一題多解之我見

摘 要：

一題多解就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道習(xí)題的解答。“一題多解”有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的欲望，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)方法和思想的運(yùn)用，學(xué)會(huì)如何綜合運(yùn)用已有的知識不斷提高解題能力。總之，“一題多解”有利于學(xué)生思維能力的提高。

關(guān)鍵詞：一題多解；思維提高；解答

例題1：已知數(shù)列{an}滿足an=nn+2，n∈N，試比較an與an+1的大小。

方法一：作差

an+1-an=n+1n+3-nn+2=2（n+2）（n+3）>0，∴an+1>an

方法二：作商

∵an>0

∴anan+1=nn+2n+1n+3=n（n+3）（n+2）（n+1）=n2+3nn2+3n+2<1

∴an

方法三：單調(diào)性

an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，an關(guān)于n單調(diào)遞增∴an

方法四：濃度法

把a(bǔ)n=nn+2看成是一杯溶液（糖）的濃度，隨著n的增大（相當(dāng)于向溶液中加糖），濃度當(dāng)然增大，易得an

例題2：若直線y=x+k與曲線x=1-y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍。

解法一：曲線方程可化為x2+y2=1（x≥0），把y=x+k代入x2+y2=1（x≥0）

可得：2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），由題意可知方程僅有一個(gè)非負(fù)根

①當(dāng)方程有等根時(shí)，即Δ=（2k）2-8（k2-1）=0，可得k=±2，當(dāng)k=2時(shí)，方程可化為2x2+22x+1=0，得x=-22不合題意；當(dāng)k=-22時(shí)，方程為2x2-22x+1=0

得x=22符合題意，可知k=-2；

②當(dāng)方程根為x=0時(shí)，得k2-1=0，k=±1，當(dāng)k=-1時(shí)，方程為2x2-2x=0，得方程兩個(gè)根為x1=0，x2=1不合題意應(yīng)舍去；當(dāng)k=1時(shí)，方程為

2x2+2x=0，得方程兩個(gè)根為x1=0，x2=-1符合題意，可知k=1；

③當(dāng)方程根為一正一負(fù)時(shí)，只需x1x2=k2-12<0，可得-1

綜上所述：所求k的取值范圍為k=-2或-1

解法二：曲線x=1-y2是單位圓x2+y2=1的右半圓（x≥0），

k是直線y=x+k在y軸上的截距。在同一坐標(biāo)系中畫出兩曲線圖像如圖所示知：直線與曲線相切時(shí)，k=-2，由圖形：可得

k=-2或-1

例題3：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

解法一：由x+y=1得y=1-x，則

x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12

由于x∈[0，1]，當(dāng)x=12時(shí)，x2+y2取最小值12；當(dāng)x=0或1時(shí)，x2+y2取最大值1。

解法二：因?yàn)閤+y=1，x、y≥0，則可

設(shè)x=cos2θ，y=sin2θ

其中θ∈0，π2則x2+y2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2cos2θsin2θ=1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ=1-12×1-cos4θ2=34+14cos4θ

當(dāng)cos4θ=-1時(shí)，x2+y2取最小值12；當(dāng)cos4θ=1時(shí)，x2+y2取最大值1。

解法三：由于x+y=1，x、y≥0，則可

設(shè)x=12+t，y=12-t，其中t∈-12，12，于是，x2+y2=12+t2+12-t2=12+2t2 t2∈0，14

所以，當(dāng)t2=0時(shí)，x2+y2取最小值12；當(dāng)t2=14時(shí)，x2+y2取最大值1。

解法四：由于x、y≥0且x+y=1

則xy≤（x+y）24=14，從而0≤xy≤14，于是x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，所以當(dāng)xy=0時(shí)，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy=14時(shí)，x2+y2取最小值12。

解法五：設(shè)z=x2+y2。

∵x+y=1，∴z=x2+y2-x-y+1=x-122+y-122+12≥12。

當(dāng)x=y=12時(shí)，即x2+y2的最小值為12。

一題多解可以使學(xué)生多角度、多方位地去思考解題，使學(xué)生在積極參與探索、交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生的求知欲。一題多解的訓(xùn)練使學(xué)生思維模式解放了，解題方法多種多樣，這樣才能使得枯燥的數(shù)學(xué)解題變得更加具有吸引性，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]高中數(shù)理化，2014（6）.

作者簡介：禹鳳英，甘肅省蘭州市，蘭州民族中學(xué)。