一類積分號外具有非常數因子的弱奇異時滯積分不等式

覃煒達, 王五生

(河池學院 數學與統計學院, 廣西 宜州 546300)

Gronwall[1]和Bellman[2]為了證實微分方程解對參數的連續依賴性研究了積分不等式

其中c≥0是常數,得到了未知函數的估計

(1)

由于Gronwall-Bellman型積分不等式是研究微分方程、積分方程解的存在性、有界性、穩定性和唯一性等定性性質的重要工具,人們不斷地對它的形式進行了各種推廣,使它的應用范圍不斷地擴大.文獻[3-6]及其引文研究了具有連續積分核的積分不等式;文獻[7-14]及其引文研究了具有奇異積分核的積分不等式.為了證實拋物型柯西問題解的全局存在和指數衰減結果,Henry[7]研究了線性奇異積分不等式

Ye等[8]討論了積分號外具有非常數因子的線性奇異積分不等式

利用復雜的冪級數給出了未知函數的估計.為了用顯式界表示不等式中未知函數的估計,Medved[9]給出了另一種類似于經典Gronwall-Bellman不等式中未知函數估計的方法.最近,Ma等[11]用改進的Medved方法研究了弱奇異積分不等式

f(s)uq(s)ds,t∈[0,+∞).

(2)

受文獻[9,11]的啟發,本文研究了積分號外具有非常數因子的非線性奇異時滯積分不等式

f(s)uq(s)ds,t∈[t0,+∞).

(3)

不等式(3)把文獻[11]中的不等式(2)推廣為時滯不等式.為了研究這個時滯弱奇異不等式(3),首先證明了具有時滯的H?lder積分不等式,然后給出了一類冪形式積分不等式中未知函數的估計,接著得到了時滯弱奇異不等式(3)中未知函數的估計.最后舉例說明了本文結果可以用來研究分數階積分方程解的性質.

1 主要結果與證明

成立.假設函數α(t)是區間[t0,+∞)上的連續、可微、單增函數,且有α(t)≤t,α(t0)=t0,則

(5)

證明不等式(4)是經典的H?lder不等式，不需要證明.利用經典的H?lder不等式(4)可以推出

(6)

故H?lder不等式中積分上限是滿足引理條件的函數時也成立.

引理2[10-11]令a≥0,p≥q≥0和p≠0,則對任意K>0有

(7)

引理3[11]令β、γ、ξ和p都是正常數,則

t∈[0,+∞).

(8)

假設函數α(t)是區間[t0,+∞)上的連續、可微、單增函數,且有α(t)≤t,α(t0)=t0,則

t∈[0,+∞),

(9)

引理4[11]假設正常數β、γ、ξ、p1、p2滿足下列條件之一:

1)β∈(0,1],γ∈(1/2,1),ξ≥3/2-γ,p1=1/γ;

2)β∈(0,1],γ∈(0,1/2],ξ>(1-2γ2)/(1-γ2),p2=(1+4γ)/(1+3γ),

則對i=1,2都有

θi=pi[β(γ-1)+ξ-1]+1≥0.

(10)

引理5[11,14]假設函數u(t)、η(t)、θ(t)、h(t)都是區間[0,+∞)上的非負連續函數,q≥1,則不等式

t∈[0,+∞)

(11)

中的未知函數有估計式

t∈[0,+∞),

(12)

其中

(13)

引理6假設函數u(t)、η(t)、θ(t)、h(t)都是區間[t0,+∞)上的非負連續函數,q≥1,t0≥0,函數α(t)是區間[t0,+∞)上的連續、可微、單增函數,且有α(t)≤t,α(t0)=t0,則不等式

t∈[t0,+∞)

(14)

中的未知函數有估計式

t∈[t0,+∞),

(15)

其中

(16)

證明為了證明方便,先定義區間[t0,∞)上的函數

(17)

顯然有v(t0)=0.求函數v(t)的導數,利用(14)和(16)式得

v′(t)=α′(t)h(α(t))uq(α(t))e(α(t))+

α′(t)h(α(t))uq(α(t))e(α(t))-

α′(t)h(α(t))θq(α(t))e(α(t))×

α′(t)h(α(t))uq(α(t))e(α(t))-

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t)≤

[(α′(t)h(α(t)))1/qη(α(t))e1/q(α(t))+

(α′(t)h(α(t)))1/qθ(α(t))×

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t)≤

[(α′(t)h(α(t)))1/qη(α(t))e1/q(α(t))+

(α′(t)h(α(t)))1/qθ(α(t))×

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t)≤

[(α′(t)h(α(t)))1/qη(α(t))e1/q(α(t))+

(α′(t)h(α(t)))1/qθ(α(t))v1/q(t)]q-

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t).

(18)

不等式(18)兩邊積分,由v(t0)=0得

η(α(s))e1/q(α(s))+

(α′(s)h(α(s)))1/qθ(α(s))v1/q(s))qds-

(19)

另一方面,根據Minkovsky不等式得

(α′(s)h(α(s)))1/qθ(α(s))v1/q(s))qds)1/q≤

(20)

由(19)和(20)式推出

(21)

根據v(t)和e(t)的定義,可得

(22)

(23)

由(23)式可得

(24)

把不等式(24)代入(14)式得到所要的估計式(15).

定理1假設函數u(t)、a(t)、b(t)、f(t)是區間[t0,+∞)上的非負連續函數,α(t)是區間[t0,+∞)上的連續、可微、單增函數,且有α(t)≤t,α(t0)=t0,p、q、β、γ、ξ都是正常數且有p≥q.如果未知函數u(t)滿足不等式(3).

1) 假設β∈(0,1],γ∈(1/2,1),ξ≥3/2-γ;則對任意K>0,有未知函數的估計

(25)

其中

2) 假設β∈(0,1],γ∈(0,1/2],ξ>(1-2γ2)/(1-γ2),則對任意K>0有未知函數的估計

(26)

其中

注1不等式(3)、(25)和(26)中,令α(t)=t,t0=0,則得到文獻[11]的結果.

證明把不等式(3)中的積分部分定義成函數w(t),即

f(s)uq(s)ds,t∈[t0,+∞),

(27)

則有

up(t)≤a(t)+w(t),

即

u(t)≤(a(t)+w(t))1/p,t∈[t0,+∞).(28)

利用引理2,對任意K>0由(28)式得到

uq(t)≤(a(t)+w(t))q/p≤

t∈[t0,+∞).

(29)

把(29)式代入(27)式得到

sξ-1f(s)w(s)ds,

(30)

其中

若β∈(0,1],γ∈(1/2,1),ξ≥3/2-γ,令p1=1/γ,q1=1/(1-γ);若β∈(0,1],γ∈(0,1/2],ξ>(1-2γ2)/(1-γ2),令p2=(1+4γ)/(1+3γ),q2=(1+4γ)/γ,則1/pi+1/qi=1對i=1,2都成立.利用引理1中的H?lder不等式,由(30)式推出

w(t)≤b(t)×

(31)

利用引理3和4,對任意t∈[t0,+∞),不等式(31)可以改寫成

(32)

其中

(33)

θi(i=1,2)的定義在引理3中給出.利用引理6,對任意t∈[t0,+∞),由(32)式可得

[1-[1-Vi(t)]1/qi]-1×

(34)

其中

(35)

把p1=1/γ,q1=1/(1-γ)和p2=(1+4γ)/(1+3γ),q2=(1+4γ)/γ分別代入(34)和(35)式,再考慮關系式(28),得到所要證明的估計式(25)和(26).

2 應用

考慮下面的Volterra型分數階積分方程

sβ(1+δ)-1yq(s)ds=f(t).

(36)

Ma等[11]研究了該方程在α(t)=t的情況.此類方程常常出現在各種實際問題中,特別是用來描述物理過程的后效性.

定理2假設函數y(t)和f(t)是區間[0,+∞)上的連續函數;α(t)是區間[t0,+∞)上的連續、可微、單增函數,且有α(t)≤t,α(t0)=t0;p、q、β、γ、δ是正常數,且p≥q.如果y(t)是方程(36)的解.

(i) 如果β∈(0,1],γ∈(1/2,1),β(1+δ)≥3/2-γ,則對任意K>0,有未知函數的估計

|y(t)|≤{|f(t)|+

(37)

其中

(ii) 如果β∈(0,1],γ∈(0,1/2),β(1+δ)>(1-2γ2)/(1-γ2),則對任意K>0,有未知函數的估計

|y(t)|≤{|f(t)|+

(38)

其中

證明由(36)式可以推出

令a(t)=|f(t)|,b(t)=|λ|t-βδ/Γ(γ),ξ=β(1+δ),利用定理1和Bernoulli不等式,

(1-x)1/z<1-x/z,

或

[1-(1-x)1/z]-10,z>0,

由(39)式得到所要證明的分數階積分方程解的估計式(37)和(38).

致謝河池學院2016年碩士專業學位授予單位立項建設基金(2016YT003)對本文給予了資助，謹致謝意.

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