關注向心力特點輕松解決圓周運動問題

姜燕

例1如圖1在一個水平轉臺上放有人三個物體，它們跟臺面間的動摩擦因數相同的質量為2m，B、C各為m。A、B離轉軸均為r，C為2r。則：

（1）若三物體隨轉臺一起以角速度ω轉動未發生滑動，求A、B、C三個物體所受的靜摩擦力；

（2）當轉臺轉速增加時，哪個物體最先發生滑動？

解析 （1）三物體隨轉臺一起轉動時，物體受豎直向下的重力、轉臺對物體豎直向上的支持力、轉臺對物體指向圓心的靜摩擦力，由靜摩擦力提供向心力。

即 ，所以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為

（2）由于轉臺對物體的靜摩擦力有一個最大值，設動摩擦因數為μ，靜摩擦力的最大值可認為是

，得不發生滑動的最大角速度為

即離轉臺中心越遠的物體，使它不發生滑動時轉臺的最大角速度越小。

由于r_C>r_A>r_B，所以當轉臺的轉速逐漸增加時，物體C最先發生滑動。轉速繼續增加時，物體A、B將同時發生滑動。

同類型場景還有，如圖2，繩系小球在光滑水平面上做勻速圓周運動，小球所受繩的拉力提供向心力；如圖3，在勻速轉動的圓筒內壁上緊靠著一個物體一起運動，物體所受的彈力提供向心力；如圖4，汽車在平直的路面上轉彎由靜摩擦力提供向心力。

例2如圖5所示，小球質量為m，用長為L的輕繩系于O點，在水平光滑玻璃上做勾速圓周運動，當角速度ω₀多大時，小球恰好不受玻璃支持力的作用。

解析 當小球不受玻璃的支持力時，小球受到重力mg，繩的拉力T作用，其合力為小球做圓周運動提供了向心力，其受力情況如圖6所示，則：

同類型場景還有，如圖7，小球在漏洞中勻速圓周運動，圖8的雜技飛車表演都可用同樣方法分析。

②豎直面內的圓周運動：這類問題在高中階段只需分析最高點和最低點的情況，所以沿半徑方向的合力即為向心力。

例3如圖9用長L=0.6m的繩系著質量m=0.5kg的小球，在豎直平面內做圓周運動。求：

（1）小球能在豎直面內做圓周運動的最小速度為多少？

（2）若過最高點時速度為3m/s，此時小球對繩的拉力有多大？

（3）若過最低點時速度為6m/s，此時小球對繩的拉力有多大？（g=10m/s²）

解析 （1）以小球為研究對象，小球在最高點受豎直向下的重力mg、繩對球豎直向下的拉力T、它們的合力為小球做圓周運動提供了向心力，即：

而通過最高點的臨界條件為T=0，即：

解得

（1）小球的速率為1m/s；

（2）小球的速率為4m/s。

解析 在細輕桿上連接

的小球在豎直面內做圓周運動，m”

由于桿對小球產生的彈力可以^g13沿桿向上，也可沿桿向下，或不產生彈力。對小球進行受力分析，假設小球受到重力和向上的支持力，如圖13所示，則有

分別代入數據，得

（1）F_N=16N

（2）F_N&=-44N，負號表示小球受力方向與原假設方向相反

同類型場景還有：小球在豎直面內的圓形管道內運動，在最高點所受的彈力的情況如圖14.endprint