巖溶隧道在SH波激勵下動力響應位移解析解

臧 萬 軍， 孫 文 濤

( 1.福建工程學院 土木工程學院， 福建 福州 350118； 2.地下工程福建省高校重點實驗室, 福建 福州 350118 )

0 引 言

在地下結構地震動響應方面，研究方法主要有地震觀測、模型試驗和理論分析3種[1-2]，其各有優缺點，本文僅就理論分析研究予以闡述．理論分析研究分為數值模擬和理論解析兩種方法．數值模擬比理論解析方法更接近于實際工況，但有時局限于本構模型的適用條件，與真實情況有所偏差；理論解析法對實際工況進行簡化，在揭示物理力學本質方面具有優勢，但在計算復雜邊值問題上存在困難，如復變函數與其積分變換的計算等，簡單模型尚且如此，復雜模型更是困難，為得到解析解需要做更多簡化而與實際情況相去甚遠，甚至無法得出結果．

國內外一些學者基于波函數展開法對地下結構動力響應問題進行了研究．梁建文等[3-4]研究了在P波和SV波激勵下地下洞室群的動應力集中問題；孫紅陽[5]、梁建文等[6]運用Fourier-Bessel級數展開法和鏡像法，推導出半空間中地下洞室群在SH波入射下隧道位移解析解；杜金金[7]、付佳等[8]采用波函數展開法求解了單隧道在SH波入射下位移解析解．

以上學者僅就單洞隧道或隧道群作了研究，但在巖溶隧道[9]動力響應解析解方面研究較少．本文主要運用波函數展開法和Fourier-Bessel級數變換，推導巖溶隧道在平面SH波激勵下動力響應位移解析解的計算公式，并研究溶洞半徑、溶洞與隧道的中心距和平面SH波入射角度等因素對巖溶隧道動力響應位移幅值的影響，為巖溶隧道抗減震設計提供理論依據．

1 理論解析解推導

1.1 分析模型建立

巖溶形態及性質各異，在隧道施工和運營過程中對隧道影響較大的是具有一定規模和尺度的巖溶空洞．為簡化分析、突出重點，本文不考慮溶洞充填物質．因此，本文中巖溶特指具有一定規模的巖溶空洞，將此類地質條件下的隧道稱之為巖溶隧道．現建立如圖1所示的簡化模型，在一個均勻的半空間中，存在一溶洞和一隧道，溶洞半徑為a1，圓心到地表距離為D，隧道半徑為a2．溶洞與隧道的中心距為s．

圖1 巖溶隧道模型及其鏡像Fig.1 The model of karst tunnel and its mirror image

作如下假定：

(1)隧道襯砌為剛性；

(2)無限半空間為彈性、均質、各向同性．

假設一單位幅值為1的平面SH波入射，入射角度為γ，如圖1所示．

1.2 波場分析

巖溶隧道模型為平面二維模型，z軸垂直于紙面，假定入射波為垂直于紙面沿著z軸作簡諧振動．入射波滿足波動方程[5]：

(1)

在極坐標系下圓心O1處SH波表達式如下：

(2)

入射波波長λ的比值表達式如下：

(3)

運用鏡像法模擬邊界條件為零應力的地表模型．

一波源處入射波的表達式見式(2)．通過鏡像法，在地表邊界另一波源，該入射波可表示為

(4)

入射波在傳播過程中遇到溶洞和隧道異常區域后，發生散射效應，產生4組散射波，其表達式為

Bj，msinmθj)；j=1，2，3，4

(5)

全空間的總位移場可表示為

(6)

利用內域型Graf加法公式，把外域型的模型轉換到內域型Graf加法公式中進行計算，具體步驟詳見文獻[5]．

1.3 邊界條件引入

溶洞表面邊界處無荷載，引入模型應力和位移邊界條件可得[5-6]

τr1z1=0 τr2z2+gw(z2，

2)=0

(7)

-ω2M′0Δ1=0 -ω2M0Δ2=-f

(8)

式中：M′0為溶洞單位長度質量，M0為隧道單位長度質量，Δ1、Δ2分別為溶洞和隧道位移幅值，f為隧道邊界上單位長度上的力，g為隧道邊界約束剛度系數．

1.4 位移解析解求解

解得溶洞和隧道的位移分別為

Δ1=J0(ka1)+exp(-2ikDcosγ)J0(ka1)×

(9)

Δ2=exp(-ikssinγ)J0(ka2)+exp(-2ikD×

cosγ-ikssinγ)J0(ka2)cosγ+

(10)

1.5 實用公式簡化

為便于技術人員計算，根據Bessel函數的級數解和Bessel函數以及Hankel函數的性質，進一步作簡化處理．

溶洞的位移公式整理為

Δ1=G+Gcosγ[cos(2kDcosγ)-

(11)

隧道的位移公式整理為

Δ2=G[cos(kssinγ)-isin(kssinγ)]+

G[cos(2kDcosγ+kssinγ)-

isin(2kDcosγ+kssinγ)]cosγ-

(12)

其中

為求出實際地震動的位移時程曲線，基于Matlab軟件通過快速傅里葉變換將地震波時程記錄分解為若干間隔相等的覆蓋0～21 Hz的不同頻率分量，乘以對應的頻域放大譜值，再把放大后的頻域結果通過傅里葉變換得到相應的時域結果[7]．

2 理論解析解驗證

巖溶隧道動力響應位移解析解的推導基于復變函數方法和工程波動理論，適用于均質、各向同性的巖溶隧道動力響應分析．為驗證解析解的正確性，現與數值模擬解進行比較分析．

2.1 數值模擬模型

某巖溶隧道開挖半徑為5 m，截面采用馬蹄形，隧道中心到地表的距離為105 m．根據工程地質報告，計算物理參數見表1．

計算模型如圖2所示．

表1 材料的物理力學參數Tab.1 Physico-mechanical parameters of materials

圖2 巖溶隧道數值模擬三維模型Fig.2 The three-dimensional model of karst tunnel numerical simulation

馬蹄形隧道輪廓和6個檢測點如圖3所示．

圖3 隧道形狀和6個檢測點Fig.3 Tunnel shape and six monitoring points

2.2 馬蹄形換算為圓形的可行性研究

為將馬蹄形換算成圓形，先討論該數值計算與解析解有無可比性．為不失一般性，現提取數值模擬解中隧道任意截面中仰拱、右拱腳、右拱肩、拱頂、左拱肩和左拱腳6個檢測點的位移時程曲線進行比較．

地震波選用汶川地震波，經濾波基線校準的位移時程曲線如圖4所示．

圖4 汶川地震波經濾波基線校準的位移時程曲線Fig.4 The time-displacement curve of Wenchuan earthquake wave calibrated by filter baseline

在入射角度γ=0°和γ=90°時，隧道位移時程曲線如圖5所示．

現給出2、4、6和8 s時的位移幅值(表2、3)．

(b)γ=90°

圖5 隧道在入射角度γ=0°和γ=90°時的位移時程曲線

Fig.5 The time-displacement curve of tunnel atγ=0° andγ=90°

數值模擬解中隧道任意截面中拱頂、左拱肩、右拱肩、左拱腳、右拱腳和仰拱6個關鍵部位的位移時程曲線基本重合，波形一致，但6個關鍵部位的位移幅值的數據存在允許范圍內的差異，如表2、3所示，說明隧道形狀對位移影響較小，因此，在入射角度γ=0°、γ=90°時，推導位移解析解時把隧道簡化為圓形是可行的．拱腳等斷面突變位置在數值模擬中存在應力集中現象，6個關鍵部位應力曲線與上述位移曲線不同，故若推導應力解析解，不能直接把隧道簡化為圓形．

表2 2、4、6和8 s的測點位移幅值(γ=0°)Tab.2 Displacement amplitude of monitoring points at 2, 4, 6 and 8 s (γ=0°)

表3 2、4、6和8 s的測點位移幅值(γ=90°)Tab.3 Displacement amplitude of monitoring points at 2, 4, 6 and 8 s (γ=90°)

2.3 數值模擬解與理論解析解的比較

取數值模擬解中溶洞和隧道拱頂的位移時程曲線與解析解進行比較，結果如圖6所示．

圖6 溶洞和隧道的位移時程曲線Fig.6 The time-displacement curve of karst cave and the tunnel

由圖6可以看出，數值解和解析解位移時程曲線中第1～5 s吻合較好，而前1 s和后3 s相差較大．比較溶洞和隧道在入射角度γ=0°和γ=90°時解析解和數值解的位移幅值峰值可知，溶洞的位移幅值峰值在入射角度γ=0°和γ=90°時分別相差11%和9%，隧道的位移幅值峰值在入射角度γ=0°和γ=90°時分別相差9%和10%，可見理論解析解具有較好的精度．

3 算 例

3.1 地震動輸入

理論解析所用地震波采用2008年汶川地震中的臥龍波，持時8 s．其中地震峰值位移為-0.062 m．地震波波形如圖4所示．

3.2 解析解影響因素分析

根據解析解，考慮溶洞半徑、溶洞與隧道中心距以及平面SH波入射角度等因素[10]，探討巖溶隧道在SH波激勵作用下的地震動力響應規律．計算工況如表4所示．

表4 工況說明表Tab.4 The table of working condition

各工況溶洞和隧道位移時程曲線如圖7所示．

從圖7(a)可以看出，工況1溶洞位移峰值略微比工況3的大0.14%，工況1隧道位移峰值比工況3的大28%；從圖7(b)可知，工況2溶洞位移峰值比工況4的大0.57%，工況2的隧道位移峰值比工況4的大7%．說明當平面SH波入射角度相等，溶洞與隧道間的中心距相等時，溶洞半徑越大，溶洞與隧道的位移幅值越大．

從圖7(a)可知，工況3溶洞位移峰值比工況5對應值小4%，工況3隧道位移峰值比工況5的小4%；從圖7(b)可知，工況4溶洞位移峰值比工況6的對應值小1.5%，工況4隧道位移峰值比工況6的小9%．說明當平面SH波入射角度固定，溶洞半徑相等時，溶洞與隧道間的中心距越小，溶洞與隧道的位移幅值越大．

從圖7(c)、(d)可以看出，平面SH波入射角度為90°時的位移峰值大于入射角度為0°時的對應值，增幅從1.80%、2.57%、5.79%、6.00%、21.00%到24.00%不等，在總體上說明當溶洞半徑相等，溶洞與隧道間的中心距相等時，平面SH波入射角度越大，溶洞與隧道的位移幅值越大．

(a) 工況1、3、5的比較

(b) 工況2、4、6的比較

(c) 溶洞

(d) 隧道

圖7 不同工況溶洞和隧道位移時程曲線

Fig.7 The time-displacement curve of karst cave and tunnel at different cases

4 結 論

(1)基于工程波動理論，利用波函數展開法和Fourier-Bessel級數變換，推導了巖溶隧道在平面SH波激勵下動力響應位移解析解的計算公式，并提出了實用的簡化解．

(2)通過數值模擬解驗證了動力響應位移解析解的合理性．數值模擬解和解析解位移時程曲線基本吻合，在波形上保持一致．溶洞和隧道在平面SH波激勵作用下的位移幅值峰值相差10%左右，表明解析解具有較好的精度．

(3)研究了溶洞半徑、溶洞與隧道間的中心距以及平面SH波入射角度等3個影響因素對溶洞和隧道的動力響應作用，發現溶洞和隧道位移幅值與溶洞半徑成正比，當溶洞半徑由0.5a2增大到a2時，隧道的位移幅值會增大7%～28%；溶洞和隧道位移幅值與兩者中心距呈反比，當溶洞與隧道中心距從2.5a2增加到4.0a2時，溶洞和隧道的位移幅值會減小1.5%～9%；溶洞和隧道的位移幅值與平面SH波入射角度成正比，當入射角度γ從0°增大到90°時，溶洞與隧道的位移幅值增幅從1.80%、2.57%、5.79%、6.00%、21.00% 到24.00%不等．

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