傳送帶模型中的功能關系及應用

周榮高

傳送帶問題以真實物理現象為依據，它既能訓練學生的科學思維，又能聯系科學和生活實際，同時涉及受力分析、相對運動、牛頓運動定律以及功能關系等多方面相關的知識，綜合性強，能考查考生分析物理過程及應用物理規律解答實際問題的能力，這種類型的問題是高考命題的熱點和難點。本文側重分析有關摩擦力做功的計算、動能定理的運用以及傳送帶系統能的轉化和守恒的有關問題。

一、功能關系計算

1.物體與傳送帶相對滑動時摩擦力的功

①滑動摩擦力對物體做的功

由動能定理

其中x₁是物體對地的位移，滑動摩擦力對物體可能做正功，也可能做負功，物體的動能可能增加也可能減少。

②滑動摩擦力對傳送帶做的功由功的概念得 ，其中x₂是傳送帶對地的位移，滑動摩擦力對傳送帶可能做正功也可能做負功。

說明：當摩擦力對傳送帶做負功時，我們通常說成是傳送帶克服摩擦力做功，這個功的數值等于外界向傳送帶系統輸入的能量。

③摩擦力對系統做的總功等于摩擦力對物體和傳送帶做的功的代數和。

即

結論：滑動摩擦力對系統總是做負功，這個功的數值等于摩擦力與相對位移的乘積。

④摩擦力對系統做的總功的物理意義是：摩擦力對系統做的總功，在數值上等于物體與傳送帶相對運動過程中系統產生的熱量，即Q=f△x。

2.傳送帶系統能量的分配

要維持傳送帶勻速運動，必須有外力克服傳送帶受到的阻力做功而將系統外的能量轉化為系統的能量，傳送帶克服摩擦力所做的功W等于外界注入系統的能量E，通常情況下，這部分能量一部分轉化為被傳送物體的機械能E_機，另一部分通過相互摩擦轉化為內能Q。由能量轉化和守恒定律得：

或者寫成

3.分析能量問題的思路

①外界對系統做的功或者外界注入系統的能量是多少；

②弄清楚注入的能量分配為哪幾部分，這些能量分別是多少；

③由能量轉化和守恒定律進行計算；

④受力分析的過程中要注意摩擦力大小和方向的突變，突變往往發生在物體與傳送帶速度相等的時刻。要注意到傳送帶對物體可能是以靜摩擦力作用，此運動階段不產生熱量。 二、經典應用透析

1.水平傳送帶模型

例1 如圖1所示，電動機帶著水平傳送帶以ν=10m/s的恒定速度向右運動，傳送帶長L=16m，今在其左端A將一個質量m=lkg的工件輕輕放在上面，工件被傳送到右端B，已知工件與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，g=10m/s²。試求：

（1）工件由A端傳送到B端的時間；

（2）此過程中系統產生的摩擦熱；

（3）電動機由于傳送物體多消耗的電能。

點撥 剛開始工件受到傳送帶水平向右的滑動摩擦力而做勻加速運動，當工件速度與傳送帶速度相同時，工件與傳送帶一起做勻速運動，二者之間不再有摩擦力。工件做勻加速運動過程中，由于ν_件<ν_帶，則二者發生相對滑動，傳送帶克服摩擦力做功產生熱量，工件做勻速運動時，不再產生摩擦熱。

解析 （1）由題意可知，工件初速度ν₀=0，加速度a=μg=5m/s²，工件加速時時間t₁=ν/a=2s

工件加速過程中位移

工件勻速運動的時間

則工件由A端傳送到B端的時間

（2）工件加速過程中的相對位移

故此過程中系統產生的摩擦熱

（3）電動機由于傳送物體多消耗的電能

升華 在利用傳送帶運輸物體時，因物體與傳送帶間存在相對滑動而產生摩擦熱，這樣就會使動力系統要多消耗一部分能量。在計算傳送帶系統因傳送物體而消耗的能量時，一定不要忘記物體在傳送帶上運動時因相對滑動而摩擦生熱的計算。

變式1 如圖2所示，水平傳送帶以ν=10m/s的恒定速度向右運動，傳送帶長L=16m，今在其左端A將一個質量m=lkg的工件，以某一水平速度滑上傳送帶，工件傳送到右端B，已知工件與傳送帶間的動摩擦因數/x=0.5=10m/s²。試求：

（1）若工件以ν₀=5m/s的速度水平向右滑上傳送帶，工件由A端到B端的時間及系統摩擦熱為多少？

（2）若工件以ν₀=12m/s的速度水平向右滑上傳送帶，工件由A端到B端的時間及系統摩擦熱又為多少？

點撥 工件以5m/s的速度滑上傳送帶時，由于ν_件<ν_帶，工件受水平向右的滑動摩擦力做勻加速運動。工件以12m/s的速度滑上傳送帶時，由于ν_件>ν_帶，工件受水平向左的滑動摩擦力做勻減速運動。當ν_件=ν_帶時二者一起做勻速直線運動，系統的摩擦熱只產生在工件與傳送帶發生相對運動的階段。

解析 （1）因ν₀<ν，故工件先加速運動，工件加速到與傳送帶速度的時間

工件加速階段的位移

工件勻速運動階段的時間

故工件由A端到B端的時間

則工件由A端到B端過程中，系統產生的摩擦熱為

（2）因ν₀>ν，故工件先減速運動，工件減速時間

工件減速階段的位移

工件勻速運動階段的時間L—

故工件由A端到B端的時間endprint

則工件由A端到B端過程中，系統產生的摩擦熱為

變式2 如圖3所示，在變式1中若傳送帶改為沿逆時針方向轉動，且r=10m/s，試分析當工件分別以初速度ν₀=5m/s和ν₀=12m/s，從左端A水平向右滑上傳送帶時，工件的運動情況，并求出該過程產生的摩擦熱。

點撥 ν₀與ν反向，工件受到與運動方向相反的摩擦力而做勻減速直線運動。若工件從傳送帶右端滑出，工件將一直受到摩擦力的作用而做勻減速運動，若工件不能從傳送帶右端滑出，工件將先勻減速到ν=0，然后再反向做勻加速直線運動直到與傳送帶速度相同。若工件從傳送帶右端滑出，則產生摩擦熱的距離為物塊與傳送帶相對滑動距離，即等于L+νt。若工件先減速后反向加速，則克服摩擦力做功產生摩擦熱的距離為工件與傳送帶發生相對滑動的距離。

解析 （1）ν₀=5m/s時，工件先向右做勻減速運動，速度減為0的時間

件運動的位移^=從-士說丨=14.4m

故工件再向左做勻加速運動，速度增加到與傳送帶相同的時間^=i=2s，運動的位移

a

&=士=10m，再以速度z；=10m/s勻速

運動A端的時間=^^=0.44s，故工件

v

再回到A端，共需時間，=^^^=

4.84s，此過程中系統產生的熱量0=//jng（vt{+x{+vt2-x2}=242J。

升華 （1）當ν₀與ν同向時，只要傳送帶足夠長，無論ν₀與ν的大小關系如何，最終一定一起勾速運動。（2）當ν₀與ν反向時，只要傳送帶足夠長，當ν₀<ν時，工件返回到滑人端，速度大小仍為ν₀；當ν₀>ν時，工件返回到滑入端，速度大小為ν。（3）Q=μmgx_相，式中x_相為全過程的相對位移，應注意ν₀與ν同向和反向時的區別。

總結 水平傳送帶解題策略：先分析物體初速度與傳送帶速度關系，然后判斷出物體所受摩擦力是阻力還是動力，接著分析物體運動狀態，抓住“滑動摩擦力突變發生在二者速度相等”的臨界狀態，對其全過程進行正確分析，進而運用有關物理規律求解。

2.傾斜傳送帶模型

例2如圖4所示，傳送帶與地面的夾角θ=37°，A、B兩端間距L=16m，傳送帶以速度ν=10m/s，沿順時針方向運動，物體質量m=1kg，無初速度地放置于A端，它與傳送帶間的動摩檫因數μ=0.5，試求：

（1）物體由A端運動到B端的時間；

（2）系統因摩擦產生的熱量。

點撥 開始時物體沿斜面方向受重力沿斜面向下的分力與斜面對它沿斜面向下的摩擦力而做勻加速直線運動。當ν_物=ν_帶時，先判斷物體所受沿斜面向下的重力分力與摩擦力的大小關系，若mgsinθ>μmgcosθ，則物體繼續沿斜面做勻加速運動（此時摩擦力的方向變為向上，合力變小，加速度減小），若/mgsinθ≦/μmgcosθ，則物體隨斜面一起勻速運動。無論物體相對傳送帶如何運動，系統產生的熱量等于摩擦力乘以它們間的相對路程。

解析 （1）物體剛放上傳送帶時受到沿斜面向下的滑動摩擦力，由牛頓第二定律得：

變式1如圖5所示，傳送帶與地面的夾角θ=37°，A、B兩端間距L=16m，傳送帶以速度ν=10m/s，沿順時針方向運動，物體質量m=1kg，無初速度地放置于A端，它與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8，試求：

（1）物體由A端運動到B端的時間；

（2）系統因摩擦產生的熱量。

解析 （1）物體剛放上傳送帶時受到沿斜面向下的滑動摩擦力，由牛頓第二定律得：

變式2如圖6所示，傳送帶與地面的夾角θ=37°，A、B兩端間距L=16m，傳送帶以速度ν=10m/s，沿逆時針方向運動，物體質量m=1kg，無初速度地放置于A端，它與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，試求：

（1）物體由A端運動到B端的時間；

（2）系統因摩擦產生的熱量。

點撥 傳送帶沿逆時針方向（沿斜面向上運動），則物體始終受到沿斜面向上的摩擦力，因mgsinθ>μmgcosθ，則物體一直沿斜面向下做勻加速運動。物體沿斜面下滑的過程中克服摩擦力做功而產生熱量，相對滑動的距離為傳送帶的長度與傳送帶轉過的距離之和。

解析 因傳送帶逆時針轉動，物體受到的滑動摩擦力沿斜面向上，由牛頓第二定律得：

則系統因摩擦產生的熱量

升華（1）物體沿傳送帶向下傳送時，若ν_物與ν_帶同向，則物體加速到與傳送帶速度相同時，若mgsinθ>μmgcosθ，則物體將繼續加速，但加速度大小已改變，若mgsinθ≦μmgcosθ，則物體與傳送帶一起勻速運動。 （2）物體沿傳送帶向上傳送時，必有μmgcosθ>mgsinθ，且物體加速到與傳送帶同速后，一起與傳送帶勻速上升。

例2 如圖7所示，繃緊的皮帶與水平面的夾角θ=30°，皮帶在電動機的帶動下，始終保持ν₀=2m/s的速率運行。現把一質量m=10kg的工件（可看做質點）輕輕放在皮帶的底端，經時間t=1.9s，工件被傳送到h=1.5m的高處，g=10m/s².求：

（1）工件與皮帶間的動摩檫因數；

（2）電動機由于傳送工件多消耗的電能

點撥 通過分析和具體的計算弄清楚工件的運動過程，要考慮到工件可能先加速后勻速運動，考慮到工件的動能和重力勢能都在增加。

解析 （1）由題意可知皮帶長為

（2）首先要弄清什么是電動機“多消耗的電能當皮帶空轉時，電動機會消耗一定的電能，現將一工件置于皮帶上，在摩擦力作用下，工件的動能和重力勢能都要增加，另外，滑動摩擦力做功還會使一部分機械能轉化為內能，這兩部分能量之和就是電動機多消耗的電能。 在時間t₁內，皮帶運動的位移為=1.6m，工件相對皮帶的位移△s=s₂-s₁=0.8m，

升華（1）靜止的物體放在傳送帶上運動，在物體與傳送帶達到相同速度之前，物體與皮帶存在相對滑動，因此一定有摩擦生熱現象發生，摩擦生熱的量值等于滑動摩擦力與物體相對于傳送帶位移的乘積。

（2）物體在傾斜的傳送帶上運動，當與傳送帶達到共同速度后，若物體在靜摩擦力的作用下做勻速運動，此運動過程系統不產生熱量，動能也不增加，但是物體的重力勢能仍在增加，這一點應該引起重視。