與彈簧有關的機械能守恒問題的剖析

宋國平

在中學階段，“與彈簧有關的機械能守恒問題”對學生的綜合分析能力有較高的要求。系統機械能守恒的條件是只有重力和系統內彈簧彈力做功。所以與彈簧相關的系統機械能守恒問題有必要深入剖析。 —、彈簧彈力的特點

1.具有連續性

彈簧彈力的表達式是F=kx，在彈性限度內，當x從零連續變化到最大值時，彈力也可以從零連續變化到彈性限度的最大值，且F隨x均勻變化。因此彈簧彈力做功就可以用平均力求解，即W=Fxcosθ（此處指F指彈簧平均力的大小）

例1 如圖1所示，彈簧的一端固定，另一端連接一個物塊，彈簧質量不計。物塊（可視為質點）的質量為m，在水平桌面上沿x軸運動，與桌面間的動摩擦因數為μ。以彈簧原長時物塊的位置為坐標原點O，當彈簧的伸長量為x時，物塊所受彈簧彈力大小為F=kx，k為常量。

（1）請畫出F隨x變化的示意圖；并根據F-x圖象求物塊沿x軸從O點運動到位置x的過程中彈力所做的功；

（2）物塊由x₁向右運動到x₃，然后由x₃返回到x₂，在這個過程中，求彈力所做的功，并據此求彈性勢能的變化量。

解析 （1）F-x圖象如圖2所示。物塊沿x軸從0點運動到位置x的過程中，彈力做負功：F-x圖線下的面積等于彈力做功大小.（此處也可以理解為是用平均彈力求功）

2.彈力做功不改變機械能只有重力或彈力做功，系統機械能守恒。可以從以下四個方面進行理解：

（1）物體只受重力或彈力作用。

（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或彈力做功。

（3）其他力做功，但做功的代數和為零。

（4）存在相互作用的物體組成的系統只有動能和勢能的相互轉化，無其他形式能量的轉化。

功是能量轉化的量度，能量的轉化必有力做功。若只有重力、彈簧彈力做功，涉及轉化的能量只有重力勢能、彈性勢能和動能，而重力勢能、彈性勢能和動能都屬于機械能，所以在重力、彈力做功的時候，是把機械能內部的能量進行了轉化。故系統機械能的總值是不變的，只是機械能的內部構成有所變化。

例2如圖3所示，一質量為m的小球固定于輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定于0點處，將小球拉至A處，彈簧恰好無形變，由靜止釋放小球，它運動到0點正下方B點，A、B兩點間豎直高度差為h，物體到B點時速度為ν，則（ ）

A.由4到B重力做的功等于mgh

B.由A到B重力勢能減少1/2mν²

C.由A到B小球克服彈力做功為mgh

D.小球到達位置B時彈簧的彈性勢能mgh-1/2mν²

解析 重力做功W=mgh，與是否受其它力無關，因此A正確；從A下降到B的過程中，根據機械能守恒定律得：mgh=E_彈+1/2mν²，重力勢能的減小量就是mgh，因此B選項錯誤；而在這個過程中，克服彈力做的功等于彈性勢能的增加量，即W_克彈=mgh-1/2mν²；C錯誤，D正確.所以，本題答案為AD。

機械能包括動能、重力勢能和彈性勢能，動能屬于運動物體的。重力勢能屬于地球和物體這個系統所共有的，彈性勢能是由彈簧自身決定的，即由彈簧的形變量和彈簧的勁度系數決定，與外界其他因素無關，在例2中，物體在運動過程中機械能守恒嗎？顯然是不守恒的，因為在該系統中，存在重力勢能、彈性勢能和動能相互轉化的。這三者之和是定值。而彈簧的彈性勢能是增加的，所以物體的機械能不守恒，系統的機械能才守恒，即物體和彈簧組成的系統的機械能才守恒。 二、與彈簧的彈性勢能有關的題型賞析

例3 如圖4所示，將質量均為m厚度不計的兩物塊A、B用輕質彈簧相連接，現用手托著B物塊于H高處，A在彈簧彈力的作用下處于靜止后，將彈簧鎖定。現由靜止釋放A、B兩物塊，B物塊著地時速度立即變為零，與此同時解除彈簧鎖定，在隨后的過程中，當彈簧恢復到原長時A物塊運動的速度為ν₀，且過程中B物塊恰能離開地面但不能繼續上升。已知彈簧具有相同形變量時彈性勢能也相同。求：

（1）B物塊著地后，A在隨后的運動過程中，A所受合外力為零時的速度ν₁；

（2）從B物塊著地到B物塊恰能離開地面但不繼續上升的過程中，A物塊運動的位移△x；

（3）第二次用手拿著A、B兩物塊，使得彈簧豎直并處于原長狀態，此時物塊B離地面的距離也為H，然后由靜止同時釋放A、B兩物塊，B物塊著地后速度同樣立即變為零。求第二次釋放A、B后，B剛要離地時A的速度ν₂.

解析 在該題中涉及多個狀態，再加上兩個物體和彈簧放在一起，易讓學生眼花繚亂，但只要我們能分析到B開始落地瞬間和B剛好要離開而不能離開地面的兩個狀態的彈簧的彈性勢能是一樣的，則可迎刃而解。

（1）設A、B下落H高度時速度為ν，由機械能守恒定律得：

三、高考題中出現的與彈簧有關的機械能守恒的題目賞析

例4如圖5所示，兩根相同的輕質彈簧，沿足夠長的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部擋板上，斜面固定不動。質量不同、形狀相同的兩物塊分別置于兩彈簧上端。現用外力作用在物塊上，使兩彈簧具有相同的壓縮量，若撤去外力后，兩物塊由靜止沿斜面向上彈出并離開彈簧，則從撤去外力到物塊速度第一次減為零的過程，兩物塊（ ）

A.最大速度相同

B.最大加速度相同

C.上升的最大高度不同

D.重力勢能的變化量不同

解析 質量不同的兩物塊在彈簧彈力作用下做變速運動，根據牛頓第二定律及系統機械能守恒解決問題。

當彈簧的彈力和滑塊重力沿斜面向下的分力大小相等時，滑塊的加速度為零，速度達到最大。根據物體和彈簧組成的系統機械能守恒知：物塊未離開彈簧且彈簧長度相等時，質量大的速度小，設質量大的速度達到最大時對應的彈簧長度為L，質量小的系統對應的該長度的速度肯定比質量大的大。而且彈簧繼續伸長時，質量小的速度還能繼續增大，質量大的則減小。因此，質量大的滑塊的最大速度較小，選項A錯誤；剛撤去外力時，兩滑塊的加速度最大，根據牛頓第二定律得

由于兩滑塊的質量不同，故兩滑塊的最大加速度不同，選項B錯誤；整個過程中，彈簧的彈性勢能全部轉化為滑塊的重力勢能（物體最終離開彈簧），由于兩滑塊質量不同，故上升的最大高度不同，選項C正確；兩滑塊重力勢能的變化量等于彈簧彈性勢能的減少量，故重力勢能的變化量相同，選項D錯誤。endprint