錯(cuò)中悟道：善用概型定義 厘清題目本質(zhì)

吳玲

很多同學(xué)覺(jué)得概率問(wèn)題易做不易對(duì)，究其主要原因，還是概念模糊致錯(cuò)，所以我將同學(xué)們?cè)诟怕蕦W(xué)習(xí)中的典型易錯(cuò)題型進(jìn)行了總結(jié)歸納，以期對(duì)大家今后的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、古典概型

古典概型概率題目看似簡(jiǎn)單，但因概念理解不透、審題不清，常會(huì)造成錯(cuò)解.

1.現(xiàn)有分別標(biāo)有1，2，3，4的四張撲克牌，甲、乙兩人從中各任取一張，求取出的撲克牌上的兩數(shù)和為奇數(shù)的概率.

錯(cuò)解1 記“取出的撲克牌上的兩數(shù)和為奇數(shù)”為事件A，等可能基本事件（即兩數(shù)之和）有：2，3，4，5，6，7，8，共7個(gè).

事件A包含的基本事件有：3，5，7，共3個(gè)，所以P（A）=3/7，

錯(cuò)解2 記“取出的撲克牌上的兩數(shù)和為奇數(shù)”為事件A，等可能基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個(gè).

事件A包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，3），（3，4），共4個(gè)，所以P（A）=4/6=2/3.

錯(cuò)解3 記“取出的撲克牌上的兩數(shù)和為奇數(shù)”為事件A，等可能基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4.3），（4，4），共16個(gè).

事件A包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8個(gè)，所以P（A）=8/16=1/2

錯(cuò)因分析 三種錯(cuò)解都是因?yàn)閷忣}不清，導(dǎo)致基本事件寫(xiě)錯(cuò)，本題的試驗(yàn)是“甲、乙兩個(gè)人取，看撲克牌上的點(diǎn)數(shù)”，它的結(jié)果才是基本事件，而不是“兩數(shù)的和”的結(jié)果作為基本事件，故解法1錯(cuò)；因?yàn)槭恰凹?、乙兩個(gè)人取”，所以是有先后順序的，故解法2錯(cuò)；又兩人不會(huì)同時(shí)取一張撲克牌，所以數(shù)字不可能重復(fù)，故解法3錯(cuò).

正解 記“取出的撲克牌上的兩數(shù)和為奇數(shù)”為事件A，等可能基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12個(gè).

事件A包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8個(gè)，所以P（A）=8/12=2/3.

反思 解答古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是正確尋找試驗(yàn)的基本事件，確定好概率求解公式中的分子分母各白包含基本事件的數(shù)目.

二、幾何概型幾何概型與古典概型有相同之處義有不同之處，初學(xué)時(shí)往往不能識(shí)別幾何概型的特點(diǎn)，容易犯一些似是而非的錯(cuò)誤.

2.在等腰Rt△ABC中，∠C=90。，在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率，

錯(cuò)因分析 題中的表述“在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M”說(shuō)明本題的測(cè)度應(yīng)為角度，而上述解法將測(cè)度錯(cuò)誤地定為線段長(zhǎng)度.若將表述換成“在直角邊BC上任取一點(diǎn)M”，則上述解法正確.在解決幾何概型問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真審題，分清問(wèn)題考察的測(cè)度，從而正確解決問(wèn)題.

正解 本題的測(cè)度應(yīng)定為角度，過(guò)點(diǎn)A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無(wú)數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM/∠CAB=30°/45°=2/3

3.在區(qū)間[1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cosπx/2等的值介于0到1/2之間的概率為

.

錯(cuò)解 因?yàn)閤∈[1，1]，所以cosπx/2∈/-π/2，π/2/，cosπx/2∈[0，1]，區(qū)間長(zhǎng)度為1，而區(qū)間[0，1/2]的區(qū)間長(zhǎng)度為1/2，所以所求概率為1/2.

錯(cuò)因分析 根據(jù)定義，題中構(gòu)成事件區(qū)域的元素是x的取值范圍，而不是cosπx/2的取疽范圍，所以上述解法錯(cuò)誤.

正解 因?yàn)閤∈[1，1]，所以πx/2∈[-π/2，π/2]，義因?yàn)閏osπx/2等∈[o，1/2]，所以πx/2∈[-π/2，-π/3lU[π/3，π/2]，所以x∈[-1，-2/3]U[2/3，1]，區(qū)間長(zhǎng)度為2/3，而x∈[-1，1]的區(qū)間長(zhǎng)度為2，所以所求概率為1/3.

反思 導(dǎo)致這兩個(gè)題目錯(cuò)解的共同原因都是因?yàn)橥ㄟ^(guò)變換改變了原來(lái)區(qū)域的大小，而且在改變過(guò)程中前后區(qū)域大小的比例不同.變換要注意等價(jià)性，這種等價(jià)性在幾何概型中就是要保證區(qū)域是等比例變換的.配套練習(xí)

1.拋擲兩枚骰子，則朝上的點(diǎn)數(shù)之和為8的概率為_(kāi)___.

2.在半徑為1的圓0內(nèi)任取一點(diǎn)M，過(guò)M作一條與OM垂直的弦，則此弦的長(zhǎng)超過(guò)該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是____.

參考答案

1.5/36；2.1/4endprint