基于函數(shù)背景，探尋合理轉(zhuǎn)化

李凈

函數(shù)的零點(diǎn)問題作為高考填空題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，常常作為小題壓軸出場.一方面，函數(shù)的零點(diǎn)問題涉及的知識(shí)點(diǎn)眾多，與函數(shù)的圖象與性質(zhì)、零點(diǎn)存在定理、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)都有著千絲萬縷的聯(lián)系，綜合性很強(qiáng)；另一方面，此類問題的設(shè)置常常考查同學(xué)們轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，需要準(zhǔn)確理解題意，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}.

那么如何選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法？可以從分析問題的函數(shù)背景入手，探尋題目的隱含條件，通過靈活的條件轉(zhuǎn)化，化歸為更簡單、更熟悉的問題，指向求解的目標(biāo).

解析 函數(shù)背景：兩個(gè)基本初等函數(shù)的和? 由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得g（x）=1nx+x-1為增函數(shù).

問題轉(zhuǎn)化：函數(shù)有唯一零點(diǎn)? 方程f（x）=0有唯一解

解析 函數(shù)背景：分段函數(shù)? 分類討論、數(shù)形結(jié)合，

含絕對(duì)值的函數(shù)? 利用變換法繪制函數(shù)的圖象，

兩個(gè)基本初等函數(shù)的和? 通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，生成圖象.

問題轉(zhuǎn)化：方程|f（x）+g（x）|=1的解? y=|f（x）+g（x）|與y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

目標(biāo)定位：方程的實(shí)根個(gè)數(shù)? 兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析 函數(shù)背景：抽象函數(shù)、基本初等函數(shù)?結(jié)合圖象研究性質(zhì).

函數(shù)的零點(diǎn)問題常常考查零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、分布和數(shù)值等問題.解決這些問題主要有三大思路：解出來、畫出來和證出來，分別對(duì)應(yīng)于求普通方程和特殊的（可猜根）超越方程的解；畫出函數(shù)的圖象研究其交點(diǎn)；使用零點(diǎn)存在定理證明零點(diǎn)的存在性.通過上述5個(gè)問題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，不同背景的函數(shù)關(guān)聯(lián)著不同……