山地高速公路測繪中獨立坐標系統的選建研究

于亞杰

(河北省第二測繪院，河北 石家莊 050031)

1 引 言

隨著國民經濟建設的不斷發展，越來越多的高等級公路通向了山區。特別是海拔高、落差大的高山區高速公路路線測繪中，坐標系統的選擇尤為重要。在高山區坐標系統和高精度平面控制網的選建過程中，平面控制測量的觀測數據要求進行方位角和距離高斯投影及高程歸化的歸算，其中前者兩項歸算很小，可忽略不計，作業中一般主要考慮后者的兩項歸算。GPS的WGS-84大地坐標系統轉換到所選平面坐標系時，應使測區內投影長度變形值不大于 2.5 cm/km，根據測區所處地理位置及平均高程情況，選定坐標系統[1，2]。本文以京化高速公路(張家口段)1∶2 000地形圖航空攝影測量中坐標系統的選建為例，探討了山區高速公路工程項目中關于投影帶、投影面的選取及坐標轉換的問題。

2 長度變形分析

2.1 地面長度歸算到參考橢球面上的變形

在控制網的實測邊長D歸化至參考橢球面時，其長度將縮短△D，若地球平均曲率半徑為R，Hm為測距邊兩端點對參考橢球面的大地高平均值(測距邊兩端點對投影面的高程平均值)，則有下列近似關系[5，6]：

(1)

2.2 參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形

橢球體上的邊長S投影至高斯平面，其長度將伸長△S，該邊長兩端點平均橫坐標值為ym，則有如下近似關系式[5，6]：

(2)

2.3 地面邊長歸算到高斯投影面的綜合變形值計算

以上兩項如果不能完全抵償而容許有一個殘余的差數VS，則其相對差數為：

(3)

(4)

由此可算得抵償帶的高程和相應的橫坐標區間。式(4)中ym為長度變形≤1/40000的橫坐標區間，ym與Hm單位均為km。根號內的“±”表明測距邊的高程歸化值可以比高斯改化值小，也可以比高斯改化值大。由式(4)可得：

由表1可知：對于一定的高程只存在一定的抵償地帶，其東西寬度隨高程的增加而愈來愈狹窄，測繪的區域往往不可能正好在這一范圍內。可見人為的改變歸化高程來使它們與高斯投影的長度改化相抵償，便能很好的解決高海拔地區投影長度變形值超限的問題[7，8]。以本項目為例，獨立坐標系統選擇了投影于抵償高程面上的高斯正形投影任意帶平面直角坐標系的方法建立，中央子午線的選擇具有任意性，只要使投影面抬高，接近測區平均高程值，使各控制點的高程相對于投影面高程差值在 ±l59.26 m內即可(當12742Hm-2029=0即Hm=159.26 m時，長度變形值剛好為1/40000)。

長度變形≤1/40000的橫坐標區間的計算 表1

3 獨立坐標系的建立

3.1 構建獨立坐標系的方法

獨立坐標系的建立通常采用兩種方法，第一種采用抵償高程面作為投影面，中央子午線依然采用國家3°分帶中央子午線；第二種以測區中心為中央子午線位置，取測區平均高程面或者略低于測區平均高程面(考慮到高程異常，同時也是盡可能的抵償較大的測區范圍)的某一高程面作為投影面。

京化高速公路(張家口段)1∶2 000地形圖航空攝影測量中坐標系統的選建采用了第二種方法，是因為該方法應用于線狀工程，特別是測區范圍相對較小(該測區東西長約 63 km)，地勢起伏過大的地區是最合適的。

3.2 地方投影帶中央子午線L0的選擇

在測區內或測區附近選擇一條整5′或整10′的子午線作為中央子午線。本項目選擇了近似測區中央位置的經線114°30′。經計算得知，若不考慮高程歸化，中央子午線經過測區中央時可控制東西方向各 45 km，總長度 90 km的范圍。

3.3 抵償高程投影面H抵的選擇

抵償高程投影面一般選測區平均高程面H平，或稍低一點，H抵取至 10 m整即可。當12742Hm±2029=0時，即Hm=±159.26 m，根據上文分析可知在只考慮高程歸化的情況下，測區內任何一個位置與測區投影面高程的高差允許值不能超過 ±159.26 m。以本項目為例，測區海拔最高處 1 028 m，最低處 723 m，落差達 305 m，測區平均高程H平=860 m。由式(1)、式(2)可得：

(5)

H為測區平均高程H平與抵償面高程H抵之差，即H=H平-H抵。則有

(6)

由于中央子午線在測區中央，采用ym即橫坐標中數計算H值不合適，因此分別以東西兩側的橫坐標(ymax，ymin)得到(Hmax，Hmin)，取中數即可得H值[9，10]。

(7)

以本項目為例，ymax=32.4(km)，ymin=-30(km)，得H=77 m，可知，H抵=783 m，通過將控制網各點無約束平差成果的大地高與對其進行四等水準測量的高程成果比較，測區的平均高程異常為 14 m，可知抵償高程面的大地高可近似為 800 m，該抵償面也只能控制與其落差 ±159.26 m以內的區域，但是測區海拔最高處到該高程面的距離為 228 m，超出抵償范圍，因此，在測區高程落差過大的情況下，可以考慮選擇兩個抵償高程面進行計算。本例中，H抵+159.26 m=959.26 m，加上高程異常值后投影面大地高為 973.26 m，可取投影面大地高為 970 m或高出 159.26 m以內任意整數即可，本項目選擇了投影面大地高為 1 000 m。根據測距邊所在高程范圍選擇不同投影面下的成果，同樣可滿足全線施工放樣的精度要求。

3.4 坐標轉換

首先將本測區已知點坐標通過高斯換帶計算，換算成中央子午線為L0的地方帶坐標系內的坐標，然后進行投影面坐標的轉換。投影面坐標的轉換采用橢球膨脹法實現，即保持參考橢球扁率不變，伸縮其長半軸，使觀測地點的平均高程面與采用的橢球面相切。本項目采用武漢大學測繪學院研發的CosaGPS 5.20進行換帶計算及投影面坐標的轉換。該軟件提供了三種橢球膨脹法的計算方式，本實例采用的是改變參考橢球的長半徑a，不改變參考橢球的扁率α，以獨立坐標投影面的大地高△H作為長半徑的變化量，即a△H=a+△a，△a=△H，△e2=0。先將原平面坐標進行高斯反算，得到原橢球的大地坐標，在獲得新橢球的參數后，求得新橢球對應的大地坐標的轉換量dB，dL，dH，于是就得到新橢球下的大地坐標，進而再以新橢球為投影進行高斯正算，即可得到該投影面下的坐標成果[11]。

3.5 結果與驗算

在本項目中，通過采用全站儀對測區海拔最高、最低以及測區兩邊的邊長進行實地測量，邊長計算值與測量值較差最大為 1.5 cm，最小為 0.6 cm。如表2所示：

計算變長與實地測量邊長比較 表2

由于在同一地區高程是有變化的，且y也在ymax、ymin間變動，抵償高程面使長度變形完全抵償是不可能的，其變形只要滿足規范要求就可以。

4 結 論

4.1 一般要求

為保證成果統一性，應盡量采用國家標準分帶建立坐標系，當測區中心位置位于統一分帶中央子午線附近且平均高程面與國家參考橢球面相差不大，建議直接采用國家標準分帶坐標系。

4.2 任意帶高斯投影直角坐標系適用范圍

采用任意帶高斯投影直角坐標系時，如果測區平均高程不大，可以選擇測區中部(或測區范圍內)的一條經線作為中央子午線，可以保證高斯改化值較小，且東西抵償范圍較寬；但是對于海拔較高的山區，采用此種方法建立坐標系時，由于高程歸化值過大，從而導致綜合變形值較大，抵償范圍將大大減少，尤其是線狀工程，不推薦適用。

4.3 抵償投影面坐標系適用范圍

4.4 綜合法適用范圍

采用綜合法時，即具有抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標系，應選擇測區中心經線作為中央子午線，目的是將投影變為“對稱投影”，同時選擇測區平均高程面或者略低于平均高程面作為投影面，可增大抵償帶寬。經計算，當投影面選在低于平均高程面 159 m時，極限帶寬甚至可達 127 km。

總之，高速公路測繪中投影帶和投影面的合理選擇，是建立高精度平面控制網的重要組成部分，即便在高程落差大的測區同樣可以使長度變形值滿足規范要求，這就要求我們根據設計要求，通過變換中央子午線位置與投影面高程值來實現。

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