從一道三角試題談數學核心學習力的培養

金雅芳

（浙江省紹興市上虞區浙江省春暉中學，浙江 紹興）

【例題】在△ABC中，acosB=bcosA，且邊BC上的中線長為4．求△ABC面積的最大值．

【分析】從面上看，本題非常符合解三角形的考試要求：掌握正弦定理、余弦定理及其應用，并能對面積公式進行適當應用；也非常符合解三角形的本質：考查方向從邊到角或是從角到邊，在邊角互化的過程中體會函數思想、化歸思想．其實先利用正弦定理，馬上可得：

sinAcosB=sinBcosA?sin（A-B）=0，即 A=B．

一、函數的“等效”

☆流程圖：設變量→建立函數關系式→求一元單變量函數的最值問題．

【解法1】取線段BC的中點為M，設AC=BC=2x，則CM=x可得

由①可得：

則

則

研究②式，也可利用asinx+bcosx的最值建立不等式關系：

可化簡為5S-4ScosC=32sinC

移項得：4ScosC+32sinC=5S ③

二、圖形的“等效”

☆流程圖：看圖形特征→建立直角坐標系→聯系一元單變量函數的結構特征→求最值．

在代數式的轉化過程中，很多時候均可以采用幾何元素來進行考查．

如研究上面②式也可采用：

【解法2】題中已知三角形為等腰三角形，也可考慮建系完成．

以線段AB所在直線為x軸，中垂線為y軸建立直角坐標系，設 A（-a，0），B（a，0），C（0，b），又設邊 BC 的中點為

現行新課標數學教材（普通高中數學課程標準，人民教育出版社，A版）主編寄語中指出：數學是自然的，是水到渠成、渾然天成的，不僅合情合理，甚至很有人情味，學習數學要摸索學習的方法，數學學習要摸清數學學科素養，積極培育學生的學科思維能力．數學又是自由的，是包羅萬象的基礎，對抽象、一般的事物，要積極發揮想象的空間．因而，在數學教學中，也要使數學概念的呈現、思維的形成發展、方法的生成應用、學習能力的提升成為自然、必然而水到渠成的，使學生體會到數學的自然、有用、有趣、嚴謹而生動，從而充滿興趣地積極參與到數學教學活動中，主動思考探究數學知識、方法，形成數學思想，提升數學學習能力．明年全國推進新一輪的課程改革，浙江省又是改革先鋒，作為數學老師，期待著數學“芯片”的產生!