一種改進(jìn)的小波尺度相關(guān)閾值去噪方法*

袁偉家，劉雨東，翟春平

0 引 言

聲波在水中具有比電磁波更遠(yuǎn)的傳播距離，使得水聲信號(hào)應(yīng)用范圍廣泛。聲信號(hào)通過聲吶（換能器）發(fā)出，以實(shí)現(xiàn)水下目標(biāo)識(shí)別，如水雷探測(cè)定位、目標(biāo)跟蹤以及通訊等功能。由于海洋信道復(fù)雜多變，海洋背景噪聲和信號(hào)在采集、傳輸、接收甚至傳輸中的電路震蕩，都會(huì)不可避免地引入噪聲，使得接收聲信號(hào)產(chǎn)生畸變和失真，因此信號(hào)具有非平穩(wěn)特性[1]。噪聲的出現(xiàn)影響了信號(hào)的接收和后續(xù)處理，因此必須對(duì)噪聲加以抑制。傳統(tǒng)的去噪方法有低通濾波去噪、FFT去噪[2]等。FFT去噪不能實(shí)現(xiàn)時(shí)域細(xì)分，且難以檢測(cè)到局域突變信號(hào)，導(dǎo)致去噪的同時(shí)部分有用信號(hào)的信息也會(huì)損失。傳統(tǒng)去噪算法通常不能將處于同頻帶的信號(hào)和噪聲區(qū)分開，而小波分解能夠克服這一局限[3]。在小波去噪領(lǐng)域，Donoho[4]提出的閾值去噪法得到了實(shí)際應(yīng)用，但硬閾值函數(shù)在λ處不連續(xù)，導(dǎo)致小波分解系數(shù)重構(gòu)時(shí)出現(xiàn)偽吉布斯（Pseudo-Gibbs）效應(yīng)，從而使信號(hào)失真、震蕩或圖像信號(hào)模糊。而軟閾值函數(shù)一階可導(dǎo)整體具有較好的連續(xù)性，但存在固定的偏差。劉娟花[5]等人比較了小波基和閾值選取規(guī)則，提出了一種改進(jìn)的去噪算法，取得了一定效果。為達(dá)到更高的信噪比，降低有用信號(hào)的信息損失，很多學(xué)者將注意力集中到小波系數(shù)的相關(guān)性上，如小波尺度內(nèi)相關(guān)算法[3]和尺度間相關(guān)算法[6-7]利用信號(hào)與噪聲在不同尺度模型的相關(guān)性去噪，提升了算法性能，但也增加了巨大的計(jì)算量。

針對(duì)上述缺陷，本文在小波變換基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的小波尺度相關(guān)閾值去噪法。采用空域相關(guān)算法能夠保留信號(hào)突變處的信息[8]，捕捉水聲信號(hào)多尖峰的特征，同時(shí)采用小波變換克服信號(hào)非平穩(wěn)的特性。

1 算法原理

1.1 二進(jìn)制離散小波變換

連續(xù)小波函數(shù)[9]的一般形式為：

式中，b∈R，a∈R+，且a≠0，Φa,b(t)滿足容許性條件[10]。為簡便起見，總限制a取正值。相應(yīng)地，容許性條件變?yōu)椋?/p>

將b1進(jìn)一步歸一化處理，得到：

一般情況下，離散小波函數(shù)有：

而離散化小波變換系數(shù)為：

其重構(gòu)公式為：

1.2 相關(guān)去噪算法

相關(guān)去噪法利用信號(hào)和噪聲在不同尺度間相關(guān)性不同的特點(diǎn)，將相鄰尺度的小波系數(shù)做相關(guān)處理，然后根據(jù)相關(guān)程度決定是否保留小波系數(shù)，再重構(gòu)信號(hào)達(dá)到去噪目的[11]。相關(guān)去噪法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)信噪比高的信號(hào)去噪效果較好，對(duì)信號(hào)邊沿保護(hù)較好，且不會(huì)產(chǎn)生閾值法的邊緣過于平滑和Gibbs現(xiàn)象。缺點(diǎn)在于，若計(jì)算相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)偏移量較大，則相關(guān)系數(shù)受影響，將對(duì)大尺度相關(guān)系數(shù)的計(jì)算帶來更大誤差，且需要迭代運(yùn)算，不僅計(jì)算量大，而且需要預(yù)估噪聲的方差來確定迭代終止條件。

設(shè)帶噪信號(hào)長度為l，分解層數(shù)為j，則w( j,n)表示分解后第j層第n點(diǎn)的小波系數(shù)。依次從各層小波系數(shù)中選取一段不包含信號(hào)的噪聲（通常選取開始的一段）長度記為l1，并估計(jì)噪聲的方差δn，將相鄰尺度的小波相關(guān)系數(shù)歸一化處理，將其絕對(duì)值與當(dāng)前尺度的小波系數(shù)作比較。若絕對(duì)值較大，則認(rèn)為是由信號(hào)引起的，將轉(zhuǎn)移原系數(shù)并置零處理；否則，保留原系數(shù)，直到原系數(shù)的能量接近于噪聲能量為止。

具體步驟如下：

（1）對(duì)帶噪信號(hào)進(jìn)行二進(jìn)制離散小波變換；

（2）求相鄰尺度的小波系數(shù)的相關(guān)系數(shù)Cw(j,n)（最后一層不做相關(guān)處理），并作歸一化處理；

（4）重復(fù)步驟（3），直到該尺度內(nèi)滿足：

其中，Pw(j,n)為w( j,n)的功率，定義w( j,n)與w( j+1,n)的相關(guān)系數(shù)為cor( j,n)，則：

其中：

1.3 閾值函數(shù)

1.3.1 硬閾值去噪

硬閾值去噪由Donoho提出，思路如下：

（1）對(duì)含噪信號(hào)做小波變換，得到對(duì)應(yīng)小波系數(shù)w( j,n)。

（2）閾值函數(shù)為：

其中δ為噪聲功率，N為小波變換點(diǎn)數(shù)。若|w( j,n)|≥T，保留原系數(shù)；否則，置零處理。

（3）將采用閾值處理過的小波系數(shù)重構(gòu)，即為去噪后的信號(hào)，具體表達(dá)式如下：

1.3.2 軟閾值去噪

在硬閾值基礎(chǔ)上將較大的小波系數(shù)做收縮處理，得到：

圖1 軟硬閾值函數(shù)的比較

硬閾值處理使得信號(hào)不連續(xù)[12]，采用軟閾值函數(shù)處理后的信號(hào)相對(duì)于硬閾值更加平滑，但也由于對(duì)較大的小波系數(shù)進(jìn)行了收縮處理而帶來了偏差，使得信號(hào)丟失了某些特征。

1.4 改進(jìn)的相關(guān)閾值去噪算法

若帶噪信號(hào)長度為l，分解層數(shù)為j，估計(jì)噪聲的方差為δn，小波分解點(diǎn)數(shù)為N，根據(jù)式（14）求得全局閾值T，由式（11）計(jì)算第j層小波系數(shù)w( j,n)與第j+1層小波系數(shù)w( j+1,n)的相關(guān)系數(shù)，并歸一化得到co( j,n)。設(shè)改進(jìn)新閾值變量為λ，其中：

相比于常規(guī)閾值函數(shù)去噪法，此處相關(guān)系數(shù)當(dāng)信號(hào)與噪聲幅度相近時(shí)，不會(huì)將信號(hào)作為噪聲去除，保證了小波系數(shù)的有效性。在此基礎(chǔ)上引入軟閾值進(jìn)行去噪，改進(jìn)的軟閾值函數(shù)必須滿足條件：當(dāng)小波系數(shù)趨近于λ時(shí)，閾值函數(shù)w—( j,n)趨近于w( j,n)或0。

閾值函數(shù)w—( j,n)關(guān)于w( j,n)為增函數(shù)，且逐漸遞增時(shí)趨近于w( j,n)。

基于上述理論，設(shè)計(jì)閾值函數(shù)公式為：

此閾值函數(shù)具有連續(xù)性，且在|w( j,n)|≥λ時(shí)高階可導(dǎo)。相關(guān)系數(shù)的引入，使得信號(hào)成分進(jìn)一步加強(qiáng)，而噪聲成分得到削弱，并減少了有效信號(hào)缺失的狀況。此外，可調(diào)節(jié)參數(shù)M的引入，使得去噪函數(shù)適應(yīng)各種情況。當(dāng)信噪比較大時(shí)，可以適當(dāng)加大M值，范圍通常設(shè)定在0.1～1。

2 結(jié)果比較

選取一段正弦波信號(hào)并加入噪聲，使得信噪比SNR=5 dB。采用相關(guān)法和改進(jìn)的相關(guān)閾值函數(shù)法對(duì)含噪信號(hào)去噪處理，并計(jì)算信噪比。小波分解至5層，采用sym8小波基，結(jié)果如圖2所示。

選取水聲信號(hào)中的聲信標(biāo)信號(hào)作為仿真模型，其特征為高頻窄脈沖。使用Matlab構(gòu)造仿真信號(hào)，信號(hào)長度l=10 s，頻率fs=37.5 kHz，周期T=1 s，波形為正弦波，加噪后信噪比為0 dB。同樣，小波分解至5層，采用sym8小波基仿真，結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖2 兩種算法去噪情況比較

圖3 原始信號(hào)和加噪信號(hào)

圖4 去噪后的信號(hào)

通過對(duì)比可以看出，相關(guān)去噪法去噪后依然保留了很多尖刺，起伏較大，而改進(jìn)的相關(guān)閾值去噪法去噪明顯，波形較為平滑。為進(jìn)一步說明去噪效果，對(duì)上述兩種信號(hào)去噪前后的信噪比和均方誤差進(jìn)行了比較，結(jié)果如表1、表2所示。

表1 兩種去噪方法去噪效果對(duì)比

從表1可以看出，改進(jìn)相關(guān)閾值法均方誤差更小，能夠穩(wěn)定提高信噪比，效果優(yōu)于常規(guī)相關(guān)去噪法，而相關(guān)去噪法在提高信噪比的同時(shí)，甚至出現(xiàn)了均方根誤差不穩(wěn)定的情況。此外，通過調(diào)整可調(diào)因子M值（如表2所示）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)設(shè)定值M在0.1～1，算法具有較好且穩(wěn)定的性能。因此，所提出的改進(jìn)相關(guān)閾值函數(shù)去噪法優(yōu)于常規(guī)相關(guān)去噪法。

表2 可調(diào)因子去噪效果分析

聲信標(biāo)信號(hào)為f=37.5 kHz的脈沖信號(hào)，周期T=1 s。選取一段海底深度1 900 m的聲信標(biāo)信號(hào)進(jìn)行去噪處理，結(jié)果如圖5所示。

圖5 聲信標(biāo)數(shù)據(jù)處理消噪結(jié)果

從圖5可以看出，深度1 900 m的聲信標(biāo)信號(hào)已被噪聲完全湮沒，且不能直接分辨出信號(hào)。經(jīng)本文所提方法處理后，抑制了部分噪聲，改善了信噪比，為后續(xù)處理步驟奠定了基礎(chǔ)。

3 結(jié) 語

基于常規(guī)小波空域相關(guān)算法的優(yōu)勢(shì)，本研究利用多尺度間小波系數(shù)相關(guān)性，結(jié)合軟閾值去噪算法原理，提出了一種新型相關(guān)閾值去噪方法。經(jīng)仿真分析，本研究提出的改進(jìn)算法去噪效果優(yōu)于常規(guī)小波空域相關(guān)去噪算法，能在最大程度保留原信號(hào)小波系數(shù)，同時(shí)平滑信號(hào)，且信號(hào)邊沿信息完整，具有更高的信噪比和更小的均方根誤差。因此，所提去噪方法非常適用于水聲信號(hào)的去噪。

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