基于Magic Formula輪胎模型的動力學試驗與建模技術研究

周波 錢留華 李衡

摘要：輪胎特性是研究汽車動力學的基礎，特別是輪胎的側偏特性對汽車的操縱穩定性有著非常重要的影響。而實際應用過程中，由于缺乏輪胎動態力學特性試驗及建模技術的研究，輪胎模型參數往往難以獲得。本文應用Magic Formula輪胎模型建模方法，從輪胎動態力學特性試驗、輪胎模型參數辨識和模型的精度驗證等方面開展了深入研究，最終建立了Magic， Formula輪胎模型。并通過相關的仿真與試驗研究，驗證了該模型的精度及其在極限工況下的仿真能力。

關鍵詞：Magic Formula輪胎模型;輪胎動力學試驗;參數辨識;精度驗證

1 前言

在汽車動力學研究中，對輪胎模型的準確描述是整車動力學分析的基礎。由于汽車行駛時，所有地而作用力都是通過輪胎作用到汽車上，因此輪胎的力學特性對汽車操縱穩定性有著非常重要的意義。特別是輪胎的側偏特性，它決定車輛操縱穩定性，影響車輛制動安全性、行駛平順性、前輪擺振和車輛側向振動等重要特性。因此在對上述車輛動力學特性的分析、仿真研究中，建立一個能夠準確描述輪胎特性的輪胎模型，其重要性和必要性是顯而易見的^[1-3]。

輪胎模型的構建一般分為兩種，一種是理論模型（物理模型），即通過對車輪結構和變形機理的數學描述，建立剪切力和回正力矩與相應參數的函數關系，較有影響的是Cim模型、Fiala模型等。輪胎理論模型是在輪胎物理結構和變形機理研究的基礎上建立的對輪胎力和力矩的數學描述，由于理論模型形式復雜，計算效率地，因此在車輛動力學研究中應用有很大困難。另一種是經驗公式或半經驗公式模型，它是通過對大量的輪胎力特性的試驗數據進行回歸分析，將輪胎力特性通過含有擬合參數的公式有效地表達出來，比較有影響的是Pacejka提出的Magic Formula（魔術公式）模型以及郭孔輝院士建立的UniTire（冪指數公式）半經驗模型。

Magic Formula輪胎模型是1987年由荷蘭Delft理工大學的Pacejka教授提出，后被稱為“魔術公式”輪胎模型，這是一個基于試驗數據的經驗輪胎模型，通過大量試驗數據擬合得到。試驗通過專用的試驗臺架或試驗車進行，這種試驗設備能夠排除次要因素，模擬出待定的輪胎行駛條件.準確地再現輪胎的各種工作情況。試驗過程中用于檢測各類數據的儀器要求很高的精度和靈敏度，并配備有功能強大的數據處理系統，從而保證試驗數據的準確可靠。Magic Formula輪胎模型只用一套公式就可完整地表達純工況下輪胎的力學特性，故稱之為“魔術公式”，其輪胎力特性的表達準確和簡潔，適應工況范圍廣，在汽車操縱動力學研究應用比較廣泛，在現今的輪胎特性描述中，魔術公式越來越占據主導地位，其擬合的精度高，并且在極限值以外的一定范圍內仍可應用，并且具有較高的置信度，適合于汽車動力學模擬、控制等領域進行理論分析和預測。因此本文采用Magic Formula輪胎模型進行具體的輪胎特性分析^[3]。

2 Magic Formula輪胎模型介紹

Magic Formula輪胎模型采用SAE標準輪胎運動坐標系，基于魔術公式的輪胎力計算輸入和輸出變量關系如圖1所示：

圖1基于魔術公式的輪胎力輸入和輸出變量關系

Magic Formula是利用三角函數來建立穩態條件下的輪胎縱向力、側向力和回正力矩模型的，只用一套公式就完整地表達了輪胎的力特性，公式表達如下：

式中，Y為側向力、縱向力或回正力矩;X為側偏角或縱向滑移率;D為峰值因子;B為剛度因子;C為曲線形狀因子;E為曲線曲率因子;為曲線水平方向漂移;為曲線垂直方向漂移。

3 輪胎動力學試驗

輪胎動力學臺架試驗對設備的精度和靈敏度要求較高，并且對于設備的操作和后期的數據處理，需要深厚的專業知識和經驗，國內汽車主機廠一般不具備輪胎動力學試驗能力。由于輪胎動力學試驗的復雜性和先進性，技術往往嚴格保密。國內個別高校和研究機構在該領域開展了較深入的研究，建立了輪胎動力學試驗和建模能力，如吉林大學、中汽研等。一些國內輪胎生產公司也逐步引入相關試驗設備，但試驗能力和數據處理方面經驗相對不足。國外相關研究開展較早，工程經驗相對成熟，如德國的FKA和北美的MTS等。

3.1 輪胎動態試驗臺架

在郭孔輝院士帶領下，吉林大學開發的平板式輪胎動態特性試驗臺，如圖2所示：

該輪胎力學特性試驗臺主要由四個系統構成，即計算機主控制系統，液壓伺服系統，機械運動系統和信號采集系統，其性能技術指標如表示：

北美的MTS輪胎動態力學特性試驗臺，如圖3所示，其性能技術指標如表2所示。

3.2 輪胎動態測試試驗

本文以某ADVANCE 305/80R20輪胎為試驗對象，進行純側偏、純縱滑、純側傾、動態垂直剛度、輪胎有效滾動半徑、復合側偏側傾、復合側偏縱滑試驗的力學特性測試及數據處理。

3.2.1 輪胎穩態側偏力學特性試驗

試驗工況描述：

l）輪胎垂直載荷（N）： 3920、7840、14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側偏角（Degree）：0、±0.5、±l、±1 5、±2、±4、±6、±8、±10

試驗結果見圖4和圖5所示：

3.2.2輪胎穩態側傾力學特性試驗

試驗工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）： 14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側偏角（Degree）：0、±2、±4、±6、±8、±10

試驗結果見圖6圖7所示：

3.2.3 輪胎穩態縱滑力學特性試驗

試驗工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）制動滑移率（一）：按設備能力做至最大試驗結果見圖8所示：

3.2.4 輪胎復合側傾側偏試驗

試驗工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側傾角（Deg）：6、--6

4）輪胎側偏角（Degree）：0、±0.5、±1、±1.5、±2、±4、±6、±8、±10

側傾角為6deg時，試驗結果見圖9和圖10所示：

3.2.5 輪胎復合側偏縱滑試驗

試驗工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側偏角（Degree）：2、4

側偏角為2deg時，結果見圖11、圖12和圖13所示。

3.2.6 輪胎動態徑向剛度試驗

試驗工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、15680、16660、17640、18620、19600、20580、21560

2）輪胎胎壓（KPa）：450

試驗結果見圖14所示：

3.2.7 輪胎有效滾動半徑試驗

試驗工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、15680、16660、17640、18620、19600、20580、21560

2）輪胎胎壓（KPa）：450

試驗結果見圖15所示：

4 輪胎動力學模型的建立

4.1 輪胎模型建立過程

根據輪胎動態試驗所得試驗數據，建立輪胎模型的主要過程，如圖16所示：

1）參數辨識：如前文介紹，Magic Formula輪胎模型是由一套數學公式來描述輪胎的力學特性，通過對大量的輪胎力特性的試驗數據進行回歸分析，將輪胎力特性通過含有擬合參數的公式有效地表達出來。輪胎模型各工況包含大量的參數因子，通常通過數據專業的數據處理軟件，將各工況下的參數因子辨識出來;

2）模型構建：由于Magic.Formula輪胎模型在行業的廣泛應用，其模型已形成標準的參數格式文件，只需將上一步辨識得到的各參數因子，按照正常的位置填人輪胎模型文件即可;

3）試驗對標：在專業分析軟件中建立虛擬輪胎試驗臺，開展相應的測試T況的仿真，將仿真結果與測試試驗結果比較，已達到模型精度驗證的目的。

其中，參數辨識過程最為重要，難度最大。由于過程復雜，通常需要具備一定的辨識經驗。

4.2 輪胎模型參數辨識

Magic Formula輪胎模型主要包含以下三組特性參數^[4]，如圖17所示：

1）力和力矩特性參數：純縱滑、純側偏和復合工況下的輪胎穩態響應，圖17中綠色部分;

2）輪胎基本屬性參數：輪胎垂直剛度、輪胎有效滾動半徑、輪胎接地印記長度寬度、松弛長度等，圖17中淺藍色部分;

3）輪胎包容特性和輪胎帶束特性參數，圖17中紅色部分。（高版本輪胎模型需求）參數辨識的基本思想，如圖18所示：

1）將試驗數據的一部分作為輸入（如垂直載荷、側偏角、側傾角、縱向滑移率、標稱載荷、自由半徑等），給定模型參數一組初值，根據輪胎模型公式，計算出輸出量（如縱向力、側向力、回正力矩等），然后求出模型輸出變量與試驗測試值之差的平方和;

2）若求出的值小于一個很小的量（用戶設定的值），則認為這組模型參數值可以很好的表達出試驗數據的，停止迭代，輸出這組模型參數值作為參數辨識的結果值;

3）若求出的值不小于這一小量，則在模型參數初始值基礎上修改模型參數，重復上一步驟，直到仿真值與試驗值之差的平方和小于設定的小量，停止迭代，將最后一組模型參數值輸出，作為參數辨識的結果值。

通常采用專業辨識軟件工具開展數據回歸，擬合出各工況下的輪胎參數因子，需要設置各待擬合參數的初始值，上下邊界值，擬合步數等。殘留標準差按下式計算。

由于輪胎模型的工況較多，每個工況待辨識的參數很多，這里不一一列舉，僅以純縱滑工況下的縱向力參數辨識為例，如圖19所示：

輪胎純縱滑工況縱向力隨縱向滑移率變化特性參數辨識結果如表3所示：

4.3輪胎模型的精度驗證

在ADAMS/Car中，集成了一個評估單個輪胎在各種激勵和其它條件下特性的試驗臺Testrig，如圖20所示。輪胎試驗臺是一個獨立的，不依附于整車或子系統的模型工具。輪胎試驗臺在某種程度上可以說是輪胎屬性文件的圖形化工具^[3]。

虛擬的輪胎試驗臺中包含有一個包含輪胎的車輪，車輪安裝在心軸上并通過彈簧、預加載的大作用力、同定高度心軸與試驗臺的平臺路面接觸。

虛擬輪胎試驗臺可以模擬輪胎實際動態測試試驗的相關工況。平臺上的路面可以是同定或運動，路面自身形態可以是平坦或有凸塊（凹坑）或通過屬性文件自定義，輪胎的運動可以增加轉角（輪胎側偏變量），輪胎自轉（縱向滑移變量），相對路面的傾角（側傾角），輪胎中心的垂直和縱向位移，初始輪胎的回轉速度和縱向速度可用輪胎屬性文件中的輪胎自由半徑計算。

將建成的輪胎屬性文件在虛擬輪胎試驗臺上開展響應工況的仿真，將仿真結果與試驗結果對標，可實現輪胎模型的精度驗證。以純縱滑工況下的縱向力試驗對標為例，如圖21所示：

5 輪胎模型的應用

為驗證輪胎模型在整車動力學仿真中的合理性，利用ADAMS進行整車操縱穩定性仿真。車輛模型的參數均為實際測得，輪胎模型是通過完成輪胎力學特性測試、參數辨識建立的Magic Formula輪胎模型。本文列舉了有代表性的開環角脈沖及閉環蛇形工況，并與整車試驗結果進行了對比，具體工況定義及仿真結果如下所示。

1）角脈沖工況

車速為80km/h，試驗時的方向盤轉角如圖22所示，車輛的橫擺角速度仿真及試驗曲線如圖23所示：

2）蛇形工況

車速為30km/h，蛇形試驗為閉環試驗，本文為驗證所建立輪胎模型的精度，將實際的方向盤轉角作為輸入，如圖24所示。車輛的側向加速度仿真及試驗曲線如圖25所示：

圖25 蛇行仿真車身質心側向加速度結果曲線

從以上整車角脈沖及蛇形工況的仿真及試驗數據對比可以看出，所建立的Magic Formula輪胎模型能很好地仿真車輛的操縱穩定性，并具有較高精度。

6 總結

本文首先介紹了Magic Formula輪胎模型的理論基礎，其次介紹了國內外具有代表性的輪胎動力學特性的試驗臺架，并結合一款具體輪胎介紹了主要輪胎測試工況;根據Magic Formula輪胎模型的建模方法，結合輪胎模型參數辨識和輪胎模型精度驗證等手段，建立了Magic Formula輪胎模型。最后，將建立的輪胎模型進行了整車操縱穩定性典型工況下的仿真分析，通過與試驗數據的比較，驗證了所建輪胎模型的合理性和精度。

通過在輪胎動力學試驗與建模技術方面的研究工作，掌握了建立輪胎模型的一般方法和主要流程，對Magic Formula輪胎模型有了較為深入的理解。然而，由于輪胎動力學學科本身的技術復雜性，以及缺少輪胎測試臺架等條件，對輪胎模型的研究還比較有限，進一步工作主要針對適用于平順性、耐久性分析的高頻輪胎模型開展研究，以拓展車輛動力學中輪胎模型的應用領域，提升車輛性能仿真的精度。

參考文獻：

[1]郭孔輝汽車操縱動力學[M].長春：吉林科學技術出版社.1991.

[2]郭孔輝，管欣汽車性能設計技術的進展[J].中國機械工程，1997，8（1）94-96.

[3]盧蕩輪胎動態側偏特性建模及對汽車操縱穩定性的的影響[D].長春：吉林大學汽車工程學院2003.

[4]ADAMS 2017 help. Tire Models. Using the PAC2002 Tire Model. Basics of the Magic Formula in PAC2002.

[5]ADAMS 2017 help. Adams Tire Tools. Tire TestRig.