基于Simulink的經編機電子橫移系統仿真

鄭 靜， 夏風林,2， 劉 浪(.江南大學 教育部針織技術工程研究中心， 江蘇 無錫 2422； 2.生態紡織教育部重點實驗室(江南大學)， 江蘇 無錫 2422)

伴隨著計算機和伺服控制技術的迅猛發展，經編機電子橫移系統以其變化品種快、產品適應性強、生產效率高等優勢而得到快速發展[1]。如今旋轉伺服型電子橫移經編機的最高生產機速僅為2 100 r/min，遠遠比不上花盤凸輪型機械橫移經編機，因此電子橫移控制已成為經編機電子化的瓶頸之一。此外，經編機電子橫移系統是電力電子技術、計算機控制技術、機械工程等多領域交叉的技術含量高的綜合產品，其電氣特性和機械特性存在著千差萬別，使得理論研究存在一定難度，因此有必要對電子橫移系統進行理論建模研究。

國內對經編機電子橫移系統模型的建立已開展了一些研究。高軍濤[2]基于位置控制模式對電子橫移系統各組成部分進行分析、建模及研究；周博等[3]提出利用模型參考自適應控制策略進行電子橫移控制器的設計；翟云[4]建立了電子橫移系統整體閉環模型，并推導出系統閉環模型的傳遞函數；張琦[5]分別建立伺服電動機的控制模型、驅動器環節的檢測與調節模型、絲杠傳動機構模型和梳櫛鎖合機構模型，并整合成電子橫移系統整體結構的動力學模型。然而這些電子橫移系統模型均未考慮脈沖寬度調制(PWM)功放和電流反饋與調節環節。

因此，本文在分析基于速度控制模式的電子橫移系統控制原理的基礎上，對電子橫移系統的各個環節進行分析并建立整體數學模型，然后使用MatLab/Simulink進行仿真研究，為系統的動靜態特性分析以及系統性能的優化提供理論依據。并以PID參數中的比例增益為例，分析其對系統動靜態性能的影響。

1 電子橫移系統的控制原理

現今市場上的經編機電子橫移系統多采用旋轉型伺服驅動裝置，通過滾珠絲杠副將旋轉伺服電動機的旋轉運動轉化為直線運動，進而驅動梳櫛作橫移運動。由于系統允許梳櫛進行橫移運動的時間極為短暫，對此采用響應迅速的速度控制模式[6-7]。其主要由控制系統、驅動系統、信號反饋系統以及機械傳動系統組成[5]。一方面，由于不易在梳櫛上安裝末端執行機構監測裝置，另一方面梳櫛橫移時產生的振動會影響光柵尺等信號反饋裝置的檢測精度，因此，系統位置、速度信號的反饋輸入為伺服電動機軸端的編碼器。圖1為經編機電子橫移系統的工作原理圖，具體工作原理如下。

圖1 經編機電子橫移系統工作原理圖Fig.1 Working principle of electronicshogging system

上位機從USB或網盤中導入已設計好的花型，x進行數據分析和處理后，以工藝凸輪數據表的形式向運動控制器發送花型信息。在經編機運行過程中，主軸信號裝置對主軸的實時轉速、位置進行檢測并傳輸到運動控制器上。運動控制器根據接收到的主軸信號，確定當前橫移數據，并向伺服驅動器傳輸指令信號。伺服驅動器根據從運動控制器上接收到的指令信號，以及電動機軸端編碼器反饋的電動機軸實際轉角與轉速進行比較，得到偏差信號并進行PID(Port ID)調節，從而產生控制伺服電動機旋轉的驅動信號[4-5]。滾珠絲杠軸通過聯軸器與伺服電動機軸相連，將電動機軸的旋轉運動轉化成直線運動，進而驅動梳櫛進行橫移運動。

2 電子橫移系統的數學模型

經編機電子橫移系統的數學模型主要由電氣傳動機構和機械傳動機構組成。電氣傳動機構的輸入為控制電壓，輸出為電動機軸的角位移與角速度，包含伺服驅動與電動機數學模型和信號反饋與調節數學模型[5]；機械傳動機構由電氣傳動機構直接驅動，輸出梳櫛的直線位移。顯而易見，電子橫移系統屬于伺服進給系統。

2.1 電氣傳動機構數學模型

經編機電子橫移伺服控制系統擁有3層閉環控制結構，由內而外分別是電流環、速度環和位置環[2]，用以實現電子橫移系統的動態響應與穩態精度等控制目標。速度控制模式下，電流環和速度環由伺服驅動器控制，位置環由運動控制器控制[8]。系統的控制結構如圖2所示。

圖2 伺服系統的控制結構圖Fig.2 Control structure of servo control system

2.1.1伺服驅動與電動機數學模型

2.1.1.1 伺服驅動數學模型 控制電壓送入伺服電動機前，需在伺服驅動器里進行脈寬調制，使恒定的直流電源電壓調制成幅值相等、寬度可變的脈沖序列，從而改變平均輸出電壓的大小[9]，以實現對電動機的控制。目前經編機電子橫移通常采用正弦波脈寬調制(SPWM)，其一般簡化為一具有時間常數Ts(Ts=1/f，f為PWM逆變器工作頻率)和控制增益Ks(PWM逆變器輸出電壓與電流調節器輸出電壓的比值)的一階慣性環節[10-11]，傳遞函數為

(1)

式中s為復變量。

2.1.1.2 伺服電動機數學模型 PMSM采用三相交流供電，具有多變量、強耦合及非線性等特點，因此，需對電動機進行矢量變換控制。取d軸為電動機轉子的勵磁磁鏈方向，q軸為順著旋轉方向超前d軸90°方向。

d-q坐標系下，PMSM的定子電壓方程為

(2)

式中：ud、uq為定子電壓在d軸和q軸上的分量，V；id、iq為定子電流在d軸和q軸上的分量，A；ψd、ψq為定子磁鏈在d軸和q軸上的分量，Wb；Rs為定子電阻，Ω；ω為轉子電角速度(電角頻率)，rad/s。

定子磁鏈方程為

(3)

式中：Ld、Lq為定子繞組d軸和q軸電感(Ld=Lq=L)，H；ψf為轉子永磁體產生的磁鏈，Wb。

電磁轉矩方程為

(4)

式中：Te為電磁轉矩，N·m；p為極對數。

轉矩平衡方程為

(5)

式中：TL為負載轉矩，N·m；J為轉動慣量，kg·m2；B為阻尼系數，kg·m2/s；ωm為轉子機械角速度，rad/s(ω=pωm)。

對于轉子為表面式的永磁同步電動機，Ld=Lq=L。且為獲得線性狀態方程，采用id=0基于轉子磁場定向的矢量控制模式，對電動機模型進行解耦，此時定子電流全部為轉矩電流，電動機的電磁轉矩方程為

Te=pψfiq=Kτiq

(6)

式中Kτ為轉矩系數[12]，N·m/A。

因此，永磁同步電動機的狀態方程為

(7)

2.1.2信號反饋與調節數學模型

經編機電子橫移伺服系統的信號反饋和調節環節中，位置環通常采用比例調節，速度環采用比例積分調節，而電流環的誤差調節則由伺服驅動器自行調整，建模時將其視作比例積分調節。

2.1.2.1 信號反饋環節 電動機自帶的旋轉式編碼器一般看作是無慣性環節，即可認為其是一個比例放大器[13]，表示為一個關于實變量t的時域函數，因此有：

(8)

式中：Pf(t)為編碼器反饋脈沖數；Uf(t)為速度環反饋電壓，V；Ka為位置環反饋系數，脈沖/rad；Kb為速度環反饋系數，V·s/rad；θm(t)為電動機轉子角位移，rad。

2.1.2.2 信號調節環節 3個調節器的誤差信號分別為

(9)

式中：ep(t)、ev(t)、ei(t)分別為位置、速度、電流誤差；Pref(t)為位置環指令脈沖數；Uref(t)為速度環指令電壓，V；iqref(t)為電流環q軸指令電流，A。

3個調節器進行誤差調節后的輸出電壓[13-14]分別為

(10)

式中：Up(t)、Uv(t)、Ui(t)分別為位置、速度、電流調節器輸出電壓，也即速度、電流、電樞回路指令電壓，V；Kpp、Kpv、Kpi分別為位置、速度、電流調節器比例增益，Hz；Tiv、Tii分別為速度、電流調節器積分時間常數，ms。

2.2 機械傳動機構數學模型

經編機電子橫移系統的機械傳動機構由伺服電動機、聯軸器、滾珠絲杠副、絲杠支撐軸承、以及梳櫛鎖合機構組成[5]，其以伺服電動機的角位移θm為機械傳動部分的輸入，以梳櫛的直線位移XL為輸出。電動機通過聯軸器與滾珠絲杠直接相連，進而由滾珠絲杠副驅動梳櫛作直線運動。圖3示出了機械傳動機構的簡圖。

圖3 機械傳動機構簡圖Fig.3 Mechanical transmission mechanism diagram

在模型建立過程中，各機構之間由剛性元件與黏性元件連接，假設滿足如下條件：電動機與滾珠絲杠之間的聯軸器等效為剛性聯接；負載位置的變化不影響剛度的變化；滾珠螺母的質量與梳櫛的質量相比可忽略不計[13]。

經編機電子橫移機構的機械傳動系統本身為一個動力學系統。為方便建立機械傳動機構的數學模型及分析計算，依據動力學等效變換原理，將整個機械傳動機構的剛度、慣量、阻尼和作用在它上面的干擾轉矩都折算到絲杠上[13]，簡化得到如圖4所示的一個等效彈簧質量振動系統[3]。

圖4 絲杠傳動機構動力學模型Fig.4 Dynamic model of lead screw transmission mechanism

圖中：T(t)為折算到絲杠上的總轉矩，N·m；Tgr(t)為折算到絲杠上的干擾轉矩，N·m；θm(t)為絲杠的輸入轉角，rad；θL(t)為絲杠的輸出轉角，rad；JL為各機械傳動部件折算到絲杠上的轉動慣量，kg·m2；KL為各機械傳動部件折算到絲杠上的扭轉剛度，N·m/rad；fL為各機械傳動部件折算到絲杠上的黏滯阻尼系數，s·N·m/rad。

由圖4所示動力學模型，可得絲杠上的動力平衡方程：

(11)

并且在彈簧的線性變形范圍內有

T(t)=KL[θm(t)-θL(t)]

(12)

在忽略干擾轉矩Tgr的情況下，將式(12)代入式(11)后進行拉氏變換，可得到機械傳動機構的傳遞函數[13]

(13)

最終絲杠的輸出角位移通過絲杠螺母傳動，將旋轉運動轉化為梳櫛的直線運動：

(14)

式中，Pb為滾珠絲的導程，m。

2.3 系統整體模型

綜合上述經編機電子橫移系統的電氣傳動機構中的伺服驅動與電動機數學模型、信號反饋與調節數學模型，以及機械傳動機構的數學模型，按照傳遞函數輸入輸出關系，可得如圖5所示的系統整體控制結構框圖。圖中；Uφ為PWM逆變器輸出電壓，V；Eφ為電動機反電勢，V；Kφ為電動機反電勢系數，mV·s/rad。

圖5 系統整體控制結構框圖Fig.5 System overall control structure block diagram

3 電子橫移系統仿真研究

3.1 模型驗證

為驗證圖5所建經編機電子橫移系統數學模型正確性，本文使用MatLab/Simulink對模型進行仿真研究。通過向系統輸入單位階躍信號，并在電氣傳動機構輸出端采集系統的輸出響應，根據階躍響應是否收斂以及收斂是否迅速，驗證系統模型準確與否[5]。其中：聯軸器的外徑、內徑、長度lc、密度ρc分別為54 mm、19 mm、60 mm、2 700 kg/m3；滾珠絲杠的導程、直徑、長度lb、密度ρb分別為10 mm、25 mm、205 mm、7 900 kg/m3。表1示出模型選用的伺服電動機的技術參數。

由表1可得，電動機轉矩系數為

Kτ=pψf=1.09 N·m/A

(15)

經編機電子橫移系統的負載慣量JL由聯軸器、絲杠、梳櫛的等效轉動慣量Jc、Jb、Jt疊加而成的，假設梳櫛質量為18.5 kg，則負載慣量為

表1 模型技術參數Tab.1 Model technical parameters

(16)

因此，根據工程實際應用情況、文獻[5,15]以及表1相關模型技術參數，將系統仿真參數設置如表2所示。將系統仿真時間設置為1 s。在t=0處，突加一幅值為1的信號到系統上，得到如圖6所示的系統單位階躍響應曲線。

表2 系統仿真參數Tab.2 System simulation parameters

圖6 系統階躍響應圖Fig.6 System step response

由圖6可看出：系統的上升時間(振蕩輸出幅值從0.1 V上升到0.9 V所需的時間)約為0.80 ms，說明系統上升快、響應迅速；系統仿真振蕩在2 ms左右振幅最大，為最大超調量位置，超調量為63%；之后振蕩逐漸收斂，在19 ms左右振幅為0.98 V，誤差為0.02 V，小于或等于系統允許誤差0.02，說明此時系統的調整過程已完成，開始趨于穩定。因此，由仿真振蕩逐漸收斂且迅速趨于穩定，驗證了模型的準確性與系統的穩定性。

3.2 仿真對比

為進一步研究該模型的動靜態性能，本文以PID參數中的比例增益為例。在其他參數一致的前提下，調節速度比例增益參數，得到如圖7所示的不同速度比例增益Kpv條件下的仿真階躍響應曲線。

圖7 不同Kpv條件下的系統階躍響應圖Fig.7 System step response of different Kpv. (a) Step response during 0-50 ms; (b) Step response during 995-1 000 ms

由圖7(a)可以看出，隨著Kpv的增大，系統階躍響應的上升時間縮短，提取數據得出上升時間從1.03 ms縮短至0.72 ms左右，說明系統可快速到達設置點，動態響應加快。由圖7(b)可看出，隨著時間的推移，Kpv=20 Hz時的階躍響應曲線相較于 10 Hz 更接近于1，即更趨近于穩定狀態；當Kpv=30 Hz時，隨著時間的推移，階躍響應曲線呈等幅振蕩，無法趨于平穩，說明此時系統不穩定。這是由于當增益提高到一定值之后，系統的振動頻率與系統的自然諧振頻率相接近共振所導致的[5]。

實驗表明，在一定范圍內，增大速度比例增益，比則例控制作用增強，系統動態響應加快；但是當速度比例增益增大到一定值后，系統將趨于不穩定，最終將導致系統振蕩而無法使用。

4 結 論

1)現今市場上的經編機電子橫移系統多采用旋轉型伺服驅動裝置，即由伺服電動機驅動，由滾珠絲杠傳動。系統為獲得足夠的響應速度而采用速度控制模式，為不影響反饋精度而采用伺服電動機軸端的編碼器作為系統位置、速度的反饋輸入。

2)經編機電子橫移系統屬于伺服進給系統，其整體控制模型由伺服驅動和電動機數學模型、信號反饋與調節數學模型、機械傳動機構數學模型三者依據傳遞函數的輸入輸出關系整合而成。采用MatLab/Simulink對電子橫移系統進行仿真驗證，通過向系統輸入單位階躍信號，由階躍響應仿真振蕩收斂且迅速趨于穩定，驗證了模型的準確性和系統的穩定性。

4)在保證系統其他參數一致的前提下，通過輸入不同的速度比例增益得出：在一定范圍內增大速度調節器的比例增益有利于加快電子橫移系統的動態響應性，但是比例增益過大會使系統的振動頻率與自然諧振頻率相接近而導致系統振蕩不穩定。

FZXB

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