數學微積分在經濟方面的應用分析

王宏軍　賈月仙

摘 要：隨著全球經濟不斷發展，數學科學在社會中的地位也不斷提升。在經濟時代影響下，數學學科在社會中的各個工作領域包括人們的日常生活中都得到廣泛的應用，數學不再是簡單的學科科學，數學已經成為一門方便全世界各行業實施應用的科學技術。本文運用大量的數學實例從邊際分析、彈性分析、最值分析三個方面充分分析了高等數學微積分理論在經濟方面的具體應用，突出了數學微積分在經濟管理和經濟理論的定量分析方面具有的重要意義。

關鍵詞：數學微積分 經濟 應用

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）11（b）-0236-02

經濟量化分析法已經成為目前經濟學研究中最常用的方法。應用定量分析法解決經濟學和管理學領域中遇到的問題，根據社會經濟管理的發展情況，組成經濟學的整體理論系統。因此學會理解和運用相關的定量分析方法和理論也變得越來越重要。本文從邊際分析、最值分析和彈性分析等方面全面接受了數學微積分在經濟方面的應用，有利于高等數學教學的發展。

1 邊際分析在經濟方面的應用

在經濟學方面，經濟函數對于自變量的相應變化率稱作邊際變化。通常情況下兩個經濟量x和y之間存在一定的函數關系y=f（x），并且存在y對于x的導數是y'=f'（x），則這個經濟量y對于x的邊際變化可以利用y對于x的導數實現。

例1：某公司制造某種商品，每個月的總經濟成本C（萬元）是商品產量x（個）的函數，假如每個商品的售價定為20萬元，要求該公司每個月分別生產8、10、15、20個商品時取得的邊際利潤，同時說明在經濟方面的意義。

解：根據題意，每個月生產x個商品的總經濟收入函數是：

R（x）=20x

所以，制造x個商品的經濟利潤函數是：

L（x）=R（x）-C（x）=20x-（x2-10x+20）=-x2+30x-20

因此，邊際利潤函數是：

L'（x）=（-x2+30x-20）'=-2x+30

得出每個月制造8、10、15、20個商品時產生的邊際利潤是：

L'（8）=-2×8+30=14（萬元/件）

L'（10）=-2×10+30=10（萬元/件）

L'（15）=-2×15+30=0（萬元/件）

L'（20）=-2×20+30=-10（萬元/件）

具有的經濟意義是：當每個月制造8個商品時，每增加一個，利潤會增加14萬元；當每個月制造10個商品時，每增加一個，利潤會增加10萬元；當每個月制造15個商品時，每增加一個，利潤不會增加；當每個月制造20個商品時，每增加一個，利潤會減少10萬元。

2 最值分析在經濟方面的應用

在經濟領域中，為了提高經濟收益，很多問題的解決方法都關系到最大值、最小值問題。如何在減少生產的投入量的前提下，提高生產的產出量，利用最低的成本，實現利潤最大化。利潤是決定企業經濟收益的主要因素，在實際生產過程中，合理的解決經濟方面的最值問題，對企業管理具有重大意義。

例2：某公司制造某種商品，其商品的固定成本大概是3萬元，每制造一百件商品，其固定成本會提高2萬元，則公司經濟收入R關于商品產量q的函數是：

R=5q-1/2q2

試求利潤最大時的商品產量。

解：根據題意可知，商品成本的函數是：

C=3+2q

因此，商品利潤的函數為：

L=R-C=-3+3q-1/2q2

L'=3-q，使L'=0，得出q=3。

由于L"（3）=-1<0，因此當q=3時，函數能夠取得最大值。而且這是唯一一個極值點，因此這個就是最大值點。

當商品產量為3件時能夠取得最大利潤。

3 彈性分析在經濟方面的應用

彈性分析是比較容易實施的一種定量分析法。在經濟計劃工作和經濟領域研究中得到廣泛的應用，例如經濟分析、政策研究、經濟預測和經濟決策等方面。理解、學習并熟練運用彈性分析法有利于促進各級計劃人員的工作。彈性也稱為彈性系數，彈性指的是相對量，主要衡量一個變量發生變化導致另一個變量發生的相對變化。彈性是對于兩個變量而言的。比如，商品需求對應的價格彈性考察的兩個變量指的是商品的需求量和商品的價格。能源彈性考察的兩個變量指的是能源消費量和工農業的總產值。彈性具有的另外一個特點是，彈性指的是與被考察變量的計量單位沒有關系的一個數，是無量綱的數。因此彈性分析能夠作為一種單獨的定量分析法，通常用來對某一問題的獨立衡量標準進行分析和研究。

在經濟學方面，將需求量和價格之間的相對變化率叫做需求彈性。需求彈性是指因商品價格變化對商品需求量造成的影響。商品需求量的影響因素有很多，例如有的商品一旦價格發生變化，需求量也隨之發生影響。有的商品價格發生變化時，商品需求量幾乎不受影響。商品需求量的一般規律是：商品價格上漲，商品需求量下降；商品價格下降，商品需求量增加。受不同商品自身的特定屬性和消費水平差異的影響，相同的商品價格變化可能對商品的需求量造成不同的影響。反應靈敏的商品，彈性比較大，價格上漲可能導致較大的銷售變化，反應遲鈍的商品，彈性較小，幾乎不受價格變化的影響。

4 經濟總量和變動分析在經濟方面的應用

經濟總量和其變動值直接影響到企業管理者的經營決策。對比并分析企業的經濟總量變動情況，及時對企業的經營對策進行調整，對企業的良好發展具有重要作用。在經濟方面的研究中，常常利用數學微積分計算企業的經濟總量和變動值。

例3：用C'（x）=6+1/2x（千元/千克）函數表示企業某商品的邊際成本。C（0）=7千元是商品的固定成本。則邊際收入是R'（x）=12-x（千元/千克）。試求企業獲得最大利潤時，商品的生產量應該是多少，此時企業獲得的最大利潤是多少。如果再增加生產1千克，此時企業獲得的利潤會怎樣變化？endprint

解：（1）企業獲得最大利潤時商品的產量和利潤總的經濟成本函數是：

R（x）=R（0）+∫0（12-x）dx=-1/2x2+12x

總的經濟收益函數是：

c（x）=c（0）+∫0x（6+1/2x）dx=1/4x2+6x+7

總經濟利潤是經濟收益和成本之間的差，即：

L（x）=R（x）-C（x）=-3/4x2+6x-7

L'（x）=-3/2x+6

令L'（x）=0，得出x=4。

因為只有唯一一個駐點，且經濟利益有最大值，則駐點x=4時一定是最大值的駐點。所以當企業商品的生產量是4噸時經濟利潤最大，最大利潤為：

L（4）=-3/4×42+6×4-7=5千元

（2）當生產總量增加1千克時，總的經濟利潤發生的變化為：

∫45（-3/2x+6）dx=-0.75

因此當利潤最大的時候，商品生產量每增加1千克，經濟利潤則減少0.75千元。

所以日常工作中的問題，企業不要單純追求增加商品生產量，應該結合各方面因素綜合考慮經濟總利潤的情況，確立適當的商品產量才能夠使企業實現經濟利潤最大化。

5 結語

數學微積分在經濟方面的應用，體現了高等數學與經濟活動之間的密切聯系。微積分是數學科學中的一項分支，也是目前最基礎和最重要的一門學科。數學微積分在經濟方面得到了廣泛應用，將經濟活動概括到數學范圍內，從而進行求解，對經濟活動的發展具有現實的指導意義。隨著計算機科技等科學技術的深入發展，數學微積分在經濟方面的重要作用日益突出，并且開始逐漸深入到經濟學的其他行業領域中。因此必須掌握、理解并且靈活運用數學微積分，促進經濟活動的良好發展。

參考文獻

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