有向圖中網絡Euler-Lagrange系統無需相對速度信息的群一致性

曹然 梅杰

在過去10多年里,關于多智能體系統的協同控制問題受到了國內外的廣泛關注,例如編隊問題[1]、聚集問題[2]、一致性問題[3]等.系統的一致性要求系統內所有智能體收斂于同一值.而在實際中,面對復雜任務時,常常需要系統的各部分分工合作,這就常常要求不同的部分收斂于不同值.群一致性問題將系統中的所有智能體分為幾組,并要求同一組的所有智能體收斂于同一值,而組與組之間則可以不同,這使得群一致性在處理一些復雜問題時更加適用.

在系統動力學模型采用線性常微分方程以及拓撲結構為無向圖的情況下,Wu等[4]使用牽制控制法[5]設計線性負反饋控制器使得系統實現群一致性,在此方法下實現群一致需要組間連接強度足夠大.Xu等[6]使用牽制控制法設計分布式自適應控制器,并在假設拓撲圖的Laplacian矩陣中的每個子塊均行和列和為零的情況下實現了群一致性.基于有向拓撲結構,Xia和Cao[7]給出了三種情況下實現群一致性的條件:1)采用的動態模型不同;2)連接存在時滯因素影響;3)組與組之間存在競爭關系.與使用牽制控制法的情況類似的是這兩種方法均需要可以得到系統的精確解,故對于強非線性的Euler-Lagrange系統不能直接使用.在Yu等[8]提出的入度平衡條件前提下,Qin等[9]放寬了實現群一致性的代數條件,并提出了分組時無環分割的概念,設計了分布式反饋控制器使得不同組的智能體最終收斂于不同的軌跡.Wen等[10]在智能體被分為兩組且它們的動力學分別為一階和二階積分器的情況下,設計了一種使用鄰居信息的分布式控制器,給出了在固定拓撲和切換拓撲下實現群一致性的充分條件.另外一些研究采用的多智能體系統的動力學是Euler-Lagrange方程,該系統在實際中有著大量的應用[11],例如無人機、工業機器人、走路機器人等.因此,網絡Euler-Lagrange系統中的分布式協調控制也引起了廣泛關注.研究內容包括一致性問題[12?13]、跟蹤問題[14?15]、包含控制問題[16?17]等.在關于此類系統群一致性方面的現有研究中,Hu等[18]從兩個組的情況出發,設計了控制器使得系統在固定拓撲和切換拓撲的結構下分別實現了群一致性,并推廣到多個組的情況,然而其提出的代數條件較難實現.Liu等[19?20]運用了一種新的分解方法來得到Laplacian矩陣的特殊形式,并結合輸入狀態穩定來解決群一致性問題.在上述的研究中,所設計的控制器均使用了相對速度信息,而實際中相對速度信息較難精確得到.

結合之前的研究結果,本文在拓撲結構為有向圖的情形下研究網絡Euler-Lagrange系統的群一致性,組的分割方式與文獻[9],文獻[19?20]中普遍采用的無環分割方式相同,設計了無需相對速度信息的分布式算法,并在最后給出了仿真模擬來驗證研究結論.

與文獻[4?10]中考慮的線性多智能體動力學相比,本文采用的動力學模型是非線性的Euler-Lagrange方程. 與文獻 [18?20]中研究的網絡Euler-Lagrange系統群一致性相比,本文考慮到智能體間相對速度信息難以直接測量的實際情形,提出了無需相對速度信息的群一致性算法.與文獻[13,17,21]中研究的網絡Euler-Lagrange系統的一致性相比,本文研究的是系統的群一致性問題.在文獻[21]中,智能體間信息傳輸權重均為正,而本文中不同組間智能體的信息傳輸權重可正可負.上述特點導致文獻[21]中Lii,i=2,···,d,均為非奇異的M–矩陣,而在本文中,由入度平衡條件可知,Lii,i=2,···,d,均含有零特征值.這使得本文中的證明過程也與文獻[22]不同.

1 數學背景與問題描述

在本文中,智能體采用的動力學模型是Euler-Lagrange方程

其中,qi∈Rp是廣義坐標向量,Mi(qi)∈Rp×p是對稱正定慣量矩陣,是Corios力和偏心力,gi(qi)為廣義有勢力,τi∈Rp表示作用在第i個智能體上的廣義控制力.每個智能體的動力學模型有以下三個性質[23]:

性質 1.有界性:對于任意i,存在正常數使得

性質2.反對稱性:是反對稱的.

性質3.參數線性化:對于任意向量x,y∈Rp都成立,這里是回歸矩陣,是智能體i的常值未知參數.

假設有n個智能體,智能體間的拓撲關系用有向圖G=(V,E,A)表示[24].其中V={1,2,···,n}表示圖中所有頂點組成的點集.E?V×V表示圖中所有邊組成的集合,一條邊(i,j)∈E表示智能體j可以從智能體i中單向獲得信息,我們稱點j是點i的父節點,點i是點j的子節點.A=[aij]∈Rn×n表示圖的帶權鄰接矩陣,當(j,i)∈E時有aij＞0,否則aij=0.一般我們假設一個節點不能連接自身,即aii=0.圖G的Laplacian矩陣LA=[lij]∈Rn×n被定義為且有lij=?aij,i/=j.在有向圖中,一條有向路徑是一個邊序列(i1,i2),(i2,i3),···,(ik?1,ik),其中任意一條邊(im,im+1)∈E.如果至少存在一個節點(稱為根節點),其到任意其他節點都有有向路徑,則稱該有向圖具有有向生成樹.如果一個圖中任意兩個不同節點間都存在一條有向路徑,則稱這個圖是強連通的.如果一個有向圖無法從任意節點出發經過若干條邊回到該點,則稱這個圖是一個有向無環圖.對有向圖的Laplacian矩陣,有如下結論:

引理 1[25?26].G是一個n階的有向圖,LA∈Rn×n是與其對應的Laplacian矩陣.有以下兩點成立:

1)如果有向圖G包含一個有向生成樹,則其Laplacian矩陣LA有一個單零特征值并且其余特征值均擁有正實部.

2)如果有向圖G是強連通的,那么存在一個向量ξ=[ξ1,···,ξn]T∈Rn,其中,0,對于?i=1,···,n,則有ξTLA=0成立.

引理2[22].G是一個n階的有向圖且是強連通的.定義矩陣其中Ξ=diag{ξ1,···,ξn},其中ξi如引理1中定義所示.則B是一個無向圖的對稱Laplacian矩陣.對任意向量?∈Rn,有如下的不等式成立

本文中所有智能體被分成d個組,如果將每個組視為一個點,其所構成的圖G是有向無環圖,我們則稱原圖G是可以無環分割的.{V1,V2,···,Vd}是點集V={1,2,···,n}的無環分割,其中Vi表示包含ni個點的一個組且有以及分屬不同組的兩個節點間可以存在競爭關系即aij＜0或合作關系即aij＞0,其中i∈Vk1,j∈Vk2,k1/=k2.

這里有如下結論:

引理3[18].對于任意可以無環分割的有向圖G,假設其無環分割后的點集為{V1,V2,···,Vd},那么可以通過重新對所有頂點標號,使得G的Laplacian矩陣有如下的形式

其中,Lii為與Gi相關的矩陣,Lij表示從Gj到Gi的信息傳輸,i,j=1,2,···,d.

這里我們給出群一致性的定義:

定義 1.我們稱被分成d個組的n個智能體在控制器τi的控制作用下可以實現群一致性當且僅當所有智能體的狀態滿足

注1.由定義1可知,本文的群一致性要求組內各智能體的狀態都達到一致,而組與組之間各智能體的狀態則可以不同.

2 控制律設計

在本文中,我們有如下假設:

假設1.圖G是一個可以無環分割的有向圖.

假設2.每一個組Vi對應的子圖Gi都是強連通的.

假設3.組與組之間滿足入度平衡條件[8],即對于任意兩個不同組Gm與Gn有:

注2.具體地,假設1首先由Qin和Yu[9]在解決有向圖下一般線性多智能體系統的群一致性問題中提出,是對系統內智能體進行分組的一個前提條件.假設2用來保證組內智能體能達到一致性.假設3則可以保證系統達到群一致性之后組外智能體的狀態不對組內智能體的狀態產生影響.在假設1下,不失一般性,可以將圖G的Laplacian矩陣寫成式(3)的形式.假設2是研究一致性問題中的常有要求,也是引理1和引理2的前提條件.根據假設3,當一個組達到平衡時,其接收到的其他組的信息輸入總和為零,從而可以保持平衡狀態.結合假設1和假設3以及引理3,可以得到式(3)中每個Lij的行和為零,且Lii為Gi對應的Laplacian矩陣.

首先,定義以下輔助變量[17,21]

其中,α是一個正常數,aij代表鄰接矩陣A的第i行第j列元素.

不使用智能體間的相對速度信息,設計如下所示的分布式自適應控制算法

其中,k是一個正常數,是未知參數Θi的估計值, Λi是對稱正定矩陣,如性質3中定義所示.定義將式(8)代入系統式(1)中可得

為了之后的收斂性分析,這里介紹一個特殊的(n?1)×n矩陣Q[27].

引理4[28].如果有向圖G具有有向生成樹,那么矩陣的特征值均有正實部,這里LA是圖G的Laplacian矩陣.

顯然在假設2的情況下,對于每一個子圖Gi,都有對應的矩陣Qi.

對于多Lagrange系統的群一致性,有如下結論.

定理1.在假設1～3成立的情況下,將控制算法(8)作用于系統(1),選擇適當的控制增益k,系統將最終達到群一致性.

證明.首先考慮第1組的一致性問題.由假設2和式(3)可知,L11對應的子圖G1是強連通的.那么由引理1可知,存在ξ1i＞0,i=1,···,n1,使得其中ζ1為ξ1i的列堆棧向量.定義參考向量d.令令X為qi的列堆棧向量,i=1,···,n.并有其中Xj為第j組所有智能體的狀態變量的列堆棧向量,j=1,···,d.令為的列堆棧向量,i=1,···,n1.

選擇如下的Lyapunov方程:

定義M(X1)=diag{M1(q1),···,Mn1(qn1)}, Ξ1=diag{ξ11,···,ξ1n1}.令S1和Xr1為si和qri的列堆棧向量,i=1,···,n1.由式(6)和式(7)可以得到

對式(15)求導,并考慮式(10)和性質2,可以得到

對于向量x,y以及恰當維數的矩陣P,有xTPy≤σmax(P)‖x‖‖y‖.根據此不等式,可以得到

注意到有

將式(20)和式(21)代入式(18)中可得

其中,B1=Ξ1L11+LT11Ξ1.注意到有(ζT1?Ip)=0p且子圖G1是強連通的,根據引理2,有

將式(19),(23),(24)代入式(22)可得

顯然,如果選擇

其中,k0是一個正常數,那么可以得到

接下來考慮第2組的一致性問題.由假設3可知,L22的行和為零,那么L22為子圖G2的Laplacian矩陣.由假設2和引理1可知,存在ξ2i＞0,使得其中ζ2為ξ2i的列堆棧向量.與前文類似,選擇如下的Lyapunov方程:

定義 Ξ2=diag{ξ21,···,ξ2n2},M(X2)= diag{Mn1+1(qn1+1),···,Mn1+n2(qn1+n2)}. 令S2,和qri的列堆棧向量,i=n1+1,···,n1+n2.由式(6)和式(7)可以得到

對式(28)求導,并考慮式(10)和性質2,可以得到

仿照第1組中情況,有

將式(32)和式(33),式(29)代入式(31)可得

其中,B2=Ξ2L22+LT22Ξ2.注意到有

選擇k=k2+k0,可以得到

在式(39)兩邊同時積分可得

類似于前兩組的情況,對于任意第i組智能體,當

令S為si的列堆棧向量,i=1,···,n.令注意此時的仍然滿足式(12)和式(13),而由式(14)可知定義其中X已在證明開始時給出定義.

由式(7)可得

3 仿真分析

本節通過仿真驗證設計的控制算法的有效性.

考慮5個二連桿轉動機械臂所組成的系統,所有機械臂的動力學均為相同的Euler-Lagrange方程,關于方程的具體形式可參考文獻[30].在仿真實驗中,所采用的二連桿機械臂的各桿質量分別為m1=2.5kg和m2=1.8kg,各桿長度分別為l1= 1.0m和l2=0.6m,各桿連接點到質心的距離分別為lc1=0.5m和lc2=0.3m,各桿轉動慣量分別為J1=0.2083kg·m2和J2=0.0540kg·m2,重力加速度為g=9.8m/s2.

各智能體的初始轉動角度分別為[?2.0,1.0]T, [0.0,1.5]T,[1.0,2.0]T,[?1.0,?1.0]T,[0.0,?2.5]T,初始轉動角速度分別為 [?1.25,0.25]T,[?0.25 0.75]T,[3.00,2.00]T,[?2.50,?0.75]T,[0.00,?1.50]T.控制參數我們選擇k=8,α=1,Λi=5,?i=1,···,5.

智能體間的拓撲關系如圖1所示,機械臂的轉角變化如圖2所示,轉動角速度變化如圖3所示.可以看出兩組智能體在所設計的控制算法的作用下,分別收斂于兩個不同值,實現了群一致性的要求.

圖1 智能體間的拓撲關系Fig.1 The networked topology associated with the agents

圖2 有向拓撲圖下智能體位置狀態信息Fig.2 The position state of agents under the directed interaction graph

圖3 有向拓撲圖下智能體速度信息Fig.3 The velocities of agents under the directed interaction graph

4 結論

本文主要研究了當系統拓撲結構為有向圖時網絡Euler-Lagrange系統的群一致性問題.在系統參數不確定時,通過引入輔助變量構建狀態方程,設計了無需相對速度信息的分布式自適應控制律,從而避免了實際中相對速度信息精度難以保證的情形.在所設計的控制律的控制作用下,系統中每一組的智能體的狀態信息均可以收斂于同一點,而組與組之間的收斂點可以不同,從而實現了群一致性.最后通過仿真驗證了所提算法的有效性.

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