滯后型脈沖微分方程的有界變差解

李寶麟, 安曉偉, 茍海德

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

Henstock-Kurzweil積分包含了Riemann積分和Lebesgue積分[1],這類積分的一個典型特征是如F′(t)這樣的高振動函數的積分可以定義,其中F(t)=t2sin t-2,t∈(0,1],F(0)=0.Henstock等[2]于1957—1958年建立的Henstock-Kurzweil積分在常微分方程問題研究中有很好的應用.李寶麟等[3]借助Henstock-Kurzweil積分研究了一類滯后型泛函微分方程

的有界變差解的存在性.本文在文獻[3]的基礎上,借助Henstock-Kurzweil積分,考慮滯后型脈沖微分方程

(1)

的有界變差解的存在性,其中t0∈R,r≥0,σ≥0,x∈Rn表示定義在[t0-r,t0+σ]上的函數.對任意的t∈[t0,t0+σ],定義函數xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],Ik:Rn→Rn連續,k=1,2,…,m,t0

(2)

本文假定滯后型脈沖微分方程的右端函數所滿足的條件比文獻[4-6]更為廣泛,假定被積函數f是Henstock-Kurzweil可積的,且φ是正則函數.

1 Henstock-Kurzweil積分

引理1.2[6]如果u在[a,b]上Lebesgue可積,則它在[a,b]上H-K可積.

引理1.3[6]如果u在[a,b]上是非負的且H-K可積,則它在[a,b]上Lebesgue可積.

定理1.4設u,um:[a,b]→Rn,m=1,2,…,其中{um}在[a,b]上H-K可積.如果:

(i) 存在正值函數δ:[a,b]→R+,使得對任意的ε>0,存在P:[a,b]→N及定義在閉區間J?[a,b]上的正值超可加區間函數Φ:J?[a,b]→R+,滿足Φ([a,b])<ε,使得對每個τ∈[a,b]及δ-精細區間[τ,j],τ∈J,當m>P(τ)時,有

‖(um(τ)-u(τ))|J|‖≤Φ(J);

(3)

(4)

則稱u在[a,b]上H-K可積,且

(5)

證明易知Rn-值函數是收斂的當且僅當它的每個分量都收斂.因此,不失一般性,僅考慮實值函數序列.設u是一個實值函數,由(3)式有

|(um(τ)-u(τ))|J||≤Φ(J).

再由文獻[8]的定理1.29,結論成立.

2 滯后型脈沖微分方程

本章主要回顧滯后型脈沖微分方程及相關的結果.

顯然,當函數x∈G-([t0-r,t0+σ],Rn)時,對任意的t∈[t0,t0+σ]都有xt∈G-([-r,0],Rn).

令H1?G-([-r,0],Rn),{xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}?H1,假設f(t,xt):(t,xt)∈[t0,t0+σ]×G-([-r,0],Rn)滿足以下條件:

(A) 存在正值函數δ(τ):[t0,t0+σ]→R+,使得對每個區間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,t0+σ]及x∈G1,都有

‖f(τ,xτ)(v-u)‖≤|h(v)-h(u)|;

(B) 對每個區間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,t0+σ]及x,y∈G1,都有

‖f(τ,xτ)-f(τ,yτ)‖(v-u)≤
ω(‖xτ-yτ‖)|h(v)-h(u)|,

其中,h:[t0,t0+σ]→R是不減的左連續函數,ω:[0,∞)→R是連續的增函數,且ω(r)=r,r≥0.

定義2.1設Ω?[t0,t0+σ]×H1是開集,若函數f:Ω→Rn是Carathéodory函數,如果f滿足條件(A)和(B),則f∈H(Ω,h,ω).

證明設ε>0給定,由條件(B),對每個τ∈[α,β]?[t0,t0+σ],t1≤τ≤t2,[t1,t2]?[α,β],有

‖f(τ,(xk)τ)-f(τ,xτ)‖(t2-t1)≤
ω(‖(xk)τ-xτ‖)(h(t2)-h(t1)).

(6)

令

函數μ:[α,β]→R是不減的且μ(β)-μ(α)<ε,因此

由于對每個t∈[α,β],函數ω在0處連續,則存在p(τ)∈N,使得對k≥p(τ),有

令Φ(J)=μ(t2)-μ(t1),J=[t1,t2],對k≥p(τ),不等式(6)可寫為形式

其中τ∈J?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[α,β].

S={x∈Rn:‖x‖

(7)

證明由于每個有界變差函數都是有限階梯函數的一致極限[9],由推論2.3,結論成立.

(8)

成立.

由ε>0的任意性有

下面考慮方程(2)的脈沖項,對脈沖函數Ik:Rn→Rn,k=1,2,…,n,假設以下條件成立.

(C) 存在一個常數K>0,使得對所有的k=1,2,…,n及x,y∈Rn,有

Ik(x)-Ik(y)≤K|x-y|.

給定一個d∈[t0,t0+σ],定義

則

且方程(2)等價于

3 有界變差解的存在性

定義3.1[10]x(t,t0,x0),t∈[t0,T]?[a,b]是滯后型脈沖微分方程(1)的解,如果:

(ii)x(t)在[t0,T]上的任意緊子區間是有界變差的;

(iii) 對t∈[t0,T],有(x,t)∈G;

(v)Δ(t)|t=tk=x(tk+)-x(tk)=Ik(x(tk)),tk∈[t0,T].

定理3.2設f∈H(Ω,h,ω).如果x:[α,β]→Rn,[α,β]?[t0-r,t0+σ]是方程(6)的一個解,則x在[α,β]上有界變差且

證明令α=t0

引理3.3設X是Banach空間,U是X中的有界閉凸集,T:U→U連續且T(U)列緊,則T在U上必有一個不動點.

定理3.4設φ是H1上的函數,f∈H(Ω,h,ω),Ik:Rn→Rn滿足條件(C),且對θ1,θ2∈[-r,0],有

‖φ(θ1)-φ(θ2)‖≤|h(θ1)-h(θ2)|,

(10)

則對每個(t0,φ)∈Ω,存在Δ>0,使得方程(2)在區間[t0-r,t0+Δ]?[t0-r,t0+σ]上存在解

G-([t0-r,t0+Δ],Rn).

證明考慮以下2種情形:函數h:[t0,t0+σ]→R在點t0處連續及不連續.

首先,設函數h在點t0處連續,即有h(t0+)=h(t0).由于G1是開集,則存在Δ>0,使得對任意的t∈[t0,t0+Δ]?[t0,t0+σ]及x∈Rn有

‖x(t)-φ(0)‖=‖x(t)-x(t0+)‖<
|h(t)-h(t0)|, (t,xt)∈Ω.

‖z-φ(0)‖≤‖zk-z‖+‖zk-φ(0)‖<ε+b,

即有

‖z-φ(0)‖≤b.

類似地,對每個t∈[t0,t0+Δ]有

從而,對任意的ε>0及t∈[t0,t0+Δ],當k∈N充分大時有

即有

其中,

h(t)=h1(t)+h2(t),

其中θ1=s-t0∈[-r,0].令

b=max{|h(t0+Δ)-h(t0)|,

|h(θ1)-h(θ)|},

(11)

取t0≤s1

和

因此

由ε>0的任意性有

及

(13)

從而由函數ω1=ω(r)+K在0處連續,且ω1(0)=0,有

從而由(13)式有

再由(11)式有

另一方面,對t∈[t0-r,t0]有

(Tzk)(t)=φ(t-t0)=(Tz)(t),

則Tzk→Tz(k→∞),即T是連續映射.

最后,證明T(Q)?Q在Banach空間BV([t0-r,t0+Δ],Rn)是序列緊的.

由(8)式有y∈BV-([t0-r,t0+Δ],Rn),且易證

從而T是序列緊的.

下面考慮函數h在點t0處不連續.定義

類似于上一種情形,存在Δ>0,使得對t∈[t0,t0+Δ]?[t0,t0+σ]及x∈Rn,(t,xt)∈Ω,有

G-([t0-r,t0+Δ],Rn).

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