改進的Poyting-Thomson巖石蠕變模型研究

楊廣雨 王 偉 趙 騰 李學浩 秦志軍

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育重點實驗室，南京 210098；2. 河海大學 巖土工程科學研究所，南京 210098； 3. 山西省交通規劃勘察設計院， 太原 030012)

在巖土工程中，巖石流變是影響著工程安全穩定性的重要因素，因此巖石流變的研究也就顯得越來越重要，其中元件模型是研究巖石流變性質的重要工具．傳統的力學元件無法有效地模擬巖石加速蠕變階段的蠕變特性，因此很多學者在已建立的巖石流變模型的基礎上通過引進可以模擬加速蠕變特性的非線性元件，然后將非線性元件與傳統流變模性進行適當地組合，從而能夠很好地模擬巖石的3個階段的蠕變過程．

目前，對巖石非線性流變階段的元件模型研究已經取得了一定的成果，康永剛等[1]構建一種非牛頓體特性的力學元件，然后利用這些元件建立蠕變模型，很好地模擬了加速蠕變過程；周家文[2]等在廣義Bingham模型的基礎上結合能反映巖石加速蠕變特點的非線性函數，從而可以較好地模擬巖石加速蠕變特性；殷德順等[3]通過引進Riemann-Liouville分數階微積分算子理論，構造出一種可以反映巖石加速蠕變特性的力學元件；李成波[4]等提出了一種非定常參數粘彈性模型，從而較好地模擬巖石非線性蠕變過程；朱昌星等[5]提出了一種黏滯系數為非定常參數的巖石蠕變模型，該模型能夠反映巖石加速蠕變特性流變模型；徐衛亞等[6]構造了一種非線性黏彈塑性力學元件，并由此建立了"河海模型"，該模型能夠很好地模擬了巖石加速蠕變特性．宋勇軍等[7]構造了一種含有分數階的軟體元件即FC元件，該元件能夠較好地描述巖石加速蠕變階段的力學特性；曹平等[8]通過結合流變力學理論，對傳統的黏性元件進行改進，從而能夠很好地反映巖石加速蠕變特性；曹文貴等[9]通過引用損傷理論來模擬巖石加速蠕變；康永剛等[10]通過將一種非定常黏壺替換伯格斯模型中的定常黏壺，從而有效地模擬巖石加速蠕變階段的巖石特性．本文通過引進一種非線性黏塑性元件并將其進行改進，然后將此改進后的元件與飽依丁-湯姆遜體(Poyting-Thomson)進行串聯，建立起能夠反映巖石蠕變全過程的蠕變模型，并結合巖石蠕變試驗數據對其進行驗證．

1 模型的建立

1.1 傳統的Poyting-Thomson模型

經典的Poyting-Thomson模型是由一個Maxwell體與一個胡克體并聯組成，該模型不僅結構形式簡單，而且可以較好地模擬巖石蠕變的前兩個階段，同時由于模型中有著兩個胡克體并聯的結構形式，所以可以反映巖石在受力瞬間所產生的初始彈性變形，Poyting-Thomson力學模型如圖1所示．

圖1 Poyting-Thomson流變模型

(1)

根據其本構方程再結合Laplace變換可以求得相應的蠕變方程(具體的推導過程見下文)，當應力為σ0并保持不變時，可以推求模型的蠕變方程為

(2)

圖2 Poyting-Thomson蠕變曲線示意圖

由上圖2的模型蠕變曲線特點可知，傳統的Poyting-Thomson模型不僅可以能夠很好地模擬巖石衰減蠕變及穩態蠕變[11]階段，而且可以反映巖石瞬時彈性變形，但是卻無法有效模擬巖石亞穩態蠕變階段及加速蠕變階段．

1.2 改進后的Poyting-Thomson模型

由于傳統的Poyting-Thomson模型中的元件都是線性元件，這也決定了其無法模擬巖石蠕變的加速蠕變階段，因此本文在原模型的基礎上通過再構建一個非線性元件，使得改進后的Poyting-Thomson模型能夠模擬巖石蠕變全階段．

本文通過在徐衛亞等[12]提出的非線性元件的基礎上進行改進后，提出了新的黏性元件，該元件如圖3所示．

圖3 本文所用的非線性流變元件示意圖

改進后的黏性元件的應力-應變關系滿足下式：

(3)

將改進后的非線性元件與Poyting-Thomson模型進行串聯，得到四元件非線性黏彈塑性流變模型即改進的Poyting-Thomson模型，該力學模型如圖4所示．

圖4 本文構建的非線性黏彈塑性流變模型

1)當σ≤σs時，改進的四元件模型就相當于一個線性牛頓體黏壺與Poyting-Thomson模型串聯，由此可得模型的狀態方程為

(4)

2)當σ>σs時，本文建立的模型就變成一個非線性黏彈塑性流變模型，此時該模型的狀態方程變為

(5)

通過對上述(4)、(5)式的整理，可以得出該模型的本構方程為

1)當σ≤σs時，模型本構方程為

2)當σ>σs時，模型本構方程為

1.3 改進后的流變模型蠕變方程及其特性

當t=0時，σ=σ0，此時改進的四元件的流變模型需要滿足以下初始條件：

(8)

將上述初始條件帶入本構方程內，并利用Laplace變換可得到改進后的Poyting-Thomson模型的蠕變方程為

(10)

當σ0≤σs時，對應變分別求一階導數與二階導數可得

(12)

當σ0>σs時，分別對其求一階導數與二階導數可得

(14)

對改進后的Poyting-Thomson模型中的參數分別賦予合適的值，這里取E1=E2=10 MPa，η2=10 MPa·d，σ0=10 MPa，η1分別不同大小的的值，可以得到不同情況下的模型蠕變曲線．

當σ0≤σs時，改進的Poyting-Thomson模型的蠕變曲線如圖5所示．

圖5 改進的模型的蠕變曲線示意圖

當σ0>σs時，E1=E2=10 MPa，σ0=10 MPa，η2=η2=10 MPa·d，n取不同大小的值，從而可以得到改進的Poyting-Thomson模型的蠕變曲線如圖6所示．

圖6 不同n值下的模型蠕變曲線

根據圖2、圖5與圖6中的蠕變曲線特點可知，當應力σ0>σs時，改進后的Poyting-Thomson模型不僅可以模擬穩態蠕變階段，而且可以模擬亞穩態蠕變階段，當σ0>σs時，通過對模型中的參數賦予不同的值，新模型可以模擬巖石的不同性態的蠕變全過程．

2 模型參數的確定

2.1 模型參數辨識方法

本文建立的四元件模型中共有5參數，所以參數的確定與其他模型參數確定相比具有很大的優勢，這5個參數分別為；η1，n，E1，E2，η2，當σ0≤σs時，此時流變模型中只有η，E1，E2，η24個參數，利用試驗曲線結合最小二乘法可以準確地確定這4個參數，當σ0>σs時，由于式中含有t的冪函數，為了得到更加精確的參數值，不宜再用最小二乘法，而是采用流變曲線分解法，即通過分析試驗曲線中的應變率的變換特點，從而可以得出穩定蠕變與加速蠕變的臨界時間tc，在tc之前利用最小二乘法擬合得到η，E1，E2，η24個參數，然后利用這4個參數得到巖石蠕變全程曲線，然后將試驗曲線與得到的全程模擬曲線進行做差可以得到相應的差值，該差值為時間的函數，將該差值對時間t進行冪函數形式的擬合，從而可以得到流變指數n，至此，流變模型中的所有參數全部得出．

2.2 四元件非線性黏彈塑性模型參數辨識

本文通過引用邱賢德等[13]人的長山巖蠕變試驗數據曲線以及鄧榮貴等[14]人的巖石蠕變數據來進行驗證模型的可靠性與正確性．初始應力為14.72 MPa條件下的長山巖單軸壓縮蠕變試驗曲線如圖7所示．

圖7 巖石蠕變試驗曲線

為了檢驗本文所改進的Poyting-Thomson模型的正確性及可靠性，這里擬用經典的Burgers模型，未改進的Poyting-Thomson模型，以及改進的Poyting-Thomson模型分別對圖7中的長山巖蠕變曲線進行擬合，擬合結果如圖8所示．

圖8 巖石試驗數據及模型擬合曲線

模型E1/MPaE2/MPaη1/(MPa·h)η2/(MPa·h)n改進的P?T模型82．34295．3918737947210．021．09未改進的P?T模型332．034．39153．05//Burgers模型18．44272002．06911．52522．28/

本文這里還對鄧榮貴等人的巖石蠕變試驗曲線進行擬合，該試驗是在單軸壓力為0.7 MPa下的巖石蠕變試驗，其巖石蠕變數據如圖9所示．

圖9 巖石蠕變試驗曲線

這里仍用上述3種模型對蠕變試驗數據進行擬合，模型擬合結果如圖10所示．

圖10 巖石試驗數據及模型擬合曲線

模型E1/MPaE2/MPaη1/(MPa·h)η2/(MPa·h)n改進的P?T模型26．5271．08771483．864908．090．42未改進的P?T模型88．191．9468．06//Burgers模型363．1452317．63673．7197．28/

通過圖8與圖10中模型的擬合曲線可知，改進后的Poyting-Thomson流變模型較未改進的Poyting-Thomson流變模型以及經典的Burgers模型對巖石的蠕變數據擬合程度更好，這表明改進后的Poyting-Thomson模型的正確性及可靠性．

3 結 論

1)本文通過在Poyting-Thomson流變模型的基礎上引進非線性流變元件，建立新的四元件形式的非線性黏彈塑性流變模型，并推導了對應的本構方程及蠕變方程，并且對其流變特性進行了深入的探究，從中得出該模型具有以下特點：當σ0≤σs時，該模型能夠較好地描述巖石蠕變的衰減階段及穩定階段，當σ0>σs時，該模型能夠較好地模擬巖石蠕變全過程．

2)將本文建立的模型、傳統的Poyting-Thomson流變模型以及經典Burgers模型分別對與長山巖與水電站壩區斷層巖石蠕變試驗曲線進行擬合．根據擬合結果可知，改進后的Poyting-Thomson模型對巖石的蠕變數據擬合程度更高，這表明了本文建立的改進后的Poyting-Thomson模型的正確性．

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