重視數學思維角度，提高解答問題效率

陳向蓓

摘要：解數學題的思維意識是答題者通過審題，在大腦中對題目所涉及問題的一種反應.當學生具備明確而完善的思維能力，便可在解題困境中靈活選擇自己的思維方式，使問題得到迅速而準確的解決.因此，注重對數學問題思維角度的選擇，是正確解決數學問題的重要方向.

關鍵詞：解題途徑；思路方法；整體結構；思維靈活

一、形象思維

從數學問題的感性整體入手，在綜合考查的過程中，運用圖表圖形等直觀信息，直接反映事物的本質規律，形象伴隨思維，為數學解題提供明確思路方法.

例1復數-i一個立方根是i，則它另外兩個立方根是（） .

A 32±12iB- 32±12i

C ±32+12i D ±32-12i

解析抓好復數開方的幾何特征：一個復數的n次方根對應復平面上等分圓周的n個點.如圖1，由|-i|=1，在單位圓上標出i對應點以后，另兩個等分點便可容易標出，故本題應選D.

二、 整體思維

在審題中把解題的注意力和著眼點放在問題的整體結構上，從整體角度思考，從宏觀上理解和認識問題的實質，從而達到盡快解決數學問題的能力.

例2求同時滿足：（1）z+10z是實數，且1

解析如果設z=x+yi，（x，y∈R）解題非常繁瑣.從整體性質出發，設μ=z+10z，則z2-μz+10=0，由1<μ≤6， Δ=μ2-40<0得：z=12（μ±40-μ2i）.結合條件（2）知：μ=2或μ=6.因此所求復數z=1±3i或z=3±i.

三、類比思維

將數學問題題目中的新問題與已知問題進行類比，模仿相似問題的處理方法.

例3過棱錐高的三等分點作平行棱錐底面兩個截面，則棱錐被分成的三部分體積比.

解析本題運用類比方法，可視截得的棱錐和原棱錐為“相似體”.在平面幾何中，相似三角形面積比等于它們對應邊的平方比.類比可知：三棱錐相似時，它們的體積比等于對應邊的立方比.如圖2，畫出棱錐的一個側面，并分出三個相似三角形.那么三個三角形所對應的三個棱錐休積比為：13∶23∶33因此所求三部分體積比為12∶（23-13）∶（33-23）=1∶7∶19.

四逆向思維

求解一個問題時，若從正面不能入手或較復雜，可轉換到問題的反面，從相反的方向去思考問題，即而找出解題的捷徑.善于運用逆向思維是思維靈活的一種表現，培養逆向思維訓練是學生創造能力的重要方面.

例4關于x方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一實根.求實數p取值范圍.

解析按常規考查關于x的三次方程解的情況，由于是高次方程，求解比較困難.如果將主元x與參數p易位，即柳暗花明.整理成關于p的二次方程p2-（x2+2x）p+x3-1=0.

即：（p-x+1）（p-x2-x-1）=0，解得x=p+1或x2+x+1-p=0由于原方程有且只有一個實根，即方程x2+x+1-p=0沒有實數根.由Δ=1-4（1-p）<0得p<34，因此p的取值范圍為p<34.

五、極端思維

為解脫出高中數學解題中的紛紜繁瑣條件，可利用特殊化思維、極端性原則進入清晰而單純的境界，為尋求較為復雜問題的解決，提供行之有效解題途徑.

例5如圖3，多面體ABCDEF中，已知面ABCD邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF和面AC距離是2，求多面體體積.

A92 B5C6D 152

解析因題意，滿足條件的EF不唯一，而多面體的體積不變，即可考慮面ADE⊥面ABCD的極端情況.如圖的多面體可分割成直三棱棱ADE-MNF和四棱錐F-MBCN，那么

VABCDEF=VADE-MNF+VF-MBCN=（12×3×2）×32+13×（32×3）×2=152.因此答案選D.

六、聯想思維

聯想是心理條件的反射.解題過程中注重由題目提供的信息想到相關的知識與熟悉的數學知識，通過借助相關知識解決題目中的問題.

例6已知a是實常數， x∈R， f（x+a）=1+f（x）1-f（x），判斷f（x）是周期函數嗎？如是求出它的一個周期；如不是說明原因.

解析由f（x+a）=1+f（x）1-f（x）聯想tan（x+π4）=1+tanx1-tanx，所以tanx為原型，a相當于π4，而正切函數周期為π=4×π4，即f（x）的周期為4a.

f（x+2a）=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=-1f（x）.

所以f （x+4a）=f（x+2a+2a）=-1f（x+2a）=f（x）.因此f（x）是周期函數，4a是一個周期.

七、創造性思維

為解決問題尋求答案，提出自己新的見解或產生新的發現的思維形式就是創造性思維.創造性思維形式是思維的較高表現形式，靈敏與審美是打開學生創造思維的的金鑰匙.

例7如圖4，ABC-A1B1C1是正三棱錐，AB1⊥BC1，求證AB1⊥A1C.

解析本題是一道典型的立體幾何題，有較多常規的證明方法.若拋開歐氏幾何嚴謹的邏輯推理，以一個簡單的旋轉就能證明問題，解法可謂超凡脫俗.

以ΔABC，ΔA1B1C1的中心OO1連線為旋轉軸，把正三棱柱逆時針旋轉120度.可見：AB1的位置被CA1取替，BC1的位置被AB1取替，因此A1C⊥AB1.

思維意識是影響學生高中數學解題能力的本質原因，是學生拓展解題思路的源泉.解題訓練不但可以掌握必須的數學基礎知識與技能，還可以促進思維意識的形成、思維能力的拓展.

參考文獻：

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