動態因子分析在環境監測數據綜合處理中的應用

郭益銘，趙恩民

中國地質大學(武漢)環境學院，湖北 武漢 430074

為準確掌握生態環境質量及其變化趨勢，我國已在各地設有不同級別的環境監測站，逐漸積累了連續的環境監測數據集[1]。基于已有數據，國內學者已廣泛開展關于污染物排放、氣象、水文條件等因素的內在關聯，以及這些因素對生態環境質量影響過程的研究，并建立眾多基于數理過程的模型[2-5]，以還原生態環境變化過程。但由于污染過程和影響因素的不確定性、隨機性和復雜性，這些模型通常只能運用于特定條件。基于此，國內外學者提出大量基于未知過程的多元統計[6-8]、不確定性分析[9-10]、灰色系統理論[11-12]、黑箱模型[13]等研究方法，取得較好效果。

多元統計方法可分析多個變量指標間的統計學規律，從而在復雜系統中揭示變量間相互關系[14]。由于生態環境指標的多樣性，聚類及判別分析[15-16]、因子分析[17-18]、主成分分析[19-20]、回歸分析等多元統計方法已廣泛應用于此領域。這些方法可以有效揭示觀測變量與生態環境質量間的關系。但一方面，傳統主成分分析方法未考慮變量隨時間變化的動態關系；另一方面，回歸分析雖然可以考慮時間序列信息，但不能衡量未觀測變量的影響。

動態因子分析(DFA)作為降維的統計方法，用于時間序列分析，以揭示多元變量中解釋變量與共同趨勢對響應變量的影響程度。較之于因子分析與主成分分析，DFA顯性考慮變量與時間的關系，并將影響響應變量的未知因素隱含于共同趨勢中，從而在忽略未知因素的情況下，仍能取得良好的擬合效果，這使DFA可以應用于復雜的環境生態系統。近年來，DFA在水域生態環境監測[21-27]、地下水水位及水質[28-31]、空氣污染[32-35]等領域的應用已廣泛發表于國外期刊。但該方法在國內未見報道，因此具有廣闊的發展前景。

1 動態因子分析理論

早期DFA的應用受到模型參數估計方法的限制，僅可分析少量的時間序列。ZUUR等[36]將DFA引入生態領域時，提出基于卡爾曼濾波算法(Kalman filter)和最大期望算法(EM)的參數估計算法，并基于此開發Brodgar軟件(Highland Statistics Ltd, Newburgh, UK)，為其他人應用提供運算基礎，研究者可在其官網http://www.brodgar.com下載使用。相較于傳統時間序列分析方法，DFA可以解決以下幾個常見問題：①響應變量對于時間的普遍變化模式(general patterns)；②響應變量間是否有相互作用；③響應變量是否受外界因素(解釋變量)影響。此外，由于新的參數估算法可以適應數據缺失的情況，僅需簡單處理即可忽略缺失數據對參數估計的影響[36]，因此DFA可以容忍缺失值，研究者利用原始數據即可用Brodgar軟件進行分析。同時，DFA亦可分析數據長度較小、非平穩(nonstationary)的時間序列數據，這使其適用于常具有缺失數據及數據非平穩的生態環境領域的研究。

1.1 DFA數學模型

作為降維的統計方法，DFA將響應變量分解為以下幾個方面：①多個共同趨勢的線性組合(共同趨勢數量小于相應變量個數)，代表影響響應變量的潛在未知變量；②觀測序列中影響響應變量的解釋變量；②常數項；④誤差項。其數學表達式[28]：

αm(t)=αm(t-1)+ηm(t)(2)

DFA模型假設存在一個或多個潛在的未觀測的未知變量，這些變量影響響應變量的動態變化，并以共同趨勢的形式進行量化。通過探討因子載荷(γm,n)與典型相關系數(ρm,n)探討響應變量與共同趨勢的相關關系[37]，可以在部分情況下合理解釋共同趨勢，例如，當某些響應變量與共同趨勢呈高相關性時，可以認為此共同趨勢為這些響應變量間隨時間的共同變化模式。

1.2 數據預處理

應用DFA的過程中，季節性問題會造成指標間高相關性，影響分析結果[21]。因此為保證模型有意義，應首先消除季節性的影響。CLEVELAND[38]提供了一種有效的去季節性方法，將時間序列模型化為

yt=trendt+seasonalt+remaindert(3)

原始變量(yt)可視為趨勢(trendt)、季節性(seasonalt)和剩余信息remaindert之和，通過去掉季節性成分，將趨勢與剩余信息之和當作新的觀測數據，具體算法參見參考文獻[38]。此外，為防止變量間多重共線性及量級不同影響分析結果，需對數據進行以下預處理:首先進行標準化處理，通常采用標準分數法，即觀測值減去平均值除以標準偏差，以去除不同量級對結果的影響[21]。其次對數據中解釋變量進行方差膨脹因子(VIF)分析，以去除多重共線性的影響[14]，當VIF遠大于1時[39]，即表示存在多重共線性，應將非必要變量移除。在許多研究中，建議移除VIF大于5的非必要變量[30, 40-41]。

1.3 最佳DFA模型的選擇

選取合適的共同趨勢數量及適當的解釋變量決定觀測序列的擬合效果，較少的共同趨勢數量無法充分地解釋響應變量，而過多的共同趨勢數量則會增加不可解釋因素，解釋變量的過度選取也會增加模型參數的量，降低模型擬合效果。因此，選取盡可能少的共同趨勢數量且保證模型的擬合效果是建立DFA模型的關鍵。為此，可采用Nash-Sutcliffe效率系數(Ceff)[42]及赤池信息準則(AIC)[43]進行DFA模型優選。Ceff用來評價模型擬合效果，其數學表達式：

(4)

AIC=2m′-2ln(L)(5)

式中：m′為模型獨立參數的個數，越小表示模型越簡潔；L為似然函數的值，值越大表示模型越準確，該準則兼顧模型的簡潔性和精確性，避免過度擬合(over-fitting)情況的出現。作為衡量和對比模型擬合優度(goodness-of-fit)的方法， AIC值越小表示模型越優良。

通過選取不同的共同趨勢數量及解釋變量的組合，尋找Ceff值最大及AIC值最小的組合作為最佳DFA模型。DFA模型結構及研究技術路線如圖1所示。

圖1 DFA模型結構及研究技術路線圖Fig.1 Structure and technology roadmap of the DFA model

2 動態因子分析的應用

2.1 在地表水域生態環境中的應用

ZUUR等[36]2003年首次將DFA應用于生態領域，將瓦登海(Wadden Sea)西部潮間帶12種生物數量時間序列作為響應變量(每年3月采樣)，溫度序列作為解釋變量，探討1970年以來不同種類生物數量隨時間變化的共同模式及受溫度的影響。通過AIC值判定最佳模型：3個共同趨勢+解釋變量+對稱非對角誤差矩陣。通過共同趨勢對不同生物數量的因子載荷，劃分3類變化模式，并指出溫度顯著影響生物數量。ZUUR等[37]亦將漁業數據應用于DFA模型，探討歐洲西北13個地區海螯蝦數量變化，明顯歸納出3個共同趨勢變化。雖然根據AIC值，最佳DFA模型為3個共同趨勢，無解釋變量，但并不代表環境變量對海螯蝦數量沒有影響。由于AIC準則考慮模型參數，每增加一個解釋變量，便增加與響應變量個數相當的新參數，若新增解釋變量只影響部分響應變量，所導致模型的改進無法抵消參數增加的影響，則會使AIC值升高。基于此，ZUUR等[37]應用典型相關系數判定解釋變量與共同趨勢的關系，并考慮時間延遲得出海水表層溫度與延遲2年的第一共同趨勢相關，表明代表未知因素的第一共同趨勢亦影響海螯蝦數量和海水表層溫度。

DFA應用中，關鍵在于選取響應變量與解釋變量，研究者通常根據研究上的需要及經驗進行處理。但對于監測數據，由于地域及污染程度的差異，難以準確區分響應變量與解釋變量。因此，聯合DFA與其他方法愈加受到研究者青睞。ERZINI[44]聯合DFA與最大最小自相關因子分析(MAFA)[45]研究葡萄牙南部海域12種生物變化趨勢與環境因素的關系，結果表明，不同方法得出相似結論，證明DFA確實為一種有效的統計方法。RUGGIERI等[46]聯合DFA與主成分分析(PCA)探討水質指標與氣象、水溫、鹽度間的關系。PCA結果表明，近海岸，中海岸，遠海岸水質指標呈現不同特征，因此，將水質指標作為響應變量，應用DFA分別分析此3個區域水質變化特征及外界因素對水質的影響，并將結果進行對比。KUO等[41]利用MAFA確定葉綠素a為臺灣高屏溪出海口主要水質指標，并應用DFA探討何種河流及地下水水質指標顯著影響葉綠素a(響應變量)濃度變化。

2.2 在地下水生態環境中的應用

地下水與地表水常進行水量交換，通過探討兩者相互關系，可以更全面了解影響生態環境的關鍵因子。MUOZ-CARPENA等[28]首次將DFA應用于地下水環境領域，以地下水水質指標作為響應變量，并將降雨、水位、土壤化學、河水水質等指標作為解釋變量，探討地下水與地表水的相互作用，結果表明，水位、土壤化學及降雨顯著影響地下水水質，并由此提出相應管理措施。RITTER等[29]于DFA模型中考慮地下水位、地表水位、降雨等因素，以探討農業區地下水與地表水水位關系，得到地下水位主要受地表水位影響，降雨只影響局部地區地下水瞬時水位，但會顯著增加洪水風險。RITTER等[30]亦將土壤折射率作為響應變量，將蒸發量、降雨、樹冠露水滴落量作為解釋變量，探討亞熱帶濕潤氣候區不同深度、不同海拔的土壤含水率變化趨勢及影響因素。這項研究未考慮影響土壤含水率的機理，如土壤性質、物理及化學過程、植被密度等，但DFA模型仍得到較好的結果，表明DFA在未知物理及化學過程下，仍可作為有效的分析工具。KUO等[47]將臺灣高砷地區地下水砷含量作為響應變量，堿度、總有機碳、降雨、水位作為解釋變量，探討哪些因素顯著影響不同地區地下水砷含量。KISEKKA等[48]探討影響包氣帶含水率的因素，并基于DFA結果建立線性回歸模型，成功預測在運河開采情況下包氣帶含水率的變化。KAPLAN等[49]將不同地下水觀測井的電導率作為響應變量，降雨、地表水位、地表水電導率、地下水位、累積水量變化、累積鹽度變化作為解釋變量，探討復雜條件下海水入侵對地下含水層水質的影響。以上研究表明，在復雜系統下DFA模型可有效探討地表水與地下水相互關系。

2.3 在空氣污染中的應用

3 討論與展望

DFA是一種對多維時間序列進行降維的統計分析方法，與傳統分析方法相比，可以顯性考慮時間因素，揭示隱含的、未被觀測的影響因素，亦可以分析數據量較少的、有缺失值的非平穩時間序列數據。DFA將變量劃分為響應變量和解釋變量。對于響應變量而言，DFA可以考慮響應變量間的共同趨勢，這種趨勢是可以量化隱含在現有變量中的未知因素，特定條件下可解釋為響應變量間共同變化模式；對于解釋變量，DFA可以量化考慮解釋變量對響應變量的影響程度，從而揭示變量間的相互作用。

目前，DFA方法雖已廣泛應用在生態環境領域，但仍有很大的發展空間：

1)DFA方法理論本身的完善。該方法雖在20世紀80年代就已應用到經濟及心理學領域，但由于參數估計方法的限制，無法分析復雜的數據結構。現有應用于環境生態領域的DFA方法都參考自ZUUR等[36]提出的基于卡爾曼濾波算法和最大期望算法的極大似然估計，其本身尚處于不斷發展完善階段。比如探索更加簡便及準確的參數估計方法，提出更佳的誤差管理措施等。

2)DFA方法應用范圍的拓展。理論上，DFA方法可以刻畫任意變量間相互影響程度，揭示潛在影響因素。這使得該方法仍有巨大的應用空間，具體到環境生態領域，可以研究例如土壤污染與修復、水環境治理效益、水文與水環境的關系等。

3)更多角度挖掘DFA模型提供的信息。DFA模型由于其靈活多變的數據輸入結構，通常可以反映不同環境生態問題，如揭示變量間物理化學作用、反映生態環境隨時間變化過程、揭示不同區域受污染物影響程度等。通過不同角度解讀DFA模型，可以更全面了解研究區生態環境問題。此外，DFA模型也可以應用到管理決策方面，如風險評估、最佳管理模式確定、防治規范確立等。

4)準確劃分響應變量和解釋變量。由于可以根據不同研究需要劃分響應變量和解釋變量，因此需要科學的劃分策略。前人雖已利用PCA、MAFA等方法對區域、變量進行劃分，但仍有很多方法可以結合DFA進行研究。理論上講，DFA可以結合任何區分變量間主次因果關系的方法。

5)預測未知數據。各領域中，通過已知數據預測未知數據十分重要。盡管DFA通過估計的參數可以準確預測接下來2～3個數據，但存在2個問題：首先，當解釋變量被應用到DFA時，應先預測解釋變量的值；其次，DFA無法準確預測更長時間的數據。因此，下一步研究的主要方向應結合DFA與其他方法進行預測。如CHANG等[50]利用DFA與類神經網絡混合模型有效地模擬預測臺灣北部不同點位蒸發量。

6)空間變化趨勢的研究。DFA可以很好地刻畫時間尺度上變量的變化趨勢，同時，靈活的響應變量選取(如河流不同監測斷面水質變量的選取)也使該方法可以探討變量的空間特征。但是，應用DFA探討大尺度空間變化趨勢的研究仍很少見。CAMPOBESCS等[51]聯合DFA與多元線性回歸模型，探討影響南非681 545 km2土地植被指數的關鍵因子的空間變化，證明DFA在此方面具有發展潛力。

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