焦點三角形 高考常青樹

摘 要：橢圓、雙曲線上任一點與兩個焦點F1、F2所成的三角形，常稱之為焦點三角形。解焦點三角形問題經常借助于正余弦定理，并結合三角形邊角關系的有關定理加以解題。解題中，經常需要通過變形，結合橢圓、雙曲線的有關定義，使之出現

|PF1|+|PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=±2a，再結合有關條件，進行解題。

關鍵詞：平臺；考查；數量積

一、 以橢圓、雙曲線作平臺，以焦點三角形為工具，考查離心率等知識

高考中，常結合橢圓、雙曲線上任一點與兩個焦點F1、F2所成的三角形，來考查橢圓、雙曲線的有關基礎知識，命題者常以焦點三角形為工具設置考點，如離心率等。

例1 設F1，F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（ ）

A. 52

B. 102

C. 152

D. 5

解析：設F1，F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，設|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中：2a=|AF1|-|AF2|=2，2c=|AF1|2+|AF2|2=10，∴離心率e=102，選B。

點評：解焦點三角形的有關問題，一定要很好結合題中的已知條件，并根據橢圓、雙曲線有關定義，如例1結合已知條件不難求解出雙曲線的a與c。

二、 以平面向量為舞臺，考查以焦點三角形三邊為向量等知識

高考在考查數學基礎知識的同時，注重數學學科的內在聯系和知識的綜合性，經常在知識網絡的“交匯點”處設計試題，常與平面向量相結合，

考查同學們知識能力的綜合運用。

例2 設F1，F2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點。若點P在雙曲線上，且PF1·PF2=0，則|PF1+PF2|=（ ）

A. 10

B. 210

C. 5

D. 25

解析：設F1，F2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點。若點P在雙曲線上，且PF1·PF2=0，則|PF1+PF2|=

2|PO|=|F1F2|=210，選B。

點評：本題主要考查焦點三角形與平面向量等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。需要考生有較扎實的理論知識及較強的分析問題的能力，同時要具備良好的運算能力。本題以圓錐曲線作為主線，與平面向量聯袂，以求向量的模為最終歸宿，充分體現了主干知識在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數學素養和各種能力。

三、 以焦點三角形的邊長為袈裟，考查三角形的面積等知識

在焦點三角形三邊上設置“情境”，與三角形面積的有機結合，綜合考查學生們對新“情境”的處理能力。

例3 設P為雙曲線x2-y212=1上的一點，F1，F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，則△PF1F2的面積為（ ）

A. 63

B. 12

C. 123

D. 24

解析：因為|PF1|∶|PF2|=3∶2，設|PF1|=3x，|PF2|=2x，根據雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|=6，|PF2|=4，|F1F2|=213，（213）2=52=62+42，△PF1F2為直角三角形，其面積為12×6×4=12，選B。

點評：這是以焦點三角形為背景和依托，考查三角形面積的題目。這種將圓錐曲線與三角形面積聯袂上演的題目會成為未來高考中的一個極大亮點。

四、 以平面向量的數量積為歸宿，考查最值等知識

充分利用直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，常在周長、面積和平面向量的數量積上設置最值，來考查同學們的解決問題及推理計算能力。

例4 設F1、F2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點。

（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求PF1·PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點）。求直線l的斜率k的取值范圍。

解析：（Ⅰ）解法一：易知a=2，b=1，c=3

所以F1（-3，0），F2（3，0），設P（x，y），則

PF1·PF2=（-3-x，-y），（3-x，-y）=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14（3x2-8）

因為x∈[-2，2]，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，PF1·PF2有最小值-2

當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，PF1·PF2有最大值1。

（Ⅱ）略。

點評：本題將圓錐曲線與平面向量的數量積的最值兩塊主體內容有機地滲透和聯系在一起。這種在交匯點設計的試題，注重內容的聯系性和知識的綜合性，既能增加知識的考查點，又能從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，可謂視角獨特、回味無窮。

總之，在高考數學試卷中以焦點三角形為依托來考查其他數學知識，使知識之間相映生輝，渾然一體的試題。因此，同學們應加強訓練，加強應用意識，提高應用能力。

參考文獻：

[1]劉克忠.三角形內角平分線性質定理在解高考題中的應用[J].數學學習與研究，2017（16）：130.

[2]雷文軍.淺談解三角形的一題多解——以2016年一道江蘇高考題為例[J].高中數理化，2017（4）：11.

作者簡介：許金聚，福建省泉州市，福建省安溪第八中學。