基于關聯跟蹤目標的欠驅動系統跟蹤控制設計研究

廣東工業大學自動化學院 史 彥 王銀河

0 引言

欠驅動系統，是指獨立的控制輸入維度少于系統狀態自由度的一類非線性系統，如倒立擺系統[1]、球桿系統[2]、各種起重機（橋式起重機、臂式起重機、塔式起重機）等[3]。與完全驅動系統相比，欠驅動系統在節約能耗、降低造價、減輕整體重量、增強系統可靠性等方面具有不可替代的優勢。從控制理論的角度來看，由于控制輸入數量的缺失，使得欠驅動系統控制問題變得十分復雜，通常需要利用各自由度間的耦合關系來實現整個系統的控制目標。因此，不僅在控制理論上還是實際應用中，欠驅動系統的控制問題都具有較高的研究價值。

到目前為止，對于欠驅動系統的研究已有豐富的成果，一些比較好的理論和方法已被提出。對于一類二自由度欠驅動機械系統，文獻[4]提出了一種基于趨近率法的分級滑模控制策略，其基本原理是將一種非線性趨近律引入到系統的控制機制中。文獻[5]中針對欠驅動系統在系統不確定性和外界干擾條件下的穩定控制問題，提出了自適應神經網絡滑模控制策略。文獻[6]針對具有未建模不確定性的欠驅動吊車系統的抗擺控制問題，提出了一種類似滑模控制的魯棒控制策略。針對球桿系統的位置控制問題，文獻[7]提出了一種基于前饋神經網絡控制的球桿位置控制新方法。但關于關聯跟蹤目標的欠驅動系統的跟蹤控制的研究還鮮見于報道。

欠驅動系統的跟蹤控制，通常要求系統狀態跟隨給定的參考軌跡運動，一般情況下跟蹤的參照值是相互獨立的，但是在某些情況下，跟蹤的參照值是相互關聯的，例如在對永磁同步電機（PMSM）控制策略的研究時，我們通常采用矢量控制策略，通過對PMSM在三相靜止坐標系中的數學模型進行Clarke變換和Park變換，可實現同步旋轉的d、q、0坐標系中完成對電壓、電流和磁勢的解耦，使得各變量能分解在互相垂直的d、q、0坐標上[8]。當采用id= 0的控制策略時，從電動機的端口來看，PMSM相當于一臺他勵直流電動機，電機定子磁鏈矢量與永磁體磁鏈矢量在空間上相互正交，定子電流中只有交軸分量，無電流弱磁分量，交軸電流與輸出轉矩成正比[9]。當采用弱磁控制時，由于PMSM中由永磁體產生勵磁磁場，磁場恒定，需要調節定子電流，通過增加定子電流的直軸分量來削弱氣隙磁場，達到弱磁增速的目的[11]，那么此時直軸分量id≠ 0。通過對永磁同步伺服電機的動態方程[14]分析，發現電機的電壓、電流和轉速三者之間所跟蹤參照值需要滿足一定的約束關系，因此對電流、電壓和轉速做跟蹤控制的時候，必須考慮這種約束關系。其次，在對永磁同步電機弱磁控制的控制器設計時，從電流跟蹤誤差方程，發現控制只是作用在電流環系統，對于速度環我們沒有施加任何的直接控制，它只是通過狀態耦合關系的影響達到所期望的轉速，可見該系統是一個欠驅動系統。將類似于以上跟蹤控制方法加以抽象就形成了基于關聯跟蹤目標的欠驅動系統跟蹤控制問題。因此，本文討論在參考跟蹤目標關聯的情況下進行欠驅動系統跟蹤控制。

1 系統模型

考慮如下欠驅動系統：

對于模型（1），其控制輸入u少于控制目標x、ρ，而在控制輸入u作用下需要通過系統狀態x、ρ之間的耦合關系來達到跟蹤目的。在對電機矢量控制時常使用這類模型，首先設定電機的預定轉速，然后設定合適的直軸電流參考值，交軸電流參考值也隨之而定， 最后對電機的電流、電壓進行控制，再利用他們和轉速之間的耦合關系來控制轉速。

2 控制設計方法

控制目標為：對于給定的理想定常值向量x*（主要參考目標），設計控制輸入u與輔助可調節目標使，并同時通過耦合作用達到。

在假定1成立的前提下，我們考慮滿足下列方程的輔助可調節目標。

等式（4）體現了系統（1）對主要參考跟蹤目標與輔助參考目標值間的關系要求。例如在永磁交流電機的矢量控制時，電機轉速控制的第一步是確定預定轉速ω*（主要參考目標），同時交軸電流的參考值（輔助可調節目標）也隨之確定。

由此可得輔助可調節目標為：

注1：（i）若系統（1）中M為Hurwitz矩陣，則可取矩陣M0= 0，根據方程（2），輔助可調節目標可以按下列代數方程取常值向量：

在電機矢量控制時，若采用id≠ 0如弱磁控制策略時，輔助可調節目標（交軸電流的參考值）可以按照（6）選取。

由方程（2）容易得到跟蹤誤差方程：

利用方程（4），模型（7）轉化為：

針對系統（1），本文提出如下控制律：

定理1：考慮動態方程（1），如果假設1，2成立，那么在控制器（9）與輔助參考目標（4）的作用下有下式成立：

把假定1中（3）以及控制器（7）帶入上式可得：

從（9）式可知，V(t) ≤ 0，通過控制器（7）的控制作用后，可以使誤差系統（4）穩定，e1(t )、e2(t )是有界的。同時，V(t)是單調遞減的，又有V(t ) ≥ 0，所以存在。

由（9）兩端積分得：

即有：

上式左邊關于上限t的函數是單調遞增的，且又有上界，所以有存在。

注3：利用定理1解決關聯跟蹤目標的非線性系統（1）的跟蹤控制的步驟如下：

步驟二：驗證假定1，若假定1成立則進行下一步，否則本文方法失效；

步驟三：選擇合適的參照值x*，得到輔助可調節參照值ρ*；

步驟四：驗證假定2，若假定2成立則進行下一步，否則本文方法失效；

步驟五：構造控制器（9）。

3 仿真實例

3.1 永磁同步伺服電機仿真

考慮如下的永磁同步伺服電機的動態方程[14]：

仿真中永磁同步伺服電機（隱極式）的動態方程（13）的參數有轉動慣量、轉矩常數與反電勢常數相等、轉子極對數、電氣時間常數、機械時間常數、定子電阻q軸電感，額定轉矩為，轉速阻尼系數：

仿真結果如下：

圖1 電流id、iq、轉速ω的時間響應曲線圖

從圖1所示可以看出，電流id、iq與轉速ω響應基本上已經完全重合，控制效果良好。

圖2 突加負載電流id、iq、轉速ω的時間響應曲線圖

圖3 突卸負載電流id、iq、轉速ω的時間響應曲線圖

從仿真結果可以看出，當負載增加（減少）時，id都能夠保持在參照值附近，iq隨負載增加（減少）而快速提高（降低），從而使轉速ω能夠快速調整后繼續跟蹤參照轉速ω*。

3.2 球桿系統仿真

球桿系統[2]，通過對橫桿的傾斜角度的調節，實現對小球運動的控制，最后使小球達到預期位置。假設忽略球桿之間的摩擦力，球桿總是保持接觸，球在桿上滾動而不滑動，桿在一定范圍內旋轉。

上述系統(17)符合系統(1)所描述的欠驅動系統模型。

圖4 的時間響應曲線圖

圖5 r、θ 的誤差時間曲線圖

圖6 輔助可調節目標的時間曲線圖

4 結論

本文針對一類欠驅動系統，做跟蹤控制其跟蹤目標相互之間有一定的約束關系，并且其模型也是比較特殊，控制輸入的維度少于控制目標的維度，提出了一種控制方法。同時，建立永磁同步伺服電機控制系統，利用本文的控制方法，在設定直軸交流分量不等于0的情況下，電機在升速、恒轉速、突加負載、突卸負載等情況下，電流波形穩定，響應迅速，控制效果良好。對于球桿系統，在給桿的角速度的參照值為0的情況下，獲得球的位置、球的加速度和桿的角度的輔助可調節參照值，在桿有一定傾角的情況下，小球最終能穩定在期望位置，從而驗證了該控制方法的正確性和可行性。

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