迭代運算對涌現現象的變量影響作用

邊尚澤

摘 要 在科學的研究過程中，人們在許許多多的領域中都觀察到了一種奇特的現象：涌現。所謂涌現，就是指由一些簡單部分組成的整體系統表現出了超乎想象的復雜性。比如，簡簡單單的沙粒組合成的沙丘，可以有十分夸張的起伏變化，行動簡單的螞蟻組成的蟻群可以以幾乎最優的辦法捕食，搭建巢穴。本文研究復雜系統的涌現現象，不僅可以解決人們的好奇，對于天氣預測，金融市場的走向甚至是生命的起源等問題都可以給出有效的回答。

【關鍵詞】迭代運算 涌現現象 變量

1 涌現現象的原因

涌現現象的內在原因就是系統內部的自我反饋。具體而言，就是系統自身在前一狀態的一些參數，可以影響到后一狀態的參數變化。筆者的觀點，之所以能產生這種影響作用的原因主要有兩個：

（1）疊加運算可以出現指數爆炸現象，使得一些參數可以在極少的幾次迭代運算中對整體數據產生巨大的影響。

（2）在一些特定情況，簡單部分特定組合后可以形成一個相對穩定，稍顯復雜的小體系，多個小體系又形成了一個更為復雜的二級體系，層層迭代后最終變成了一個龐雜的完整體系。而如果只是簡簡單單地去看初始的極簡個體和最終的龐雜體系，大約所有的人都會對涌現現象的出現感到奇怪。

2 迭代運算對涌現現象的變量影響

對于只和參數相關的迭代運算而言，如果我們真的去看每次迭代結果和初始參數的關系的話，我們會驚奇的發現，二者的函數關系方程并非是一成不變的，而是每次都有巨大的變化。以邏輯斯蒂映射方程為例（xn=Rxn-1（1-xn-1））。如果我們去觀察初始參數x0和x5，x10之間的函數關系的話，會發現二者可以說是截然不同的。并且在這兩個函數關系中，都會出現類似xx這種變化迅猛的部分。可以說正是因為這種迭代運算使的原本極其簡單的關系在多次迭代后變成了一個超乎意料的復雜整體，并且這個整體當中會有一些變化迅猛的部分。實際上邏輯斯蒂映射方程只有在完成多次迭代后才可以表現出一定的涌現，而指數函數也要經歷一定的準備才可以表現出指數爆炸的態勢，這也從一定程度上說明了，正是由于迭代引起的函數關系的變化，使其從一個相對直白的冪函數變為了變化劇烈的指數函數，擁有了原本形勢下根本不會具有的一些特性。這從一定程度上可以解釋為何邏輯斯蒂映射方程在R值突破臨界之后整個函數會出現劇烈的震蕩，并且對于僅有略微不同的初始值可以變化出差距巨大的差異了。實際上，倘若我們已經確定了迭代的次數后，再去看特定x0或特定R值的話，并不會出現出乎意料的涌現現象或者是難以用已有的數學知識解答的變化浮動。再言之，對于邏輯斯蒂映射方程這樣的迭代方程，除了x0和R這兩個其他函數中常見的變量以外，迭代的次數也是十分重要的一個變量，對于這種函數的研究，倘若還是簡簡單單使用一個二維坐標系的話，必然會表現出一些我們當下數學中難以解答的現象，只有使用一個可同時直觀體現三個變量的三維坐標系來觀察，才可以看到它富有規則和紀律性的一面。

從另一個角度而言任何一個自身影響的變化體系都會因為迭代而變得極度敏感且變化多端。也許一個神經系統的對外界變化的極度敏感在一定程度上也是由此而產生的，我們對顏色，音色的細微變化的感知很可能就是因此而出現的。而在明顯使用數學工具的領域里，如果能從預定的迭代次數出發，直接去推導末態和初態的關系，也許可以幫助我們避開很多因為涌現而出現的麻煩。

對于簡單個體出現小整體系統，小系統再組合催生二級系統，多次變化后出現龐雜系統這一觀點，并非空穴來風。從一個最簡單的角度出發，分形：從十公里，公里，十米，厘米這些角度去看海岸線，得到的圖形都是十分相似的，這種現象就是分形。我們知道一個單純的細胞不可能完成打籃球，交流等工作，但由細胞組成的人體甚至可以完成比這要麻煩，困難的多的工作。我們之所以可以做到這些，正式因為簡單的細胞們組成了組織，而組織這一整體擁有了單個細胞不具有但又完全沒有的功能。比如單個表皮細胞是無法起到任何保護作用的，但多個表皮細胞組合到一起就可以形成一塊表皮組織從而起到一定的保護效果。而表皮組織在和其他組織結合在一起時就可以形成一小塊皮膚，完成散熱，排汗，感受等多重功能。值得注意的是，在形成二級系統時就已經擁有了很多單個細胞所沒有的功能了。而多塊皮膚和其下的肌肉，骨骼相組合，就可以形成一塊肢體并完成一定的運動，再經過一定的組合后，就可以得到一個可以理解復雜規則并在其中游戲的人。其實我們也可以從機械的角度去看待這種現象。一小塊鐵皮或者一個齒輪都不會有明顯的功能，但多塊鐵皮或者多個齒輪組合到一起就可以完成容納或者是傳動的功能。多個簡單功能的組合就可以完成一個更加復雜了功能了，最后甚至可以組裝成飛機甚至航天器。但如果單單看一塊鐵皮或者一個齒輪，翱翔天際明顯是不可能的，但高級復雜功能的出現并非是突如其來的，先是進行簡單的同類聚集而將個體的功能放大到可以使用的地步，再講多個可使用的功能進行組合而獲得更為高級的功能，多個高級功能再組合就可以完成一些極度復雜的任務了。

所以從這個角度而言涌現之所以可以出現，就是應為一個小部分的功能得到了層層迭代，最終獲得了我們想要的復雜系統。在這個過程中有兩個必要的前提，第一最最基本的小部分要能夠穩定組合，第二多個小部分之間能夠有機結合。沙丘，海岸線只滿足了第一個條件，所以僅僅能夠表現出在不同尺度上的形狀相似和一定程度上的復雜。無法完成有機結合的話就無法完成功能上的突破，整體的系統也就難以體現出多少涌現性了。從這個角度而言，當我們要研究一個難以用簡單模型概括的龐雜整體時，不妨先去看看數量較少的個體組合能體現出怎樣的功能，再看看這個組合能否與其他組合進行有機結合，從而一步步的探索涌現出現的原因。熱帶叢林中的行軍蟻，單單一只的行為十分簡單，而又百萬之重時其變化多端讓人難以想象，在研究這種現象時，倘若從個體的緊密連接和兩個整體間的結合出發，可能會所切入。

從參數的角度來看，一個個體就如同一個小小的數據，經過層層組合就如同層層迭代，最終的結果就是和上文中所述一樣，一個小小的參數變化最終使整個系統都體現出了巨大差異。有時一個機械系統會因為一個小零件而整體崩潰，很可能就是這個原因。至于生命系統即使許多細胞不正常死亡，生命系統也可以繼續生存，很有可能是因為生命系統可以自我檢測、自我調節，從而防止了小變量的層層迭代而引起的巨大變化。

3 結語

所以，迭代疊加可以出現指數爆炸級的涌現現象，一些參數可以在極少的幾次迭代疊加運算后對整體數據產生巨大的影響；某些特定情況，簡單部分特定組合后形成的相對穩定、稍顯復雜的小體系，多個小體系又構成了更為復雜的二級體系，層層迭代后，最終變成了龐雜的完整體系。這就是迭代運算和涌現現象之間的可能存在的內部聯系，從數學的純計算角度和從較為復雜的系統工程都不難看出迭代運算對于較小變量的放大影響作用。所以迭代的次數應該成為我們研究如邏輯斯蒂映射方程之類的復雜系統問題時的重要研究變量。而對于個體間的結合，以及兩個較大整體的有機融合，則要成為我們研究功能單一的簡單整體，如何通過組合而形成更大的整體，從而實現復雜功能。

作者單位

山東淄博實驗中學2015級14班 山東省淄博市 255000