。

對于三個或者三個以上等差數列，要求它們的公共項從小到大排成的新數列的通項公式，同樣可以用到中國剩余定理，轉化為有關同余的問題，關鍵先求出數列公差的最小公倍數。如假設p個等差數列 ｛ani｝，i=1，2，…，p 的通項公式分別為 an1=e1n+f1，an2=e2n+f2，…，anp=epn+fp，公差 e1，e2，…，ep全不為 0，則這 p 個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新的等差數列 ｛cn｝，新數列公差d即為的最小公倍數，而新數列的首項通過簡單的計算得出。

二、等差數列與等比數列的公共項問題

例：等差數列an=4n-1，等比數列bn=3n，它們的公共項由小到大排成新的數列 ｛cn｝，求 ｛cn｝的通項公式。

解一：設等差數列 ｛an｝的第m項與等比數列 ｛bn｝的第p項相等，即 cn=am=bp，即 cn=4m-1=3p，bp+1=3·3p=3（4m-1）=4（3m-1）+1? ｛an｝，bp+2=9·3p=9（4m-1）=4（9m-2）-1∈ ｛an｝，所以 cn+1=bp+2，cn=又 c1=3，∴cn=3·9n-1=32n-1。

解二：利用二項式定理

設 cn=am=bp，即 cn=4m-1=3p，

當 p 為奇數時，4k+（-1）p=4k-1，即數列 ｛bn｝的奇數項由小到大排成數列 ｛cn｝，所以 cn=b2n-1=32n-1。

點評：對于解一，等比數列很明顯在n的值相同的情況下在數值上比等差數列增幅大，所以公共項從第二項起，應該考慮等比數列中哪些項是等差數列中的項，對于解二，問題轉化為求p，m的不定方程，利用二項式定理求解。

三、等差數列與多項式數列的公共項問題

例：數列 ｛an｝與 ｛bn｝的通項公式分別為an=5n+4，bn=n2，它們的公共項從小到大排成新的數列 ｛cn｝，求 ｛cn｝的通項公式。

解：設等差數列 ｛an｝的第m項與等比數列 ｛bn｝的第p項相等，即 cn=am=bp，即 cn=5m+4=p2，m=考慮 p=5k-4，5k-3，5k-2，5k-1，5k 時，分情況討論：

當p=5k時，m=5k2-?N*；當 p=5k-1時，m=5k2-2k-3?N*；5

當 p=5k-2 時，m=5k2-4k∈N*；當p=5k-3時，m=5k2-6k+1∈N*；

當p=5k-4時，m=5k2-8k+?N*，故當 p=5k-2，p=5k-3時，m為正整數。

故 ｛cn｝中的項依次為：b2，b3，b7，b8，b12，b13，…，｛cn｝中的奇數項依次是 b2，b7，b12，b17，…下標是以 5 為公差的等差數列；｛cn｝中的偶數項依次是 b3，b8，b13，b18，…下標是以 5 為公差的等差數列；當n 為奇數時，c2k-1=［2+（k-1）×5］2=（5k-3）2，當 n 為偶數時，c2k=［9+（k-1）×5］2=（5k+4）2；所以 cn=

點評：根據本題的解題思路，可以很快找到規律解決以下問題。如數列an=3n+1，bn=n2，公共項構成新數列 ｛cn｝：b2，b4，b5，b7，b8，b10，…；再如數列 an=7n+2，bn=n2，公共項構成新數列 ｛cn｝：b3，b4，b10，b11，b17，b18，…。故對于等差數列 an=pn+q，bn=n2，首先通過計算兩個數列前p項中公共項，假設為bi，bj，則構成的新數列 ｛cn｝：bi，bj，bi+p，bj+p，bi+2p，bj+2p，bi+3p，bj+3p，…，奇數項及偶數項下標分別構成以p為公差的等差數列，這樣就易算出新數列的通項公式。

［1］陳素貞，陳麗美.中國剩余定理在求一類等差數列公共項問題的應用［J］.福建中學數學，2008（12）.

［2］戴亞寧.淺議兩個數列的公共項［J］.中學數學月刊，2000（9）.