一道雙曲線小題的分析

焦占紅

摘要：在解決直線與圓錐曲線相交的問題時(shí)，有些考生沒有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

關(guān)鍵詞：判別式； 雙曲線

題目已知雙曲線x2-y22=1，過點(diǎn)P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？

易錯(cuò)分析由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法，在解決直線與圓錐曲線相交的問題時(shí)，有時(shí)不需要考慮判別式，致使有的考生思維定勢的原因，任何情況下都沒有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

解設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為（x0，y0），

若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線l的方程為y-1=k（x-1），

即y=kx+1-k.

因?yàn)閥=kx+1-kx2-y22=1，

所以（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0（2-k2≠0）.③

所以x0=x1+x22=k（1-k）2-k2.

由題意，得k（1-k）2-k2=1，解得k=2.

當(dāng)k=2時(shí)，方程③成為2x2-4x+3=0.

Δ=16-24=-8<0，方程③沒有實(shí)數(shù)解.

所以不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，1）是線段AB的中點(diǎn).

點(diǎn)評 （1）本題是以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題目難度不大，思路也很清晰，但結(jié)論卻不一定正確.錯(cuò)誤原因是忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，因?yàn)樗蟮闹本€是基于假設(shè)存在的情況下所得的.

（2）本題屬探索性問題.若存在，可用點(diǎn)差法求出AB的斜率，進(jìn)而求方程；也可以設(shè)斜率k，利用待定系數(shù)法求方程.

（3）求得的方程是否符合要求，一定要注意檢驗(yàn).

變式練習(xí)過雙曲線C：x24-y29=1的左焦點(diǎn)作傾斜角為π6的直線l，則直線l與雙曲線C的交點(diǎn)情況是（）.

A.沒有交點(diǎn)

B.只有一個(gè)交點(diǎn)

C.有兩個(gè)交點(diǎn)且都在左支上

D.有兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上

解直線l的方程為y=33（x+13），代入C：x24-y29=1整理，得23x2-813x-160=0，Δ=（-813）2+4×23×160>0，所以直線l與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)符號(hào)不同，故兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右支上.

直線與雙曲線的位置關(guān)系是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).在直線方程代入雙曲線方程，化簡得到一元二次方程的計(jì)算過程中，不可忽視“判別式”而致誤失分.endprint