關(guān)聯(lián)物體問(wèn)題的求解方法

孫建生

一、關(guān)聯(lián)物體的速度關(guān)系

學(xué)生常對(duì)該如何分解速度搞不清楚或很難理解，其主要原因是無(wú)法弄清楚哪一個(gè)是合速度、哪一個(gè)是分速度。這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法：物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度就是合速度，然后分析這個(gè)合速度所產(chǎn)生的實(shí)際效果，以確定兩個(gè)分速度及分速度的方向。

例1

A、B兩物體通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現(xiàn)物體A以ν₁的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時(shí)，如圖1所示。物體B的運(yùn)動(dòng)速度ν_B為（繩始終有拉力）（ ）

解析 A、B兩物體通過(guò)繩相連接，且兩物體都b是運(yùn)動(dòng)的，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度是合速度，物體的速度都產(chǎn)生了沿繩方向和垂直于繩方向兩個(gè)作用效果。設(shè)物體B的運(yùn)動(dòng)速度為ν_B，此速度為物體B合運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果，兩分運(yùn)動(dòng)分別為：沿繩收縮方向的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為ν_繩B；垂直繩方向的圓周運(yùn)動(dòng)。速度分解如圖2所示，則有：ν_繩B= ν_Bcosβ

物體A的合運(yùn)動(dòng)速度為ν₁，它也產(chǎn)生兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果，分別是：沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為ν_繩A；垂直繩方向的圓周運(yùn)動(dòng)，它的速度分解如圖3所示，則有ν_繩A= ν₁cosα，由于對(duì)于同一根繩，其長(zhǎng)度不變，故有

選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，

選項(xiàng)D正確。

例2 如圖4所示，均勻直桿上連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦，當(dāng)桿滑到如圖5位置時(shí)，B球水平速度為ν_B，桿與豎直方向的夾角為α，求此時(shí)A球速度大小。

解析 A、B兩球速度分解如圖5所示，A球沿桿方向的分速度與B球沿桿方向的分速度大小相等，即：

例3 如圖6所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿0A，0端用鉸鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球A，輕桿靠在一個(gè)高為的物塊上。若物塊與地面摩擦不計(jì)，則當(dāng)物塊以速度^向右運(yùn)動(dòng)至桿與水平方向夾角為θ時(shí)，物塊與輕桿的接觸點(diǎn)為B，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.A、B的線速度相同

B. A、B的角速度相同

C.輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

D.小球A的線速度大小為

解析 如圖7所示，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，接觸點(diǎn)B的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，可將B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度化

二、與能量相關(guān)的關(guān)聯(lián)同題

例4 如圖8所示，豎直放置的大圓環(huán)圓心為0，半徑為R，質(zhì)量為m的小球A套在大圓環(huán)上，有一足夠長(zhǎng)的細(xì)輕繩拴在A上，另一端跨過(guò)固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)C處的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)小球B，不計(jì)滑輪半徑和質(zhì)量、不計(jì)繩子的質(zhì)量，不計(jì)一切摩擦，繩子不可伸長(zhǎng)。平衡時(shí)弦CA所對(duì)的圓心角θ=30°。求：

（1）小球B質(zhì)量m_B；

（2）若m_B=m，將小球A從圓心0的等高點(diǎn)D靜止釋放后小球A、B軌道稍微錯(cuò)開(kāi)互不影響，求小球A的最大速度。（可含根式）

解析 （1）小球B處于平衡狀態(tài)，繩子對(duì)小球B的拉力等于小球B的重力，繩子的拉力為

小球A處于平衡狀態(tài)，受到三個(gè)力的作用，由平衡條件可得，繩子的拉力為：

，聯(lián)立解得：

（2）4到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)為速度最大設(shè)為

例5如圖9所示，在距水平地面高為0.4m處，水平固定一根長(zhǎng)直光滑桿，桿上P處固定一定滑輪（大小不計(jì)），滑輪可繞水平軸無(wú)摩檫轉(zhuǎn)動(dòng)，在P點(diǎn)的右邊，桿上套一質(zhì)量zn=3kg的滑塊A.半徑R=0.3m的光滑半圓形軌道豎直地固定在地面上，其圓心0在P點(diǎn)的正下方，在軌道上套有一質(zhì)量m=3kg的小球B.用一條不可伸長(zhǎng)的柔軟細(xì)繩，通過(guò)定滑輪將兩小球連接起來(lái)。桿和半圓形軌道在同一豎直面內(nèi)，滑塊和小球均可看作質(zhì)點(diǎn)，且不計(jì)滑輪大小的影響。現(xiàn)給滑塊A施加一個(gè)水平向右、大小為60N的恒力F，求：

（1）把小球B從地面拉到半圓形軌道頂點(diǎn)C的過(guò)程中力F做的功；

（2）小球B運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)所受的向心力的大小；

（3）小球B被拉到離地多高時(shí)滑塊A與小球B的速度大小相等？

解析 （1）由幾何關(guān)系可得：

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：W=24J

（2）由于B球到達(dá)C處時(shí)，已無(wú)沿繩的分速度，所以此時(shí)滑塊4的速度為零，兩球及繩子組成的系統(tǒng)的能量變化過(guò)程中，由能量守恒定律可得：

，代人數(shù)據(jù)聯(lián)立

解得：

例6 如圖10所示，兩根長(zhǎng)直軌道與一半徑為R的半圓形圓弧軌道相接于A、C兩點(diǎn)，B點(diǎn)為軌道最低點(diǎn)，0為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內(nèi)。質(zhì)量均為m的兩小環(huán)P、Q用長(zhǎng)為及√2R的輕桿連接在一起，套在軌道上。將MN兩環(huán)從距離地面2R處由靜止釋放，整個(gè)過(guò)程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：

（1）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能△E_P；

（2）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度ν；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，環(huán)能達(dá)到的最大速度ν_m；

（4）若將桿換成長(zhǎng)2√2R，P環(huán)仍從原處由靜止釋放，經(jīng)過(guò)半圓形底部再次上升后，P環(huán)能達(dá)到的最大高度H。

解析 （1）P環(huán)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能為

在解決關(guān)聯(lián)物體的問(wèn)題時(shí)，首先要清楚物體間是通過(guò)繩、桿關(guān)聯(lián)還是直接接觸的，找到兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度存在的關(guān)系，分析物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的方向，然后分析這個(gè)合運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的實(shí)際效果，在繩和桿不伸長(zhǎng)的情況下，兩物體沿繩或桿方向的分速度大小相同。endprint