火星飛機(jī)的多胞LPV魯棒控制器設(shè)計(jì)

關(guān)皓天，趙友鋮，倪 昆，張慶振

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火星飛機(jī)的多胞LPV魯棒控制器設(shè)計(jì)

關(guān)皓天，趙友鋮，倪 昆，張慶振

（北京航空航天大學(xué)，北京，100191）

隨著火星探測的日益發(fā)展，火星飛機(jī)作為一種中尺度探測手段，能夠很好地補(bǔ)充軌道和地表探測器之間的能力空白。針對(duì)火星飛機(jī)的強(qiáng)非線性、參數(shù)不確定性的特點(diǎn)，提出了一種火星飛機(jī)的多胞LPV變?cè)鲆妗蘅刂破髟O(shè)計(jì)方法。首先依據(jù)火星飛機(jī)的縱向非線性模型，在進(jìn)行研究的飛行包線內(nèi)選取適量平衡工作點(diǎn)進(jìn)行雅可比線性化，通過線性化后的線性時(shí)不變系統(tǒng)數(shù)值擬合得到系統(tǒng)的LPV模型；然后通過張量的高階奇異值分解理論進(jìn)行張量積建模，實(shí)現(xiàn)火星飛機(jī)LPV模型的多胞形表示。最后設(shè)計(jì)基于LMI求解的魯棒變?cè)鲆婵刂破?，使?duì)象能夠克服不利特性的影響，能夠完成指令信號(hào)的快速跟蹤并且使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

火星飛機(jī)；高階奇異值分解；多胞形LPV系統(tǒng)；變?cè)鲆妗蘅刂?/p>

0 引 言

火星探測作為深空探測的重要內(nèi)容，成為世界各國研究的熱點(diǎn)。火星車和軌道衛(wèi)星對(duì)于火星上峽谷山脈等特殊地形的探測存在較大難度，火星飛機(jī)作為中尺度探測工具可以利用磁力計(jì)、質(zhì)譜儀、點(diǎn)譜儀等儀器對(duì)火星大氣及特殊地形表面進(jìn)行探測完成科研任務(wù)[1]。但是火星特殊大氣環(huán)境為火星飛機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了巨大的挑戰(zhàn)?；鹦侵車髿鈱雍鼙?，周圍大氣的主要成分為二氧化碳和氮?dú)獾龋瑢?shí)際的大氣條件會(huì)根據(jù)位置，季節(jié)和一天的時(shí)段具有20%的攝動(dòng)范圍[2]。為了保證火星飛機(jī)在復(fù)雜飛行環(huán)境下的控制性能，一般在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中采用魯棒控制方法。文獻(xiàn)[3]提出了一種PI-∞復(fù)合控制方法設(shè)計(jì)火星飛機(jī)的控制系統(tǒng)；文獻(xiàn)[4]提出了一類混合靈敏度∞控制方法解決了火星飛機(jī)的縱向跟蹤問題，取得了良好的控制效果。

火星的惡劣的大氣環(huán)境決定了火星飛機(jī)比傳統(tǒng)飛行器的控制系統(tǒng)具有更高的控制性能要求。傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂朴捎谄渥陨淼木窒扌訹5]。顯然無法滿足火星飛機(jī)控制系統(tǒng)的高性能要求。而采用先進(jìn)控制方法如動(dòng)態(tài)逆，反步法等[6]將面臨復(fù)雜的設(shè)計(jì)過程。近年來線性變參數(shù)（Linear Parameter Varying，LPV）理論大力發(fā)展，基于該理論的變?cè)鲆婵刂茝V泛應(yīng)用于飛機(jī)、導(dǎo)彈、機(jī)器人等控制對(duì)象中[7]，具有很強(qiáng)的適用性?；贚PV系統(tǒng)的魯棒變?cè)鲆婵刂评碚摰淖畲髢?yōu)勢(shì)是設(shè)計(jì)控制器時(shí)可以對(duì)其采用線性控制理論中的方法，通過變參數(shù)的調(diào)度不僅展現(xiàn)系統(tǒng)的時(shí)變性和非線性，同時(shí)實(shí)現(xiàn)控制器參數(shù)的增益調(diào)度，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂频牟蛔恪?/p>

本文針對(duì)火星飛機(jī)縱向模型，設(shè)計(jì)巡航飛行任務(wù)，建立火星飛機(jī)的LPV系統(tǒng)?；趶埩糠e建模理論實(shí)現(xiàn)LPV系統(tǒng)的多胞形表示，并提出一種變?cè)鲆孑敵龇答仭蘅刂品椒?，完成火星飛機(jī)的縱向跟蹤飛行任務(wù)。

1 火星飛機(jī)LPV建模

1.1 火星飛機(jī)模型

火星飛機(jī)的縱向非線性模型[8]為

火星飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)可用一個(gè)二階環(huán)節(jié)表示：

由于火星飛機(jī)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，且飛行環(huán)境特殊，為了便于研究做出以下假設(shè)：a）忽略火星曲率；b）飛機(jī)幾何外形對(duì)稱，內(nèi)部質(zhì)量分布對(duì)稱；c）忽略操縱面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，忽略推進(jìn)劑晃動(dòng)；d）火星飛機(jī)在飛行過程中無橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)。

1.2 多胞LPV建模

構(gòu)建一個(gè)非線性系統(tǒng)的LPV模型首先要確定變參數(shù)即調(diào)度參數(shù)，通常情況下可選取高度、速度作為飛行控制系統(tǒng)的調(diào)度參數(shù)。盡管一個(gè)非線性模型的LPV表示不是唯一的，但是基于雅可比線性化的LPV建模是最簡單直觀的，其適用對(duì)象廣泛、求解思路清晰。本文擬采用基于雅可比線性化的方法是實(shí)現(xiàn)LPV建模。雅可比線性化的基礎(chǔ)是泰勒級(jí)數(shù)展開，給定一個(gè)非線性系統(tǒng)，有：

由此得到模型線性化的狀態(tài)空間表達(dá)式：

在該飛行包線內(nèi)選取一定數(shù)量的平衡點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行雅可比線性化，將得到等數(shù)量的線性時(shí)不變系統(tǒng)（Linear Time Invariant，LTI），選取速度和高度作為變參量，選取合適階數(shù)的擬合函數(shù)，對(duì)這些LTI進(jìn)行數(shù)值擬合可得到火星飛機(jī)的LPV模型。

分析得到的上述多個(gè)雅可比矩陣，選擇合適階數(shù)的擬合函數(shù)，對(duì)LTI模型進(jìn)行數(shù)值擬合，可以得到以高度和速度為變參量的火星飛機(jī)LPV模型：

由于LPV系統(tǒng)是由無數(shù)個(gè)LTI組成，在應(yīng)用線性魯棒控制理論設(shè)計(jì)控制器時(shí)，為了避免求解變參數(shù)軌跡上無數(shù)個(gè)線性矩陣不等式（LMI），需要將原LPV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成具有凸性質(zhì)的多胞形結(jié)構(gòu)，從而將原LPV系統(tǒng)以有限的頂點(diǎn)完全描述，大大減小了求解控制器參數(shù)過程中的計(jì)算量。

目前，基于張量高階奇異值分解（High Order Singular Value Decomposition，HOSVD）理論[9]的張量積建模法是求取多胞頂點(diǎn)的一種有效途徑。首先將離散的LTI存儲(chǔ)到高階張量中，并對(duì)其進(jìn)行HOSVD舍去較小的奇異值和相關(guān)奇異向量，將篩選得到的有限頂點(diǎn)系統(tǒng)表示成張量積的形式：

（9）

這樣可以將式（7）的LPV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為有限個(gè)頂點(diǎn)系統(tǒng)的多胞組合形式：

2 火星飛機(jī)的魯棒變?cè)鲆婵刂破髟O(shè)計(jì)

對(duì)于火星飛機(jī)LPV模型的多胞形表示式（10）, 可將其頂點(diǎn)系統(tǒng)表示成如下的狀態(tài)空間：

根據(jù)頂點(diǎn)性質(zhì)[12]，飛行包線內(nèi)任意工作的控制器參數(shù)可通過時(shí)變參數(shù)對(duì)頂點(diǎn)系統(tǒng)加權(quán)調(diào)度求解實(shí)現(xiàn)：

3 仿真分析

圖1 調(diào)度參數(shù)高度的權(quán)重函數(shù)

圖2 調(diào)度參數(shù)速度的權(quán)重函數(shù)

圖3 火星飛機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了驗(yàn)證LPV魯棒變?cè)鲆婵刂破鞯目刂菩阅?，將其與傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ǖ男ЧM(jìn)行比較，圖4為標(biāo)稱模型下火星飛機(jī)的高度和速度的響應(yīng)跟蹤曲線。

圖4 標(biāo)稱模型中高度和速度響應(yīng)曲線

Fig.4 Curves of Height and Velocity in Nominal

續(xù)圖4

考慮到火星飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)的大范圍攝動(dòng)和飛機(jī)參數(shù)的不確定性，首先給出飛機(jī)不確定范圍為

再給出氣動(dòng)參數(shù)的不確定范圍為

針對(duì)火星飛機(jī)及氣動(dòng)參數(shù)的標(biāo)稱模型，定義其不確定參數(shù)上限和下限模型并給定相同的跟蹤指令信號(hào)，得到在參數(shù)不確定條件下火星飛機(jī)的響應(yīng)曲線，見圖5、圖6。

圖5 不確定參數(shù)上限模型中高度和速度響應(yīng)曲線

圖6 不確定參數(shù)下限模型中高度和速度響應(yīng)曲線

續(xù)圖6

以上仿真結(jié)果表明：在標(biāo)稱模型下兩種控制器都能使火星飛機(jī)快速跟蹤指令信號(hào)，但是多胞LPV魯棒變?cè)鲆婵刂破鞯恼{(diào)節(jié)時(shí)間更短；在參數(shù)攝動(dòng)的條件下，傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂茖?dǎo)致飛機(jī)產(chǎn)生跟蹤誤差，控制效果變差；相比而言，多胞LPV魯棒變?cè)鲆婵刂破鞯姆€(wěn)態(tài)誤差更小，控制效果更好。說明設(shè)計(jì)的多胞LPV魯棒變?cè)鲆婵刂破骶哂休^強(qiáng)的魯棒性和較高的控制精度。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)火星飛機(jī)縱向非線性模型，利用雅可比線性化方法擬合LPV模型，基于張量的HOSVD理論得到LPV模型的多胞形表示，并設(shè)計(jì)了變?cè)鲆孑敵龇答仭蘅刂破?，通過仿真驗(yàn)證了基于張量HOSVD理論得到的多胞形LPV模型在誤差允許范圍內(nèi)可以近似表示原系統(tǒng)；根據(jù)頂點(diǎn)性質(zhì)設(shè)計(jì)的魯棒變?cè)鲆婵刂破骺梢酝ㄟ^變參數(shù)在線調(diào)度完成整個(gè)飛行包線內(nèi)的控制任務(wù)，使得所設(shè)計(jì)的控制器能夠較快地跟蹤指令信號(hào)并具有較強(qiáng)的魯棒性。

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Robust Variable Gain Control for Mars Airplane Based on Polytopic LPV

Guan Hao-tian, Zhao You-cheng, Ni Kun, Zhang Qing-zhen

(Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing, 100191)

XWith the increasing development of Mars detection, Mars airplane as a mesoscale detection means, can be a good complement to fill the ability blank between the track detector and the surface detector. Considering the strong nonlinearity and parameter uncertainty of Mars aircraft, a variable gain∞control method for Mars airplane based on polytopic Linear Parameter Varying (LPV) system is proposed.Firstly,according to the longitudinal nonlinear model of the Mars aircraft, appropriate balance of work points are selected to conduct Jacobian linearization,the LPV model is obtained by numerical fitting of the LTI systems. Then,the tensor product model is carried out by High Order Singular Value Decomposition (HOSVD) theory of tensor,completing the polytopic representation of the LPV model. Finally, a robust variable gain controller based on LMI solution is designed, which can overcome the negative effects and complete the fast tracking of command signal so that the system has strong robustness.

Mars airplane; High order singular value decomposition; Polytopic LPV system; Variable gain control

1004-7182(2018)01-0069-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20180114

V448.22+2

A

2017-03-01；

2017-06-22

關(guān)皓天（1993-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制