淺談重積分的應用

摘要：高等數學是大學一年級的一門基礎課程，而重積分是高等數學積分學的教學中的重要內容。如何讓學生理解和掌握好這部分的知識點，是高校數學教學中一個非常值得探討的課題。在本文中，討論了怎樣利用重積分求解物體的質心問題。結合實際應用，使學生更好地理解所學的知識。

關鍵詞：重積分；元素法；質心

一、 引言

大學的生活是豐富美好的，而數學這門學科的學習卻往往令大部分學生感到望而生畏。高等數學這門課程是學生在大學一年級就會接觸到的數學基礎課。其對其他數學科目的學習有著重要的影響。因此，高等數學的教與學在大學學習中是非常受到關注的。

如何在高等數學的課堂教學中恰當地做到理論聯系實際，進而提高學生在學習過程中的主動性呢？接下來，通過對重積分的應用這一節內容的教學設計來簡單地探討這個問題。在同濟大學第7版的《高等數學》中，我們在第十章第四節中討論了重積分的應用。具體地，利用重積分計算了曲面的面積、物體的質心、轉動慣量與引力。本文針對物體的質心求解問題來探討這一節的教與學。

二、 重積分求解物體的質心

利用重積分求解物體的質心是建立在重積分元素法的基礎上的，而重積分的元素法是定積分元素法的推廣。因此，在本堂課程的教學中我們首先回顧定積分的元素法。在高等數學上學期的第六章第七節中我們學習了定積分的元素法。其主要分為三個步驟：首先合理地選擇積分變量，然后求出部分量的近似值的表達式，最后對所得的近似值求解定積分。我們知道定積分針對的是一元函數，而二重積分的積分對象是二元函數。因此，增加定積分元素法中的變量個數，并在積分區域上對得到的近似值求解二重積分可以建立重積分元素法。

接下來，通過重積分的元素法求解物體的質心。假設平面薄片為xOy面上的閉區域D，面密度μ（x，y）連續，求解物體質心的坐標（圖1）。

根據重積分的元素法，可以求解出質量元素dM=μ（x，y）dσ，對x軸的靜矩元素dMx=yμ=（x，y）dσ，對y軸的靜矩元素dMy=xμ（x，y）dσ，其中dσ是面積微元。在區域D上，對各項元素求解二重積分可以得到物體的質心坐標：X=MyM=∫∫yμ（x，y）dσ∫∫μ（x，y）dσ。

三、 質心問題的應用

最后，通過舉例說明物體質心問題在實際生活中的應用。在體育賽事中，我們能欣賞到運動員在跳高項目的精彩表現。為什么背越式的跳高特別受到運動員的青睞呢？在圖2中描述了兩種不同的跳高方式，分別為背越式與俯臥式。當運動員在起跳時，其將生物能轉化為動能。因此，運動員采用兩種不同方式跳高時，身體在最高點處的質心在同一水平線上（黑色實心點）。當背越式跳高時，質心在身體外，處于腰部以下。而俯臥式的跳高方式中，質心位于身體上，處于腹部位置。因此，在俯臥式跳高中，為了使運動員成功越過橫桿，需要將橫桿設置在質心的下方。對比橫桿的位置，可以發現采用背越式跳高可以幫助運動員取得更好的成績。

四、 結論

通過對背越式跳高秘密的分析，我們可以更好地理解物體質心在實際生活中的應用。學以致用，這也是對所學內容的最好的理解。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.高等數學7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 孫泊，閆之樸，趙美魯，等.背越式跳高起跳技術分析[J].聊城大學學報，2006（19）：78-80.

作者簡介：左玲，湖北省武漢市，湖北工業大學理學院。