利用粒子群優化算法快速、穩定反演瑞雷波頻散曲線

蔡 偉 宋先海*② 袁士川 胡 瑩

(①中國地質大學地球物理與空間信息學院，湖北武漢 430074；②中國地質大學(武漢)湖北省地球內部多尺度成像重點實驗室，湖北武漢 430074)

1 引言

瑞雷波勘探[1]具有無損、高效、經濟等特點，越來越受到淺地表地球物理和地質工程界的重視。瑞雷波是一種由縱波和橫波干涉形成、并沿自由表面傳播的波，它具有衰減速度慢、信噪比高、抗干擾能力強以及在層狀介質中產生頻散等特點，已被廣泛應用于獲取淺地表、巖石圈或地幔的橫波(S波)速度結構信息[2-4]、近地表地層的品質因子[5]、路基壓實度[6]等。諸多學者也對其進行了研究，如瑞雷波反演[7-9]、瑞雷波數值模擬研究[10-13]、利用群速度估計淺地表橫波速度[14,15]等。

瑞雷波勘探可分為三個過程：面波數據采集[16]、拾取頻散曲線[17]和頻散曲線反演[18,19]。在正確拾取瑞雷波頻散曲線之后，其反演是獲取可靠的近地表S波速度剖面的關鍵步驟[20]。多數局部線性化優化方法已被用于反演瑞雷波頻散曲線，并且在各種商業軟件中占據主導地位，如最速下降法、L-M算法的最小二乘法等。然而，與大多數其他地球物理問題一樣，瑞雷波頻散曲線反演是高度非線性、多參數、多極值的。因此，局部線性化的方法易收斂到局部極小值，是否成功在很大程度上取決于初始模型的選擇以及偏導數計算的準確性。為了克服這種局限性，蒙特卡洛法、遺傳算法、模擬退火法[21]等全局優化方法被廣泛應用于瑞雷波頻散曲線的反演中。

粒子群優化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法是由Kennedy等[22]于1995年提出的，它是一種全局優化策略，模擬在鳥群(粒子)搜尋食物中觀察到的群體行為，并通過簡單的搜索策略不斷地更新位置與速度，引導算法搜索到最優解。近幾年來，PSO已成為最流行的自然啟發優化算法之一，并引起了諸多學者的關注，他們試圖以改進粒子群優化算法參數的方式獲得理想的優化效果。Shi等[23]在原始的PSO算法中引入慣性權重增強其搜索能力；Clerc[24]引入了收縮因子以降低PSO的不穩定性。

PSO是一種新穎有效的優化方法，并在地震勘探中得到了較好的應用[25-27]。筆者嘗試將PSO算法應用到近地表瑞雷波頻散曲線的反演中。為了評價PSO算法對瑞雷波數據反演的有效性與穩定性，首先對三個典型地質模型的理論頻散曲線進行反演，并分析算法的抗噪能力。然后，用模擬退火(Simulated Annealing,SA)法與PSO進行對比，分析兩種方法的優劣。最后，反演了來自美國懷俄明州某地區的實測數據[5]，以檢驗PSO算法對瑞雷波頻散曲線反演的適用性。理論模型試算與實測資料分析的結果表明，PSO反演瑞雷波數據具有快速、穩定、適用性強的特點，可有效地對瑞雷波頻散曲線進行定量解釋。

2 PSO算法的基本原理

PSO算法是一種基于迭代的優化方法，可對許多不同領域的問題進行優化，它的基本概念源于對鳥群捕食行為的研究[22]。PSO是一種簡單、直觀、多功能的算法，具有非常好的收斂性質，它可以在較大的搜索空間中找到最優解，且節省時間。PSO的工作原理如下。

(1)個體或粒子由向量表示，其長度為優化問題的自由度。

(2)開始時，在搜索范圍內隨機地初始化粒子群位置和速度，并計算每個粒子的適應度值。

(3)每個粒子都記憶自己的最優位置，隨著時間的推移，粒子將通過跟蹤兩個極值來更新自己：單個粒子的最優位置稱為個體極值點(用p表示)；所有粒子的個體極值中的最優位置稱為全局極值點(用g表示)。

粒子的速度和位置的更新方程為[22]

(1)

以上是基本的PSO算法，現已提出了許多改進策略來克服PSO在后期搜索速度慢等缺點。其中最具代表性的是Shi等[23]引入了慣性權重，即對速度更新方程加慣性權重ω，稱之為標準PSO(SPSO)算法，其速度和位置更新方程為

(2)

在PSO中，用慣性權重ω控制前面的速度對當前速度的影響，較大的ω可以加強PSO算法的全局搜索能力，而較小的ω能加強局部搜索能力。基本PSO算法是ω=1的情況，因此在后期缺少局部搜索能力，從而導致解的精度不高。文中采用自組織調整慣性權重ω的策略，該策略使PSO在前期具有較大的ω，從而使PSO具有較好的全局搜索能力；并在后期具有較小的ω，從而使PSO具有良好的局部搜索能力，以提高解的精度。自組織的慣性權重定義如下

(3)

其中：k為當前的迭代次數；K為最大迭代次數；ωs和ωe分別為初始的和終止的慣性權重。在本文中ωs取0.9，ωe取0.4。

另外，Clerc[24]研究發現，收縮因子有助于確保PSO算法收斂，即將粒子群速度更新方程表述為

(4)

引入收縮因子能確保系統行為最終收斂，可以有效搜索不同區域，能得到高質量的解。將ω和χ兩種策略綜合起來，可形成帶ω和χ線性遞減的PSO(W-K-PSO)算法。其速度更新方程為

(5)

3 理論模型試算

在瑞雷波勘探的實際應用中，基階波能量較強、較易觀測到，分布也較廣泛，故本文采用基階波頻散曲線反演橫波速度結構。Xia等[7]的研究表明，與瑞雷波頻散曲線特征變化關系最密切的是地層的橫波速度和地層厚度，其次是泊松比和地層密度。因此，為減少反演時的計算量及其他參數的影響，本文只反演橫波速度和地層厚度，而泊松比、密度這些參數假定是已知的。另外，在實際應用中，通常沒有足夠的先驗信息估計淺地表的橫波速度和地層厚度。為了更符合實際情況，使用了較寬的模型參數搜索范圍。在后面所有的理論模型測試中，搜索區域的下限和上限設定為與真實值相差50%或更大。使用相同的PSO反演參數對理論模型的無噪聲、含噪聲數據以及實測數據進行20次獨立反演測試。反演參數設置為：種群粒子xi=(V1,V2,…，Vj，…，VL,H1,H2,…,Hj，…，HL-1)。其中：Vj是第j層橫波速度；Hj是第j層地層厚度；L為地層層數，種群粒子的自由度為N=2×L-1。本文采用的理論模型均為4層模型，故L=4、N=7，種群數量設置為5×N， 迭代次數為100， 加速系數分別為：c1=2，c2=2。在實際中也可適當增大c1，減小c2，盡量滿足3.0≤c1+c2≤4.0，如果c1與c2設置不當，則容易使算法早熟收斂，導致反演失敗。

瑞雷波頻散曲線反演的過程是一個求解目標函數最小值的優化問題。反演的目標函數為相速度實測值與理論值的均方差(RMS)，即

(6)

為了檢驗和評價PSO的有效性和穩定性，使用了三個理論地質模型。這些模型可用于模擬淺層工程勘察中經常遇到的實際地質模型。表1所示的模型A是一個橫波速度遞增型的四層地質模型；表2所示的模型B是一個含有低速軟夾層的四層地質模型，比如常見的路面結構；表3所示的模型C是一個含有高速硬夾層的四層地質模型。對于模型A和C，在5～100Hz的頻率范圍內計算基階模式頻散曲線。但對于模型B，只在5～60Hz范圍內計算基階模式頻散曲線，因為實際上在高于60Hz的頻率范圍內，模型B的基階波是觀察不到的。

表1 模型A：四層速度遞增型地質模型參數及反演搜索范圍

表2 模型B：四層含低速軟夾層地質模型參數及反演搜索范圍

表3 模型C：四層含高速硬夾層地質模型參數及反演搜索范圍

3.1 無噪聲理論數據反演分析

首先采用PSO對無噪聲的理論數據進行反演，模型A、B和C的反演結果分別如圖1～圖3與表4～表6所示，表中參數VSi表示第i層的橫波速度，Hi表示第i層的厚度。可以發現即使在沒有足夠的橫波速度和厚度的先驗信息的情況下，PSO反演模型的模型響應仍然和真實模型的頻散曲線幾乎完全擬合(圖1a、圖2a、圖3a)，且各個模型的真實值均被PSO精確地反演和重建(圖1b、圖2b、圖3b)。模型A、B、C的模型參數平均相對誤差分別為2.04%、1.86%、0.67%。由此可見，PSO可以有效地對理論瑞雷波頻散曲線進行反演。

3.2 含噪聲理論數據反演分析

在實際應用中，拾取的瑞雷波相速度不可避免地存在噪聲[20]，數據噪聲會導致反演算法的不穩定，還會導致反演算法找到的解并不是真正的解，為了檢驗和評價含噪聲的瑞雷波數據對PSO性能的影響，在前面設計的3個理論模型中分別加入10%的白噪聲作為隨機擾動，然后分別進行反演。

圖1 模型A的不含噪聲理論數據的反演結果 (a)不含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線)； (b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實模型(點虛線)、帶有標準差的反演模型橫波速度剖面(實線)

圖2 模型B的不含噪聲理論數據的反演結果 (a)不含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線)； (b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實模型(點虛線)、帶有標準差的反演模型橫波速度剖面(實線)

圖3 模型C的不含噪聲理論數據的反演結果 (a)不含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線)；(b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實模型(點虛線)、帶有標準差的反演模型橫波速度剖面(實線)表4 模型A：含噪聲與不含噪聲數據反演結果統計表

參數真實值不含噪聲含10%噪聲反演結果相對誤差/(%)標準差反演結果相對誤差/(%)標準差VS1/(m·s-1)200.00199.940.030.43202.621.310.57VS2/(m·s-1)250.00251.700.6820.53265.996.4025.08VS3/(m·s-1)350.00353.801.0811.73351.110.3220.36VS4/(m·s-1)450.00450.100.020.53447.180.631.25H1/m3.002.942.020.343.165.430.41H2/m2.002.209.920.292.073.370.51H3/m5.005.030.560.514.813.840.67

表5 模型B：含噪聲與不含噪聲數據反演結果統計表

表6 模型C：含噪聲與不含噪聲數據反演結果統計表

加噪聲后的反演結果模擬響應如圖4～圖6所示。從圖中可以看出，PSO在對含有噪聲的數據反演時仍具有較強的穩定性，反演模型的頻散曲線均能較好地擬合理論值的頻散曲線。模型A、B、C的模型參數平均相對誤差分別為3.04%、3.53%、2.54%(表4～表6)。由此可見，PSO反演瑞雷波頻散曲線具有良好的穩定性。

為了檢驗PSO的收斂性，需要分析在算法迭代過程中，最小目標函數值是否隨著迭代次數逐漸減小。以模型C為例，對模型C的不含噪聲和含噪聲的理論數據反演迭代過程中最小目標函數的變化進行了分析，如圖7所示。由圖可見，最小目標函數值在前20次迭代中快速收斂，然后逐漸收斂到零值附近(實心圓點)或某一常數附近(實線)，這表明PSO已經完成了對最優解的搜索。由此可見，在無噪聲和有噪聲的情況下，PSO反演瑞雷波頻散曲線均具有較好的收斂性。

3.3 PSO與L-M算法和模擬退火算法的對比分析

為了比較PSO與常規優化算法的搜索性能，本文選擇了非線性最小二乘法(Levenberg-Marquart，L-M)算法和模擬退火法與PSO進行了對比。首先采用L-M算法對模型C的不含噪聲的理論數據進行了兩次反演實驗，反演時分別設置了不同的初始模型I1和I2，反演迭代次數均為20，且均已收斂，反演結果如表7和圖8a所示。當初始模型為I1時，反演擬合殘差為1.0×10-6，其反演模型R1與真實模型幾乎完全一致，反演頻散曲線與真實頻散曲線也幾乎完全擬合。由此可見，當初始模型設置為I1時，其反演具有較快的收斂速度和較高的反演精度。但當初始模型設置為I2時，反演擬合殘差為3.44， 反演頻散曲線與真實曲線雖擬合較好，但擬合程度遠不如初始模型為I1時的擬合程度，而且其反演模型R2與真實模型相差較大。由此可見，當初始模型設置為I2時，反演收斂到了局部極小值附近，導致反演錯誤。通過以上論述可知， L-M算法的反演結果可靠性嚴重依賴于初始模型的選取，另外，L-M算法還涉及偏導數的計算，雅可比(Jacobian)矩陣的求取精度也將直接影響反演結果的質量，而PSO算法大大降低了對初始模型的要求，用于瑞雷波反演是相當實用的。雖然PSO的計算效率不及L-M算法，但能確保反演模型的正確性，相對于易陷入局部極值的L-M算法來說，其反演精度得到了較大的提高。

圖4 模型A的含10%白噪聲理論數據的反演結果 (a)含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線)； (b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 C真實模型(點虛線)、帶有標準差的反演模型橫波速度剖面(實線)

圖5 模型B的含10%白噪聲理論數據的反演結果 (a)含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線)；(b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實模型(點虛線)、帶有標準差的反演模型橫波速度剖面(實線)

圖6 模型C的含10%白噪聲理論數據的反演結果 (a)含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線)；(b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實模型(點虛線)、帶有標準差的反演模型橫波速度剖面(實線)

然后，本文采用SA對模型A的不含噪聲的理論數據進行了反演。為了更好地比較PSO和SA的性能，使用相同的搜索空間、群體大小和迭代次數進行SA反演，反演結果和收斂曲線分別如表8和圖8b所示。由圖可見，PSO明顯比SA具有更快的收斂速度，而且PSO能收斂到零值附近，而SA收斂到2.5左右時似乎無法進一步收斂，同時也導致SA不能獲得更精確的解，SA反演的模型參數的平均誤差為4.85%，而PSO的僅為2.04%。另外，本文對PSO和SA反演時間進行了統計，發現SA耗費的時間為PSO的4.17倍，由此可見，PSO比SA具有更高的計算效率、更快的收斂速度和更高的求解精度。

表7 模型C(不含噪聲)：PSO與L-M算法反演結果統計表

表8 模型A(不含噪聲)：PSO與SA反演結果統計表

圖8 不含噪聲數據PSO與L-M算法和SA的對比 (a)模型C的不含噪聲數據(實心圓點)和反演模型頻散曲線(實線和虛線)； (b)模型A的不含噪聲數據PSO與SA的收斂過程的對比

4 實測資料分析

為了進一步檢驗PSO算法的適用性，利用PSO對Xia等[5]在美國懷俄明某地獲得的地震數據進行了分析(圖9)。采用48個8Hz垂直分量檢波器，道間距為0.9m，最小炮檢距為0.9m，震源采用錘擊震源。

由炮集記錄提取得到頻散能量圖(圖9b)，并從基階波能量上拾取實測數據(圖中黑色實心點)，然后采用PSO對其進行反演，與反演理論數據類似，只反演橫波速度和厚度、固定密度和泊松比。根據其測井數據，可將地層大致劃分為5個層位，然后根據測井資料的橫波速度范圍粗略估計PSO反演的模型搜索空間，并根據測井資料所反映的地下巖性來估計各層的泊松比和密度。模型搜索空間和泊松比以及密度的設置如表9所示。

利用PSO反演拾取的基階波相速度，其最小目標函數隨迭代次數的變化如圖10b所示。由圖可見，算法在迭代100次之后已經收斂。反演所獲得的該地區的橫波速度模型(圖10c中實線)與Xia反演的橫波速度模型(圖10c中帶方塊的實線)基本吻合，與測井資料(圖10c中帶空心圓的實線)在10m深度以內吻合較好，但在10m深度以下反演模型與鉆孔資料差別較大，可能是由于瑞雷波頻散能量低頻段分辨率低，提取誤差較大所致。圖10a中的實線表示根據反演結果計算的相速度，其與測量值(圖10a中的實心點)也十分吻合。由此可見，PSO反演瑞雷波頻散曲線具有良好的適用性。

圖9 懷俄明地區地震數據(a)與頻散能量圖(b)

圖10 懷俄明地區瑞雷波相速度反演結果 (a)實測數據(實心圓點)與反演模型頻散曲線(實線)； (b)最小目標函數值隨迭代次數的變化情況； (c) 測井值與反演模型剖面對比表9 PSO反演的模型搜索范圍及模型參數設置

層數橫波速度m/s厚度m泊松比密度g/cm31100～3001～50.382.02100～4001～50.382.03100～6001～50.352.04200～6001～50.352.05200～800∞0.302.0

5 結論

文中采用PSO對瑞雷波頻散曲線進行了反演，反演中設置了較寬的模型搜索范圍來模擬實際應用中沒有足夠先驗信息的情況。首先采用無噪聲、含噪聲的理論數據對PSO進行了有效性與穩定性實驗，然后將PSO與SA進行了對比，分析了PSO的收斂效果，最后用來自美國懷俄明地區的實測數據檢驗了PSO的適用性。理論數據和實測資料的反演實驗結果表明：

(1)PSO是一個有效、穩定、適用性強的全局優化算法，可將其應用于瑞雷波頻散曲線反演；

(2)PSO比傳統的全局優化算法SA具有更快的收斂速度和更高的求解精度，從而可加快反演速度，使得反演結果更準確、可靠。

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