用表格法解決初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的研究實(shí)踐

徐 妍

（廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)中學(xué)，廣東 中山）

一、問(wèn)題的提出

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題是學(xué)生普遍感覺(jué)到難的問(wèn)題。筆者曾做過(guò)調(diào)查，兩個(gè)班90名學(xué)生，愿意做應(yīng)用題的不超過(guò)20人，喜歡做的更是少之又少。有些學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)對(duì)應(yīng)用題產(chǎn)生畏懼心理，看到較多文字就已感到束手無(wú)策。很多人只是通讀文字而不能理解意思。升入初中后，由于應(yīng)用題的難度逐漸提高，隱含的邏輯關(guān)系更加復(fù)雜，再加上初中理解應(yīng)用題的一般方法是設(shè)未知數(shù)、列方程，這就更使得學(xué)生感到極大的不適應(yīng)，對(duì)應(yīng)用題的畏懼感也與日俱增。具體表現(xiàn)為：①設(shè)未知數(shù)時(shí)，用未知數(shù)來(lái)表示相關(guān)量不熟練；②抓不住等量關(guān)系；③找出等量關(guān)系后又不會(huì)列方程；④分析問(wèn)題時(shí)，缺乏整體意識(shí)等。

二、研究實(shí)踐

1.研究設(shè)計(jì)

（1）研究界定

表格法：就是通過(guò)列表理清有關(guān)列方程（組）解應(yīng)用題的題目中的各條件和各數(shù)量之間的關(guān)系，從而幫助解題者審清題目的一種方法。表格由M行N列所組成，而其中每格中的數(shù)據(jù)可稱(chēng)為表格中的元素。表格具有簡(jiǎn)潔、直觀、系統(tǒng)和有趣的優(yōu)點(diǎn)，能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，對(duì)比性強(qiáng)，一目了然。

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題：應(yīng)用題是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活實(shí)踐的題目。應(yīng)用題一直都是數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)和難點(diǎn)，目前教學(xué)大綱對(duì)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力提出了較高的要求。我們將研究范圍限定于初中學(xué)段的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

（2）研究方法

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法、實(shí)驗(yàn)法、個(gè)案研究法。

2．研究實(shí)施

（1）表格建模

基于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法，將初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題歸類(lèi)，進(jìn)行表格建模。得到表1。

匹配問(wèn)題：物品一 物品二每數(shù)共調(diào)配問(wèn)題：情況一 情況二原有調(diào)配現(xiàn)有積分問(wèn)題：情況一 情況二勝負(fù)平總計(jì)

表1 初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的七類(lèi)應(yīng)用題表格模型

（2）表格法應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

選取任教的兩個(gè)班級(jí)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，前測(cè)分?jǐn)?shù)均值基本相當(dāng)，可以認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)水平基本相當(dāng)，一個(gè)班為實(shí)驗(yàn)組，另一個(gè)班為對(duì)照組。教學(xué)內(nèi)容為初中數(shù)學(xué)的典型應(yīng)用題，教學(xué)結(jié)束進(jìn)行后測(cè)。

表格模型的應(yīng)用步驟分兩步：

一審題，確定本題屬于哪一類(lèi)型題目，包括行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、匹配問(wèn)題、調(diào)配問(wèn)題、積分問(wèn)題。

二填表，先填上已知關(guān)系量、再確定設(shè)未知量，然后表示其他相關(guān)量，并找出已知條件中表示等量關(guān)系的一個(gè)語(yǔ)句，列出方程，將表格填寫(xiě)完整。

（3）表格法應(yīng)用法則

筆者和學(xué)生一起總結(jié)出了“三二一”法則。以下列舉“三二一”法則的應(yīng)用。

例1行程問(wèn)題：某班的學(xué)生到距學(xué)校15千米的地方秋游，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，40分鐘后，其余學(xué)生乘汽車(chē)去，結(jié)果同時(shí)到達(dá)，已知汽車(chē)的速度是自行車(chē)的三倍，求汽車(chē)的速度。

三個(gè)量：路程、速度、時(shí)間。

兩種情況：乘汽車(chē)的學(xué)生、騎車(chē)的學(xué)生。

一個(gè)等量關(guān)系：騎車(chē)學(xué)生的時(shí)間－乘汽車(chē)學(xué)生的時(shí)間＝40分鐘。

將找到的“三二一”填入表格并完善。（設(shè)騎車(chē)速度為x）

表2 表格法應(yīng)用示例1行程問(wèn)題

根據(jù)等量關(guān)系得到：15/x－15/（3x）＝2/3。

例2工程問(wèn)題：一件工作，甲單獨(dú)做6小時(shí)完成，乙單獨(dú)做12小時(shí)完成，丙單獨(dú)做18小時(shí)完成，若先由甲、乙合做3小時(shí)，然后由乙丙合做，問(wèn)乙丙還需幾小時(shí)完成。設(shè)乙丙還需x小時(shí)完成。

三個(gè)量：工作量、工作效率、工作時(shí)間。

鑒于不同模式的矩陣對(duì)環(huán)境有不同的適應(yīng)性和選擇性，必須要從職責(zé)分工、系統(tǒng)支持和團(tuán)隊(duì)文化等方面進(jìn)行密切配合。①明確總體、專(zhuān)冊(cè)所在專(zhuān)業(yè)處及專(zhuān)業(yè)室、設(shè)計(jì)院總部和專(zhuān)業(yè)處副總工程師的職責(zé)分工，強(qiáng)調(diào)總體在數(shù)據(jù)管理、計(jì)劃編制和執(zhí)行管理，以及進(jìn)度控制方面的職責(zé)，并在生產(chǎn)指揮上給總體以充分授權(quán)，全力維護(hù)總體指令的權(quán)威；②加強(qiáng)勘察設(shè)計(jì)信息化建設(shè)，保證總體能夠?qū)υO(shè)計(jì)計(jì)劃、設(shè)計(jì)流程、設(shè)計(jì)任務(wù)與人員的匹配、設(shè)計(jì)資料互提等進(jìn)行全過(guò)程管控，努力實(shí)現(xiàn)各專(zhuān)業(yè)網(wǎng)上協(xié)同設(shè)計(jì)和管理信息化；③培育開(kāi)放式的內(nèi)部文化，倡導(dǎo)各專(zhuān)業(yè)處及專(zhuān)業(yè)室之間、總體組內(nèi)部建立良好的橫向溝通協(xié)作文化，為總體開(kāi)展優(yōu)質(zhì)高效的溝通奠定基礎(chǔ)。

兩種情況：甲乙合作、乙丙合作。

一個(gè)等量關(guān)系：工作量之和等于1。

表3 表格法應(yīng)用示例2工程問(wèn)題

根據(jù)等量關(guān)系得到：3（1/6+1/12）+（1/12+1/18）x＝1。

例3匹配問(wèn)題：某車(chē)間28名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘12個(gè)或螺母18個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母。為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母？

設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)墓と藬?shù)為x。

三個(gè)量：每名工人生產(chǎn)數(shù)量、工人數(shù)、總生產(chǎn)數(shù)。

兩種情況：螺釘、螺母。

一個(gè)等量關(guān)系：螺母數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍。

表4 表格法應(yīng)用示例3匹配問(wèn)題

（4）表格法應(yīng)用效果

將測(cè)試分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，講授了表格法的實(shí)驗(yàn)組與未講授表格法的對(duì)照組分?jǐn)?shù)存在顯著差異，實(shí)驗(yàn)組平均分明顯高于對(duì)照組。選取A班中的某生C講授表格法前后分?jǐn)?shù)也有明顯差異，前三次測(cè)驗(yàn)平均分81.67，后三次平均分94.0，提高了12分。學(xué)會(huì)表格法解應(yīng)用題之后，面對(duì)應(yīng)用題測(cè)試，學(xué)生變得明顯輕松自信，效果明顯。實(shí)驗(yàn)證明，學(xué)生應(yīng)用表格法能夠比較快樂(lè)地、高效地解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題，收效良好，很好地突破了這個(gè)難點(diǎn)。

表5 A班某生C應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)成績(jī)

（5）表格法應(yīng)用小結(jié)

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，表格法的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：

①幫助學(xué)生讀題，攻破“題意關(guān)”。

應(yīng)用題一般涉及的數(shù)量關(guān)系較多，關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生有時(shí)讀了很多遍題，仍覺(jué)大腦一片空白，不知所云。通過(guò)列表，學(xué)生可將題目背景中所涉及的已知數(shù)量和未知數(shù)量進(jìn)行梳理，并將其分門(mén)別類(lèi)，展示在表格中，讓學(xué)生對(duì)題目的中心思想有一個(gè)準(zhǔn)確的把握，攻破“題意關(guān)”。

②幫助學(xué)生分析，攻破“思路關(guān)”。

列出表格后，下一步重要工作就是要將相關(guān)數(shù)量用代數(shù)式表示出來(lái)。學(xué)生會(huì)將題中的已知數(shù)量直接填寫(xiě)在表格內(nèi)，對(duì)于未知數(shù)量，學(xué)生會(huì)考慮選擇哪個(gè)未知量設(shè)未知數(shù)，其余量又如何用含未知數(shù)的代數(shù)式表示。這無(wú)形中給學(xué)生提供了思維的順序，幫助學(xué)生理清思路。

③幫助學(xué)生尋找隱性等量關(guān)系，攻破“難點(diǎn)關(guān)”。

有一些應(yīng)用題其等量關(guān)系很明顯，我們稱(chēng)之為“顯性等量關(guān)系”，這種等量關(guān)系學(xué)生在讀題后很容易找到；有些等量關(guān)系隱含在題意之中,我們稱(chēng)之為“隱性等量關(guān)系”，這種等量關(guān)系學(xué)生不易找到。借助表格，找“隱性等量關(guān)系”往往事半功倍。

在表格法的實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生表現(xiàn)出如下一些問(wèn)題：

①部分學(xué)生語(yǔ)文理解能力較差，當(dāng)題目中出現(xiàn)了很多量，學(xué)生就分不清應(yīng)用哪個(gè)模型。即使能分清用哪個(gè)模型，有時(shí)也無(wú)法識(shí)別哪個(gè)數(shù)代表的是哪個(gè)量，最終導(dǎo)致無(wú)法順利填表。

②表格法解應(yīng)用題大多數(shù)時(shí)候是豎著表示，橫著列式。部分學(xué)生會(huì)思維固化，遇到豎著列式的題時(shí)不會(huì)變通。

③雖然草稿上已經(jīng)理清等量關(guān)系，但有學(xué)生因?yàn)樵瓉?lái)的思維設(shè)錯(cuò)未知數(shù)，最終導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

④當(dāng)表格中的情況分成幾個(gè)階段時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)表格中套表格的情況，這個(gè)時(shí)候?qū)W生不容易處理。

三、研究小結(jié)

1．創(chuàng)新之處

在以前解應(yīng)用題的過(guò)程中，學(xué)生的解題習(xí)慣比較容易停留在“想”上，但又想不清楚。通過(guò)表格法，可以把自己思考的過(guò)程明明白白地寫(xiě)出來(lái)，看得見(jiàn)，“無(wú)形”變“有形”。抽象的關(guān)系變?yōu)榫唧w的符號(hào)，有利于自己判斷審題是否正確。實(shí)踐證明，在應(yīng)用題的教學(xué)中運(yùn)用表格的分析方法是分析數(shù)量關(guān)系、解決問(wèn)題的有效途徑，它讓已知的、未知的量都參與到了解決問(wèn)題的核心——列關(guān)系式，這是用算式解法無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。

表格法的創(chuàng)新之處在于，幫助學(xué)生將應(yīng)用題中所蘊(yùn)含的邏輯順序、邏輯關(guān)系理順、理清，從而極大地降低解題難度，使得學(xué)生解應(yīng)用題變得輕松而富有成就感，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。

2．存在的問(wèn)題

表格法的創(chuàng)新，大大降低了應(yīng)用題的解題難度。但也出現(xiàn)了一些問(wèn)題：

（1）有部分學(xué)生思維固化，只會(huì)套用模型，不會(huì)自己獨(dú)立分析，以基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生居多。因此，應(yīng)用表格法時(shí)，不能忽略學(xué)生解題能力的培養(yǎng)。學(xué)生的解題能力用題海戰(zhàn)術(shù)、死記硬背的機(jī)械記憶是培養(yǎng)不出來(lái)的。不應(yīng)強(qiáng)求學(xué)生對(duì)表格模型的機(jī)械記憶，而應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是表格模型的理解與運(yùn)用。應(yīng)倡導(dǎo)的是“授之以漁”，而非“授之以魚(yú)”。實(shí)際表現(xiàn)看，學(xué)生解題的錯(cuò)誤，一般是由于理不清應(yīng)用題中的邏輯關(guān)系造成的，表格法恰恰可以幫助學(xué)生理順其中的邏輯關(guān)系，這才是表格法的意義所在。

（2）學(xué)生都有多年積累的經(jīng)驗(yàn)，特別是對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，用最簡(jiǎn)單、最易操作的方法來(lái)解決問(wèn)題，并不一定強(qiáng)求用表格法。學(xué)生的解題方法是悟出來(lái)的，而非教出來(lái)的。解決問(wèn)題的策略是多樣化的，只要“殊途同歸”就好。