心系“輕繩”與“輕桿”模型，巧解豎直平面圓周運動

李遠祥

圓周運動屬于曲線運動的一種類型，主要分為水平面的圓周運動與豎直平面的圓周運動；物體進行圓周運動需要向心力，而向心力是效果力，由指向圓心的合外力提供。在高中學習階段，對于豎直平面的圓周運動，根據物體運動至軌道最高點時的受力情況主要分為兩類：一是無支撐（如球與繩連接，沿內軌道的“過山車”等），稱為“輕繩模型”；二是有支撐（如球與桿連接，小球在彎管內運動等），稱為“輕桿模型”；通常從動力學角度與能量角度探究物體在最高點與最低點的臨界狀態與臨界條件。它是近幾年高考中的重要考點之一，也是學生在平時學習過程中遇到的難點之一。

一、“輕繩”或“軌道”模型

此模型主要指物體在軌道最高點時，繩或軌道對物體無向上的支撐作用，只有向下的拉力或壓力。通常，會涉及“剛好”、“恰”等需要對物體在此位置進行受力分析，利用牛頓運動定律F_合=F_向求解。

例1 如圖1所示，用長為L的細繩拴著質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，則下列說法正確的是（ ）

A.小球在圓周最高點時所受的向心力一定為重力

B.小球在最高點時繩子的拉力有可能為零

C.若小球剛好能在豎直平面內做圓周運動，則其在最高點的速率為零

D.小球過最低點時繩子的拉力一定大于小球重力

拓展：若例1中小球剛好能完成豎直平面完整的圓周運動，試求：小球運動到軌道最低點時對繩子的拉力？

【點評】解決此類問題關鍵是：首先要確定狀態或過程，對研究對象進行正確的受力分析，結合牛頓運動定律以及功能關系（如動能定理、機械能守恒定律等），列方程求解即可

例2 如圖2所示，一個光滑的半徑為尺的半圓形軌道豎直放在水平面上，一個質量為m的小球以某一速度沖上軌道，當小球將要從軌道口飛出時，對軌道的壓力恰好為零，則小球落地點C距A處多遠？

【點評】此題涉及豎直平面的“圓軌道”模型，其在最高點的臨界狀態與條件和“輕繩”模型一樣，同時，處理的方法依舊是牛頓運動定律與功能關系等。此類問題通常會與直線運動、平拋運動等進行綜合考查。

二、“輕桿”或“管道”模型

此模型主要指物體經過軌道最高點時，桿或管道可對物體有向上的支撐作用。通常，會涉及“剛好”、“恰”等需要對物體在此位置進行受力分析，利用牛頓運動定律F_合=F_向求解。

例3 有一長度為L=0.50m的輕質細桿0A，A端有一質量為m=3.0kg的小球，如圖3所示，小球以0點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速度是2.0m/s，g取10m/s²，則此時細桿OA受到（ ）

A.6.0N的拉力 B.6.0N的壓力

C.24N的拉力 D.24N的壓力

例4 如圖6所示，半徑為R、內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B以不同的速度進入管內。A通過最高點C時，對管壁上部壓力為3mg，B通過最高點C時，對管壁下部壓力為0.75mg，求A、B兩球落地點間的距離。

【點評】此題考查豎直平面圓周運動的“管道”模型以及平拋運動處理的方法。“管道”模型屬于有支撐作用的類別；所以受力分析時要正確畫出管道對小球彈力的方向，再結合已知條件與牛頓運動定律求解小球在最高點的速度大小。學生易在向心力來源的分析出現錯誤。

總結：豎直平面內的圓周運動是一種典型的曲線運動，學生在分析時易出現模型模糊，彈力方向不確定以及牛頓第二定律與第三定律應用的錯誤。此類問題的基本求解思路：（1）確定模型：首先判斷是“輕繩”模型還是“輕桿”模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同，其原因主要是“繩”不能支持物體，而“桿”既能支持物體，也能拉物體。（2）確定臨界點： ν_臨=√gr，對輕繩模型來說是能否通過最高點的臨界點，而對輕桿模型來說是表現為支持力還是拉力的臨界點。（3）研究狀態：通常情況下豎直平面內的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況。（4）受力分析：對物體在最高點或最低點時進行受力分析，根據牛頓第二定律列出方程，F_合=F_向。（5）過程分析：應用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態聯系起來列方程。所以，學生一定要具備建立正確模型的意識與能力，以及使用對應的物理規律如牛頓運動定律和功能關系解決問題的能力。endprint