例談功能關系在力學中的應用

姚立權

一、正確理解功和能的區別

（1）能是物體運動狀態決定的物理量，即狀態量；而功則是和物體運動狀態變化過程有關的物理量，是過程量，兩者有著本質的區別。

（2）做功可以使物體具有的能量發生變化，而且物體能量變化大小是用做功的多少來量度。但功和能不能相互轉化。

（3）能量有多種不同的形式，通過做功這一途徑，一種形式的能量轉化為另一種形式的能量，即做功的過程就是能量的轉化過程；做多少功就有多少能量發生了轉化，即功是能量轉化的量度，所以功和能單位相同。

例1 以下關于功和能，下列說法中正確的是（ ）

A.功是矢量與過程對應，能是標量與狀態對應

B.功是能量大小的量度

C.功是能量轉化的量度

D.因為功和能的單位都是焦耳，所以功就是能

解析 功的正負不代表方向，功是標量，與過程對應是過程量，能是標量與狀態對應是狀態量，故AD錯誤；做功的過程就是能量的轉化過程，做多少功就有多少能量發生了轉化，即功是能量轉化的量度，不是能量大小的量度，故B錯誤；C正確。

例2當重力對物體做正功時，下列說法正確的是（ ）

A.重力勢能一定增加，動能一定減小 B.重力勢能一定減小，動能一定增加

C.重力勢能不一定減小，動能一定增加 D.重力勢能一定減小，動能不一定增加

解析 重力做功引起物體的重力勢能的變化，當重力對物體做正功，物體的重力勢能一定減小；而物體的動能變化是由合力所做的功引起的；當重力對物體做正功時，物體向下運動，合力對物體可以做正功、可以做負功、也可以不做功，動能可能增加、可能減少、可能不變。故D正確。

二、準確掌握功與能的關系

功和能既有著嚴格的區別，又有著緊密的聯系；能量有多種不同的形式，反映物體能夠對外做功本領大小。通過做功這一途徑，一種形式的能量轉化為另一種形式的能量，即做功的過程就是能量的轉化過程；做多少功就有多少能量發生了轉化，即功是能量轉化的量度，但不同的力做功會引起對應的不同形式的能發生改變。

（1）合外力對物體做功等于物體動能的改變（即動能定理）。

（2）重力做功對應重力勢能的改變。

重力做多少正功，重力勢能減少多少；重力做多少負功，重力勢能增加多少。

（3）彈簧彈力做功與彈性勢能的改變相對應。

彈力做多少正功，彈性勢能減少多少；彈力做多少負功，彈性勢能增加多少。

（4）除重力或彈簧的彈力以外的其他力做的功與物體機械能的增量相對應，即

①除重力或彈簧的彈力以外的其他力做多少正功，物體的機械能就增加多少。

②除重力或彈簧的彈力以外的其他力做多少負功，物體的機械能就減少多少。

③除重力或彈簧的彈力以外的其他力不做功，物體的機械能不變。

④一對相互作用的滑動摩擦力對物體系統所做總功，等于摩擦力與相對路程的乘積，即，系統損失機械能轉變成內能，即摩擦生熱

例3人通過滑輪將質量為m的物體，沿粗糙的斜面由靜止開始勻加速地由底端拉上斜面，物體上升的高度為h，到達斜面頂端的速度為v，如圖1所示。則在此過程中下列說法正確的是（ ）

A.物體所受的合外力做功為mgh+1/2mν²

B.物體所受的合外力做功為1/2mν²

C.人對物體做的功為mgh

D.人對物體做的功大于mgh

例4如圖2所示，質量為m的物體（可視為質點）以某一初速度由底端沖上傾角為30°的固定斜面，上升的最大高度為h，其加速度大小為a，在這個過程中，下列說法正確的是（ ）

A.重力勢能增加了mgh

B.動能損失了mgh

C.動能損失了3/2mgh

D.機械能損失了1/2mgh

例5 如圖3所示，質量為m的滑塊以一定初速度滑上傾角為θ的固定斜面，同時施加一沿斜面向上的恒力F=mgsinθ；已知滑塊與斜面間的動摩擦因數μ=tanθ，取出發點為參考點，能正確描述滑塊運動到最高點過程中產生的熱量Q、滑塊動能E_k、勢能E_p、機械能E隨位移x關系的是

解析 根據滑塊與斜面間的動摩擦因數μ=tanθ可知，滑動摩擦力等于重力沿斜面向下的分力，施加一沿斜面向上的恒力

例6 衛星在環繞地球做橢圓軌道運行，地心在橢圓的一個焦點上，如圖4所示，衛星由A到B的過程中（ ）

A.衛星的動能減小

B.衛星的勢能增大

C.衛星的機械能減小

D.地球的引力對衛星做負功

解析 物體的動能增加量等于合力所做的 ；而 ，衛星的動能減小，故AD正確；由于引力所做負功，衛星的重力勢能增加，故B正確；衛星由4到B的過程中，由于只有引力做功，衛星的機械能不變，故C錯誤。 三、合理選擇研究對象和研究過程

對多過程、多物體的系統，除準確掌握功與能的關系外，還必須合理選擇研究對象和研究過程。

例7如圖5所示，物體A和的質量均為m，它們通過一勁度系數為k的輕彈簧相連，開始時B放在地面上，A、B都處于靜止狀態。現用手通過細繩緩慢地將A向上提升距離L₁時，B剛要離開地面，此過程手做功為W₁；若將A加速向上提起，A上升的距離為L₂時，B剛要離開地面，此時A的速度為ν，此過程手做功為W₂，彈簧一直處于彈性限度內。則（ ）

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例8從地面整直上拋一個質量為m的小球，小球上升的最大高度為h，設上升和下降過程中空氣阻力大小恒為f。下列說法正確的是（ ）

A.小球上升的過程中動能減少了mgh

B.小球上升和下降的整個過程中機械能減少了fh

C.小球上升的過程中重力勢能增加了mgh

D.小球上升和下降的整個過程中動能減少了fh

解析 根據動能定理，上升的過程中動能減少量等于小球克服重力和阻力做的功， ，故A錯誤；小球上升和下降的整個過程中重力勢能不變，動能減少量和機械能的減少量都等于全程中克服阻力做的功2fh，故B、D錯誤；小球上升的過程中重力勢能增加等于小球克服重力做的功mgh，故C正確。

四、分清實際位移與相對位移

動能定理以及功的公式W=Fx中的位移x是指對地的實際位移，而摩擦生熱Q=F_fx_相對中的位移x_相對是指兩接觸物體間的相對位移。 例9 如圖6所示，質量為M、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上。質量為m的小物塊（可視為質點）放在小車的最左端。現用一水平恒力F作用在小物塊上，使小物塊從靜止開始做勾加速直線運動。小物塊和小車之間的摩擦力為f，小物塊滑到小車的最右端時，小車運動的距離為x。在這個過程中，以下結論正確的是（ ）

A.小物塊到達小車最右端時具有的動能為（F-f）（l+x）

B.小物塊到達小車最右端時，小車具有的動能為fx

C.小物塊克服摩擦力所做的功為f（l+x）

D.小物塊和小車增加的機械能為fx

解析 小物塊的位移為（l+x），受到的合力（F-f），由動能定理小物塊到達小車最右端時具有的動能為（F-f）（l+x）；故A正確；小車的位移為x，受到的合力為f，由動能定理小物塊到達小車最右端時具有的動能為fx，故B正確；摩擦力對小物塊所做的功對應的小物塊位移為（l+x），故 ，所以小物塊克服摩擦力所做的功為f（l+x），故C正確；小物塊和小車增加的機械能為系統除重力以外的其他力做的功， 為滑動摩擦力對物體系統所做總功，對應位移是指小物塊在小車上相對位移，所以 ，故D錯誤。

例10 如圖A所示，一塊長木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體現以恒定的外力F拉B，由于A、B間摩檫力的作用，A將在B上滑動，以地面為參照物，A都向前移動一段距離，在此過程中（ ）

A.外力F做的功等于A和B動能的增量

B.B對A的摩檫力所做的功大于A的動能的增量

C.A對B的摩擦力所做的功等于B對A的摩擦力所做的功

D.外力F對B做的功等于A、B動能的增量之和

解析 物體A所受的合外力等于B對A的摩擦力，所以B對A的摩擦力所做的功等于A的動能的增量，故B錯誤。A對B的摩擦力與B對A的摩擦力是一對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但由于A在B上滑動，A、B對地的位移不等，所以二者做功不等，故C錯誤。對B應用動能定理， ，即 ，即外力F對B做的功等于B的動能增量與B克服摩擦力所做功之和，所以D正確，A錯誤。

考試是考查學生獨立分析能力，不乏陳題翻新，老題新編，平時不可能練習到與考試一模一樣的題目，但知識規律、思想方法、物理模型等一定可以練習到，所以在平時的學習中，要能夠獨立地對所遇到的問題進行具體分析、研究，弄清其中的物理狀態、物理過程和物理情境，找出起重要作用的因素和有關條件，建立適當的模型，真正把問題弄懂弄通，把一個復雜的問題分解為若干個比較簡單的問題，找出它們之間的聯系，運用物理知識解決實際問題，切忌似是而非，機械模仿，這樣才能起到事半功倍的效果。endprint