聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導向矢量校正的穩(wěn)健波束形成方法

魯 歡，馮西安

(西北工業(yè)大學航海學院，陜西 西安 710072)

0 引言

穩(wěn)健波束形成是陣列信號處理中的重要方向，在聲吶、雷達、導航、通信、麥克風陣列語音處理以及地震勘測等科技領(lǐng)域中得到了極為廣泛的應(yīng)用。穩(wěn)健波束形成的典型方法是Capon波束形成[1]，它是建立在對期望信號導向矢量與干擾協(xié)方差矩陣準確已知的條件下。但實際應(yīng)用中，存在兩個重要的問題需要解決：一個是采樣快拍中含有較強期望信號成分使得利用采樣協(xié)方差矩陣波束形成器的性能在高信噪比情況下會急劇下降[2-4]。另一個是由于觀測方向誤差、幅相不一致、位置偏差等因素導致的期望信號導向矢量失配。為了使波束形成在強期望信號時具有較好的性能，已提出了許多穩(wěn)健性方法。文獻[5]將Capon空間譜估計在去除期望信號來波方向后的空域進行積分，得到重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣；但是其對角度失配誤差仍然較為敏感，致使主波束無法對準期望信號，從而削弱了輸出期望信號功率。文獻[6]通過估計期望信號功率來重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，雖然具有良好的抗強期望信號背景的能力，但隨著信噪比的變化，該方法在干擾信號方向不再置零，甚至變成了非自適應(yīng)的方法。另外，為了改善方法對于導向矢量誤差的敏感性，文獻[7]采用了對角加載波束形成(Diagonal Loading Beamforming，DL)，但如何確定最優(yōu)加載量仍是一個難題。文獻[8]采用了基于特征子空間(Eigen-Subspace Beamforming，ESB)的穩(wěn)健波束形成，對導向矢量誤差具有良好的魯棒性，但其接收信號中必須包含較強期望信號且需要子空間維數(shù)的先驗信息或估計。文獻[9-11]將估計導向矢量的問題轉(zhuǎn)換為一個凸優(yōu)化問題來對導向矢量進行矯正，但此方法運算量大且不穩(wěn)定，工程實現(xiàn)難。本文針對上述問題，提出了聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導向矢量校正的穩(wěn)健波束形成方法。

1 問題描述

假設(shè)有Q+1個相互獨立窄帶信號入射到M元均勻線列陣，其中M>Q+1，入射信號與噪聲相互獨立，其中期望信號的導向矢量為a(θ0)，干擾信號的導向矢量為a(θj),j=1,2,…,Q，那么陣列接收信號可表示為：

x(t)=As(t)+υ(t)

(1)

Capon波束形成基于以下最優(yōu)問題：

(2)

其解為：

(3)

式中，Ri+n是干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

(4)

實際中存在的多種誤差使得估計導向矢量與真實導向矢量往往是不一致的，即存在失配量。信號估計導向矢量可以表示為：

(5)

(6)

可以看出，一方面當期望信號的功率很強的話，波束形成器會抑制期望信號。另一方面當估計的方位與實際來波方向有偏差時，波束形成器的主波束不能準確地指向期望信號方向。綜合考慮這兩個關(guān)鍵問題，本文提出一種聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導向矢量校正的方法來解決這些問題。

2 聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導向矢量校正的穩(wěn)健波束形成

2.1 噪聲加干擾的協(xié)方差矩陣重構(gòu)

構(gòu)造如下的不確定性集合：

(7)

由Capon空間譜估計可知，波束形成器輸出平均功率為：

(8)

考慮到干擾的實際導向矢量必須位于高維曲面環(huán)Sa(θ∈Φint)中，重建干擾協(xié)方差矩陣為：

(9)

(10)

式中，?Sa(θ∈Φint)代表Sa(θ∈Φint)高維曲面環(huán)的表面。這個積分通過收集更多的高維表面積分的潛在信息來解決這個問題。

然而，求解式(10)中的積分是很困難的?？梢詫⑸鲜鍪?10)近似為：

(11)

(12)

對于θi∈Φint，式(12)是面積分，它近似為

(13)

式中，L是?Sa(θi)中的采樣點數(shù)。ail∈?Sa(θi)表示位于三維曲面環(huán)域上的導向矢量。

(14)

最后得到重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣為

(15)

(16)

此方法利用重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，排除了期望信號分量對波束形成性能的影響。接下來，將進一步采用導向矢量校正來提高波束形成的性能。

2.2 導向矢量校正

由于期望信號的可能來波方向上的導向矢量可構(gòu)成一個線性空間，那么對期望信號導向矢量的校正可表示為這一線性空間的基向量的線性組合。基于空間投影(SP，Space Projection)的Capon波束形成方法[12]就是利用這一方法對期望信號導向矢量進行校正，有效地提高期望信號導向矢量失配情況下波束形成的穩(wěn)健性。

(17)

通過均勻劃分空域區(qū)間Θ，再依次求和的方法，可得到正定矩陣Q表示為：

(18)

(19)

(20)

將式(19)代入式(20)得

(21)

(22)

(23)

(24)

由式(24)可知，最優(yōu)權(quán)矢量既排除了期望信號分量對波束形成的影響，同時又重新估計了期望信號的導向矢量，降低了波束形成對導向矢量失配誤差的敏感性，使得穩(wěn)健性有了更大的提升。

2.3 方法流程

3)計算得到重構(gòu)的干擾加噪聲矩陣為

3 仿真結(jié)果

在仿真中，采用半波長間隔無指向性陣元數(shù)為M=10的均勻線陣列。期望信號為高斯隨機信號，噪聲為高斯白噪聲。期望信號的實際方位角θ0=0°，干擾信號的實際方位角為θ1=-40°和θ2=60°。所有結(jié)果都是1 000次蒙特卡羅模擬的平均值。

最優(yōu)波束形成是基于最大輸出SINR準則得到的波束形成，是衡量波束形成方法性能的重要指標。將本文提出的方法與下述方法進行對比：標準Capon方法[1]、對角加載方法[7]、基于特征子空間投影方法[8]、矩陣重構(gòu)方法[11]、導向矢量校正方法[12]。

實驗1：不同信噪比下的波束圖

從圖2(a)可以看出，當期望信號功率較小時，導向矢量校正和提出的方法經(jīng)過導向矢量的校正，波束圖形狀都較為理想，能準確地指向期望信號來波方向，并在干擾信號的來波方向上形成零陷，具有優(yōu)秀的抗干擾能力。對角加載方法和矩陣重構(gòu)方法通過改進，在一定程度上校正了導向矢量；特征子空間投影方法通過投影的思想在一定程度上也校正了導向矢量，其主波束能較準確地指向期望信號的來波方向，并且在干擾處生成零陷；Capon波束形成由于失配誤差的存在，主波束有些偏移，但在干擾處仍能生成較深的零陷。

從圖2(b)可以看出，當期望信號比較大時，提出的方法對導向矢量進行了校正，又重構(gòu)了協(xié)方差矩陣，所以這種方法對失配誤差不敏感，具有理想的主波束指向性和干擾抑制能力。Capon方法已無法準確對準期望信號的來波方向，甚至在期望方向形成了零陷；對角加載方法的波束指向性雖然優(yōu)于Capon方法，但是由于期望信號的增強，使得其在干擾信號方向的抑制能力減弱，喪失了抗干擾能力；特征子空間投影方法仍然具有較好的波束指向性，但由于信噪比太高，使得抑制干擾的能力減弱；矩陣重構(gòu)方法基本不受輸入信噪比的影響，同圖2(a)中的基本相同；導向矢量校正方法雖然具有較好的指向性，但對干擾的抑制能力降低。因此提出的方法不僅存在導向矢量失配，而且在強期望信號背景下都有很理想的輸出。

實驗2：不同SNR下的輸出SINR

從圖3可以看出，矩陣重構(gòu)和提出的方法由于使用了重構(gòu)協(xié)方差矩陣將期望信號的影響給排除了，所以輸出SINR十分接近最佳SINR，但由于提出的方法還對導向矢量進行了校正，所以其輸出性能略優(yōu)于矩陣重構(gòu)方法。Capon方法在較小的SNR值時的輸出SINR已經(jīng)開始下降。對角加載方法因為其加載電平的存在，所以性能較優(yōu)于Capon方法。特征子空間投影方法提高了其輸出SINR及穩(wěn)健性，但是隨著SNR的增加，方法輸出SINR逐漸趨于平穩(wěn)。導向矢量校正的輸出SINR隨SNR的增加而增加，但因為只校正了導向矢量，沒有排除期望信號的影響，所以隨SNR的增大，方法輸出SINR逐漸趨于平穩(wěn)。

實驗3：少快拍數(shù)下的輸出SINR

從圖4可以看出，本文提出的方法輸出SINR是最接近最優(yōu)的SINR的，并且除矩陣重構(gòu)方法外其輸出SINR的收斂速度是最快的。盡管矩陣重構(gòu)方法輸出SINR的收斂速度與本文所提方法相同，但是其輸出SINR總是低于本文所提方法的輸出SINR。特征子空間投影方法與導向矢量校正方法的輸出SINR的收斂趨勢比較接近，只是前者的輸出SINR要高于后者。而Capon方法的性能是最差的。綜上可知，本文所提的方法不僅輸出SINR的收斂速度優(yōu)于其他方法，同時輸出SINR也是最接近最優(yōu)的SINR的，其性能最佳。

實驗4：不同失配角度下的輸出SINR

將快拍數(shù)固定為1 000次，輸入SIR=0 dB，SNR=20 dB。圖5為期望信號來波方向的角度失配量從-5°到5°時，不同方法的輸出SINR。

從圖5可以看出，當期望信號來波方向失配量極大時，本文所提的方法依然與最優(yōu)的輸出SINR接近。而矩陣重構(gòu)方法只在失配量較小的時候接近最優(yōu)的輸出SINR。 特征子空間投影方法的輸出SINR隨失配量絕對值的增大而減小。導向矢量校正方法的SINR盡管不隨期望信號來波方向角度失配量的變化而變化，但是其輸出SINR與最優(yōu)的SINR有一定距離。Capon和對角加載方法對期望信號來波方向角度失配最敏感，從圖5可以看出極小的失配也會造成輸出SINR的極大下降，但由于對角加載的加權(quán)因子影響，使它略優(yōu)于Capon方法。綜上可知，本文所提方法性能優(yōu)于其他幾種方法。

4 結(jié)論

本文提出了聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導向矢量校正的穩(wěn)健波束形成方法。該方法利用空間功率譜積分重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，排除了采樣協(xié)方差矩陣中的強期望信號分量，通過空間投影方式校正導向矢量，用校正導向矢量和重構(gòu)矩陣計算最優(yōu)加權(quán)矢量，進而進行波束形成。仿真實驗表明，相較于重構(gòu)協(xié)方差矩陣，校正導向矢量等方法，該方法在強期望信號和期望信號導向矢量失配同時存在時具有更好穩(wěn)健性，在不同信噪比、不同快拍數(shù)、不同失配角度時，輸出信干噪比性能接近最優(yōu)波束形成。

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