焦點(diǎn)三角形 高考常青樹

摘 要：橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2所成的三角形，常稱之為焦點(diǎn)三角形。解焦點(diǎn)三角形問題經(jīng)常借助于正余弦定理，并結(jié)合三角形邊角關(guān)系的有關(guān)定理加以解題。解題中，經(jīng)常需要通過變形，結(jié)合橢圓、雙曲線的有關(guān)定義，使之出現(xiàn)

|PF1|+|PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=±2a，再結(jié)合有關(guān)條件，進(jìn)行解題。

關(guān)鍵詞：平臺(tái)；考查；數(shù)量積

一、 以橢圓、雙曲線作平臺(tái)，以焦點(diǎn)三角形為工具，考查離心率等知識(shí)

高考中，常結(jié)合橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2所成的三角形，來考查橢圓、雙曲線的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，命題者常以焦點(diǎn)三角形為工具設(shè)置考點(diǎn)，如離心率等。

例1 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（ ）

A. 52

B. 102

C. 152

D. 5

解析：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中：2a=|AF1|-|AF2|=2，2c=|AF1|2+|AF2|2=10，∴離心率e=102，選B。

點(diǎn)評(píng)：解焦點(diǎn)三角形的有關(guān)問題，一定要很好結(jié)合題中的已知條件，并根據(jù)橢圓、雙曲線有關(guān)定義，如例1結(jié)合已知條件不難求解出雙曲線的a與c。

二、 以平面向量為舞臺(tái)，考查以焦點(diǎn)三角形三邊為向量等知識(shí)

高考在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，經(jīng)常在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的“交匯點(diǎn)”處設(shè)計(jì)試題，常與平面向量相結(jié)合，

考查同學(xué)們知識(shí)能力的綜合運(yùn)用。

例2 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點(diǎn)。若點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1·PF2=0，則|PF1+PF2|=（ ）

A. 10

B. 210

C. 5

D. 25

解析：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點(diǎn)。若點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1·PF2=0，則|PF1+PF2|=

2|PO|=|F1F2|=210，選B。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查焦點(diǎn)三角形與平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。需要考生有較扎實(shí)的理論知識(shí)及較強(qiáng)的分析問題的能力，同時(shí)要具備良好的運(yùn)算能力。本題以圓錐曲線作為主線，與平面向量聯(lián)袂，以求向量的模為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識(shí)在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和各種能力。

三、 以焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)為袈裟，考查三角形的面積等知識(shí)

在焦點(diǎn)三角形三邊上設(shè)置“情境”，與三角形面積的有機(jī)結(jié)合，綜合考查學(xué)生們對(duì)新“情境”的處理能力。

例3 設(shè)P為雙曲線x2-y212=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，則△PF1F2的面積為（ ）

A. 63

B. 12

C. 123

D. 24

解析：因?yàn)閨PF1|∶|PF2|=3∶2，設(shè)|PF1|=3x，|PF2|=2x，根據(jù)雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|=6，|PF2|=4，|F1F2|=213，（213）2=52=62+42，△PF1F2為直角三角形，其面積為12×6×4=12，選B。

點(diǎn)評(píng)：這是以焦點(diǎn)三角形為背景和依托，考查三角形面積的題目。這種將圓錐曲線與三角形面積聯(lián)袂上演的題目會(huì)成為未來高考中的一個(gè)極大亮點(diǎn)。

四、 以平面向量的數(shù)量積為歸宿，考查最值等知識(shí)

充分利用直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，常在周長(zhǎng)、面積和平面向量的數(shù)量積上設(shè)置最值，來考查同學(xué)們的解決問題及推理計(jì)算能力。

例4 設(shè)F1、F2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)。

（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF1·PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。求直線l的斜率k的取值范圍。

解析：（Ⅰ）解法一：易知a=2，b=1，c=3

所以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），設(shè)P（x，y），則

PF1·PF2=（-3-x，-y），（3-x，-y）=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14（3x2-8）

因?yàn)閤∈[-2，2]，故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，PF1·PF2有最小值-2

當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，PF1·PF2有最大值1。

（Ⅱ）略。

點(diǎn)評(píng)：本題將圓錐曲線與平面向量的數(shù)量積的最值兩塊主體內(nèi)容有機(jī)地滲透和聯(lián)系在一起。這種在交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)的試題，注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識(shí)的綜合性，既能增加知識(shí)的考查點(diǎn)，又能從學(xué)科整體的高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，可謂視角獨(dú)特、回味無窮。

總之，在高考數(shù)學(xué)試卷中以焦點(diǎn)三角形為依托來考查其他數(shù)學(xué)知識(shí)，使知識(shí)之間相映生輝，渾然一體的試題。因此，同學(xué)們應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉克忠.三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理在解高考題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（16）：130.

[2]雷文軍.淺談解三角形的一題多解——以2016年一道江蘇高考題為例[J].高中數(shù)理化，2017（4）：11.

作者簡(jiǎn)介：許金聚，福建省泉州市，福建省安溪第八中學(xué)。