神秘的非歐幾何

“怎樣測量角度更準確呢？”浩天思考了一下，“有了！我在紙上畫一個三角形，把三個角剪下來拼在一起，看看是不是一個平角。”

“這不就是一個平角嘛！”浩天得意地將拼好的圖給鵬飛。

鵬飛笑瞇瞇地看著浩天，沒有正面回答，卻拿出一張中國地圖指著說：“如果我們要估算東南部那幾個省的陸地面積，怎么做？”

“這簡單，”浩天一邊在地圖東南區域畫了個圓，一邊講，“據目測，這幾個省的面積與此圓大致相等。因此我們只要測量一下它的半徑r，再用地圖上的比例k換算成真實的半徑R真=kr，那么S真=πR真2=πk2r2。”

鵬飛提高嗓門說：“不要忘了，我們是生活在地球上！”

鵬飛點了點地圖，說道：“如果把我們中國版圖近似看作一個三角形，這三角形的內角和還是π嗎？其面積又是多少呢？”

“球面上的‘直線，也就是兩點之間的最短線，實際是球的大圓。”浩天也畫了個示意圖，“這個△ABC 的內角和α+β+γ>π。作為一個特例，這三角形也可能是由三個相互垂直的大圓圍成，其內角和就是 π了。可面積怎么求啊？”

鵬飛畫了一個球面講解道：“我們看半徑為R的球面上由兩個大圓所夾的這部分‘西瓜皮（青灰色部分）。設兩大圓夾角為θ，由于球面積S=4πR2，這塊‘西瓜皮的面積與θ成正比，其面積為S'= S =2θR2 。

對于剛才你畫的△ABC ，我們將半圓弧ABA'和半圓弧ACA'所圍成的區域面積稱作SA，則

SA=S△ABC+S△A'BC = 2αR2

同理也有

SB=S△ABC+S△AB'C = 2βR2

SC=S△ABC+S△ABC' = 2γR2

因為△ABC'和△A'B'C 關于球心對稱，所以它們全等，面積當然相等：

S△ABC'=S△A'B'C

又由于上述三角形中的四個可以拼成半個球面：

S△ABC+S△A'BC+S△AB'C+S△A'B'C=2πR2

所以根據以上5個方程，可以解出：S△ABC = （α+β+γ-π）R2

這就是球面三角形面積公式。其中σ = α+β+γ-π 是內角和減去 π 的差，稱作角余。可見在半徑為R的球面上，球面三角形面積與 σ 成正比，面積越大的三角形內角和也越大，比例系數就是球面曲率半徑 R 的平方。”

浩天長舒了一口氣：“球面三角形內角和大于π，歐幾里得的平面三角形內角和等于π，而之前我們證明了三角形內角和可以小于π，這內角和小于π的三角形去哪兒找啊？”

鵬飛：“一條拋物線沿另一條凹口反向的拋物線移動所掃過的曲面是個馬鞍形的雙曲拋物面，它上面的三角形內角和就小于π，其角余是個負值，也叫角虧，這個三角形的面積也是與角余成正比，即 S =σR2。”

浩天：“那這個三角形面積是負值啊？”

鵬飛：“曲面的曲率半徑R是這樣統一規定的——在曲面上某點相互垂直的方向上畫這樣兩條測地線，其中一條線的曲率半徑為最大，記作R1，另一條線為最小，記作R2，則R1R2=R2。

對于球面不難看出這定義的正確性，但對于雙曲拋物面，R2與R1方向相反，一正一負，R1R2就是個負數，所以這個雙曲拋物面的曲率半徑R的平方為負值（R是個虛數），而角余 σ 也是負值，所以三角形的面積還是正的。”

“哈哈，歐幾里得的平面三角形……”浩天突然笑了，“角余是0，那是不是所有平面三角形面積都是0啊？”

鵬飛：“平面的曲率半徑是無窮大。任意一個數與無窮大之比是多少？”

“ =0啊！”

“那么0與無窮大相乘是多少？”

“可以等于任意的值。”浩天大悟，“我們在任意曲面上畫一個足夠小的三角形，它的 σ 也是夠小，它可近似為歐幾里得平面三角形，其內角和非常接近π，但大三角形就不好說了。”

那么，我們這個宇宙中的三角形內角和到底是哪一種呢？endprint