統計與概率題型解析

劉艷

摘要：概率與統計是現階段高中數學中比較重要的一個知識環節，該環節的知識點有許多方面都和生活息息相關的，根據這個特點，就可以幫助學生更好的理解題意.現階段高中的概率與統計知識涉及面比較廣，通常包括抽樣方法的使用、頻率分布直方圖以及莖葉圖的繪制、數據構成的線性回歸分析、獨立性經驗的原理與方法應用等，在運用這些知識的時候需要結合具體的案例，來詳細了解各個類型題目在解決時對應的知識點.

關鍵詞：知識應用；統計與概率；題型解析

由于在現階段的學習與生活中，時刻都可以遇到與概率統計相關的決策問題，有時候為了能夠更好的為問題找到一個合適的解決辦法，就需要使用到一些專業的數學知識來進行有效的分析.為了提高學生對知識的判斷能力以及對概率時間靈活的掌握水平，本文重點選擇了有關該知識的幾類具體題型逐一進行講解，希望能夠更加清晰的幫助學習者全面掌握概率與統計模塊具體的知識應用.

一、抽樣方法的運用

例1某健身會所近日召集全部參加健身的會員開展了一次健身活動，整個活動被劃分成了單車組與瑜伽組，參與的人每個人只能最多選擇一個組來進行報名.在本次活動中的數據記錄中，參加活動的職工中有青年人大概約占425%，中年人約占475%，老年人約占10%；瑜伽組所有的人數則是全部人數的14，該組內，青年人50%，中年人占40%，老年人占10%.現在采用分層抽樣確定一個容量為200的樣本，試問其中單車組中三類人群應該怎樣抽取比較合適.

解析首先需要確定單車組三類人群分別所占比重為多少，假定瑜伽組人數x，另外單車組三類人群各占比例定為a，b，c，因此就可以得到式子：

40%x+3xb4x=475%，

10%x+3xc4x=10%，

得到b=50%，c=10%，a=40%.

接下來分別計算三個年齡階段人數具體數值：

抽取的青年人數為：200×34×40%=60人，

抽取的中年人數為：200×34×50%=70人，

抽取的老年人數為：200×34×10%=15人.

二、尋找數字特征

現在有一類題型，主要是圍繞數字之間存在的一定規律來做文章，因此就應該站在尋找數字規律與特征的角度，進一步尋找解題辦法.

例2如果一組樣本數t1，t2，t3……t10之間的標準差值是8，按照這一規律來看，樣本2x1-1，2x2-1……2x10-1的標準差數值是多少.

解析如果將第一組數據中的標準差進行設定，假設其為q，因此q=8，所以q2=64，后一組數據的方差也就為22×64，因此其標準差為16.

三、古典概型

例3有3粒種子同時埋在一個花盆中，每一顆種子都只有一半的出芽率.如果栽培者需要花盆中不能少于1顆種子成功出芽，那么栽培結果比較成功，并且不用進行后續的補栽；一旦沒有種子出芽，就必須補栽，那么該花盆內必須補栽的概率應該為多少.

解析題干中的已給條件已經說明了每顆種子最終的成活率為一半，也就是12，因此兩種情況發生的概率相互均衡.假設將其中種子成活發芽看做1，沒有成活看做是0，可以有以下幾種可能事件：（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0），一共8種事件，可以清晰的找出全部為0，也就是三粒種子全部死亡的幾率只有1種，因此需要補栽概率為18，反之不需要則為1-17=78.

例4有兩個骰子，求解：

（1）點數之和為4倍數事件出現的概率是多少；

（2）點數之和超過5低于10事件出現的概率是多少.

解按照題中所要求的概率事件發生特點，將所有可能發生的點數排列組合列出后，發現滿足（1）事件的情況有：

（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），

因此P（A）=14.

同理，按照“點數之和超過5低于10”來尋找滿足要求的事件情況有20種，分別是（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）， （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）.所以P（B）=59.

四、幾何概型

例5有一根全長為1m的繩子，需要將其截成三個小段，那么這三小段繩子都小于繩子全長12的概率是多少.

解析在這道題中可以假定截下來的第一截繩子為a，第二截為b，第三截用前兩節表示則為1-a-b，因此通過題意，可以確定其發生的范圍在下側圖1中陰形區域中，用字母表示為：

Ω={（a，b）|0

因此陰形區域所形成的三角形面積計算為：

12×（12）2=18，因此“三小段繩子都小于繩子全長12的概率”為P=14.

例6如圖2所示，整個矩形ABCD中存在一個點P，并且AB=5，AD=7.如果隨機朝四邊形內部將P點進行投擲，那么∠APB>90°的概率為多少.

解因為該點P位置處于隨機的狀態，并不固定，因此投擲在任何點都有可能.如果將該四邊形的總面積看成Ω，最終如果想要保證∠APB>90°這個條件成立，就需要將AB看成一個圓的直徑，將直徑為AB的半圓區域設為Z，因此事件“∠APB>90°”的概率就可以轉為求解二者面積之間比例關系的概率，因此：

Z面積=12×π×（52）2=25π8，

Ω面積=5×7=35， 二者面積找到了，也就能夠進一步確定P（Z）=25π8×35=5π56.

綜上所述，高中數學中統計與概率涵蓋的內容十分廣泛，不僅各類題目能夠在題干的情節設定上不斷加以完善，同時其所對應的知識點也各不相同，對于這一知識模塊來說，更需要緊密的結合實際生活，積極的發散思維，尋找問題解決的突破口，只有這樣，才能夠針對無論是幾何概型，還是古典蓋型都能夠靈活應對.

參考文獻：

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