利用冪函數(shù)的平均值探討一個物理問題的解法

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

對于某些物理問題,在應(yīng)用物理公式或規(guī)律列方程時,常常可以利用平均值代替變量，在數(shù)學(xué)中,不同的函數(shù)關(guān)系具有不同的的平均值公式.正比例函數(shù)(一次函數(shù))稱為線性函數(shù),是冪函數(shù)的特殊情形.下面歸納冪函數(shù)的平均值公式,并用來解答一個物理問題.

圖1

圖2

解析: (1) 物體在沿墻面下滑的過程中,電場力不斷減小,則墻壁對物體的彈力不斷減小,摩擦力不斷減小,而重力大小不變,因此物體沿墻面做加速度不斷減小的加速運(yùn)動,直到離開墻面為止.

設(shè)t=t1時,物體開始下滑,此時重力與摩擦力平衡,即mg=μN(yùn),彈力為電場力,即N=qE=q(E0-kt1),解得

(2) 物體沿墻面滑動,克服摩擦力做功,由動能定理有

可得

設(shè)物體剛落地時在水平方向的速度為vx,在水平方向由動量定理有

可得

由于物體受到兩個分力相互垂直,因此可在分力方向上應(yīng)用動能定理列方程,所以電場力做的功為

電場力的瞬時功率為

由冪函數(shù)的平均值公式可知功率的平均值為

所以電場力做的功為

而文獻(xiàn)[1]中的解法如下.

可知電場力做的功為

雖然所得結(jié)果正確,但計(jì)算過程值得商榷,包括以下兩個方面.

(2) 所求力的平均值是對時間而言的,不是對位移而言的,那么平均力與位移的乘積沒有意義.其實(shí)可由平均速度求出位移.速度平均值為

所以位移為

雖然求出了位移,但卻不能用平均力與位移的乘積來計(jì)算功.

總之,對于冪函數(shù)的平均值公式,可從圖像的角度來理解,即某個變量的平均值與自變量的乘積表示圖像的面積,有時具有一定的物理含義.只要在物理公式或方程中含有兩個變量的乘積,就可考慮是否利用平均值法進(jìn)行解答,從而避免微元累加或積分運(yùn)算的過程,化繁為簡.

1 王美芳.正比于時間的力 做功可以這樣求[J].物理教師,2016,37(3):96,封三.