數學在金融中的應用研究

劉宇辰

摘 要：數學作為現代科學的重要基礎之一，自古以來就扮演著推動全領域發展的重要角色，其重要性不言而喻。金融領域作為統領世界資本要素流動的主要領域，在經濟全球化發展的時代，贏得了社會各界的廣泛關注。基于這一基礎，淺析數學在金融中的應用，從金融數學的概念定義出發，解析了期權定價模型，證券投資組合模型和資產估價模型三種經典的金融問題，并解釋了數學在其中扮演的強大作用。

關鍵詞：金融數學；期權定價模型；證券投資組合模型；資產估價模型

中圖分類號：F83文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.06.059

1 引言

數學是一門極為廣博的學科，其應用遍及各個學科，作為一種工具性科目，往往占據了部分理論的核心位置。數學在金融領域中扎根已久，衍生出金融數學這一種具有交叉特色的，將復雜的數學理論和方法引入金融領域的一門新興科目，具有重要的應用前景。本文基于這一背景，淺析數學在金融中的應用。

2 概念定義

數學在金融中的應用主要體現為金融數學這一新興學科，本門科目的重中之重是數學上常見的隨機分析、最優控制和組合分析、線性規劃等等，其核心問題是不確定條件下的最優投資策略的選擇理論和資產的定價理論等等，多年以來，在實際金融市場中，為金融工具創新和金融運作的穩定產生著直接的影響和推動性，得到了廣泛應用。

數學在金融中的應用，主要與諸如心理投資學等等的純理論分析相背離，具有鮮明的量化特征，或者說，其所著力于解決的問題主要是在多種不確定條件下選擇多組合證券，分析證券組合的最優策略，進行組合投資資產定價問題。這一類問題的共同特征，就是需要基于大量計算過程，完善市場選擇的敏感性和有效性。在此之中，必須要引述出金融活動的三大重要概念。

其一，套利行為。套利，即在兩個及以上的細分市場中，用有利的價格買進金融資產，并在合理的時機進行賣出以賺取其中差值的金融活動行為。買入和賣出的過程往往是在不同的細分市場或者不同的金融產品之間發生的，這需要一系列精準的數學工具的利用，來把握套利行為的時機。其二，最優理論。最優理論的主要核心是收益最優化，這是金融活動的主要出發點之一，在此之中，對金融資產進行合理定價具有重要意義，利用數學工具進行復雜的多層次定價，包含債券和證券組合等等。其三，均衡理論。諸多金融學家通過數學工具對金融方面的供需平衡進行綜合分析。毫無疑問，金融行業的最核心部分是貨幣流通過程，這其中所顯示出的顯性和隱性資金流，需要依靠于大量的數學關系來加以完整衡量。同時，金融問題由于具有很大程度的不確定性，對一系列數學層面的隨機控制機理有著深厚的關系。另外，對金融經濟中存在的風險和投入進行估算也具有較大的優越性，上述機制共同促進了數學工具在金融領域的應用和發展。

3 應用解析

數學在金融學科中的應用較為廣泛，但相比于純粹的數學領域而言，金融類數學方法與常規的經濟學理論有著無法分割的關系，兩者互相影響，共同作用。利用數學進行量化操作來支持一般經濟學模型框架，是業界最常用的方法之一。究其本源，數學的存在可以幫助金融操作人員更加直觀的對金融問題進行分析研究。其中包括諸多精細化表達，主要以各類框架為主。

3.1 期權定價模型

期權是金融領域中一種常用的金融衍生工具，其代表了一種特定合約，這一類合約的持有人能夠在未來的某一個特定日期或其之前對合約固定的金融資產以約定的價格買入或者賣出。這類合約由于具有鮮明的風險規避作用，在實際金融領域中往往能夠發揮重要的作用，基于此考慮，建立一個對期權進行定價的數學模型顯得至關重要。在此細分領域，最重要的研究成果就是Black-Scholes期權定價模型。此模型自1997年提出以來，已經在實際應用領域中發揮了重要作用。

首先，從本模型的假設開始。對于一個經典的Black-Scholes期權定價模型框架而言，一共具有七個主要假設，包括如下：

其一，市場的股票定價行為符合類似與對數正態分布的模式；其二，在期權合約的有效期內，整個金融體系具有固定的無風險利率和金融資產收益變量；其三，在交易過程中的摩擦成本忽略不計，即市場滿足無摩擦特征，證券具有可分割特征；其四，期權是在到期前不可使用的歐式期權；其五，金融資產在期權到期之前無收益；其六，投資者不可以進行無風險套利；最后，證券交易是持續的。

基于如上考慮，經典的Black-Scholes期權定價模型以公式的形式顯示如下：

在本公式中，C為期權合約的初始價格，L為期權所含義的交割價格，S為金融資產在交易時刻的現價，T代表了有效期，另外，r為無風險利率，σ2為年度化方差，N則為正態分布變量的分布函數。

Black-Scholes期權定價模型一經提出，就獲得了當時的世界最大期權交易商——芝加哥期權交易所的關注，很快投入使用。這一基于數學方法構建的創新性金融模型在實際層面上發揮了極為重要的作用，也昭示著數學在金融領域中的越來越多的廣泛關注。

3.2 證券投資組合模型

相比于期權定價模型，在證券投資方向的證券投資組合模型與實際金融市場的影響更大，對此的研究中，具有跨時代意義的Markowitz投資組合模型必須被提起。

證券投資行為本質上是一種財富的追求行為，這一過程中包含這固定收益型證券（無風險），和風險型證券。作為一個穩健的投資者，必須將這兩者以一種合適的比例加以組合，從而實現給定期望風險水平下的期望收益最大化，或者實現給定期望收益水平下的風險最小化。

首先從Markowitz投資組合模型的假設開始，在這一理論中，主要有三點假設：其一，股票市場上的投資者具有規避風險的趨向，在追求期望收益水平最大化的情況下也追求風險水平的最小化；其二，投資組合選取的主要考察參數是收益率的期望值與方差；最后，每個投資者都在單一的投資期限里。

Markowitz投資組合模型以公式列示如下：

其中，rp代表組合收益，ri和rj分別代表第i和第j種資產的收益，wi和wj分別代表第i和第j種資產的權重，δ2（rp）為整體的組合風險，cov（ri，rj）為協方差。這一模型代表了數學上經典的二次規劃問題，對其的求解必須基于微分學中常見的拉格朗日方法。根據這一模型，構建一個合理的證券投資組合，必須在給定的風險水平下，形成投資組合。是一個完整的最優化思想。

3.3 資產估價模型

相比于另外兩種主要理論，資產估價理論顯得更加簡單清晰。這一模型的提出者是美國的著名數理經濟學家Fischer，這一模型的最基本假設為，對于任意一種金融資產而言，當前資產的價值必須等于維持其現金流合理運行的現金流貼現值組合，這一理論的價值在于其是目前主流所有資產估價模型的基礎，這種根據資金的時效性和考慮了貨幣時間價值的理論在諸多復雜理論中間具有不可忽視的重要意義。

最常見的資產估價模型以公式列示如下：

其中，PV代表現值總額，n為金融資產期數，C（t）為t時刻的現金流量，R（t）為貼現率。這一公式的絕對作用在于，承認了現金流分析在金融數學領域的重要作用，為所有接下來的證券投資價值的資本變化估算奠定了合適的基礎。

4 結論

數學在金融領域中的價值是無法估量的，無論是復雜的研究方法，抑或是解決相關模型和計算各類參數的手段，數學都能夠在金融領域中扮演著至關重要的角色。在現今金融領域不斷發展的基礎下，數據量的膨脹速度遠超我們的想象，對金融數據的合理化處理必須依賴于更加復雜的模型和計算效果，所以，利用數學知識來從根本上提升相關模型的合理程度，開始成了量化思想指導下新時代金融業的更深層次拓展，全領域對于跨界人才的需求也變得越來越大。

參考文獻

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