對新式測高方法的研究

■ 寇天翊

北京市密云區第二中學 101500

1 儀器制作

示意圖（圖1）：

圖1

2 儀器使用方法（默認待測物高于人眼）

（1） 測出正方形邊長 k，人眼高 L。將儀器豎直放置，使得細線 AD 緊貼正方形 OABC，眼置于 O ，調整角度，使得眼、A 點、物體最高點處于同一直線，記錄人位置為 M 以及細線與正方形某條邊的交點 E。

E 點可能：（1）在線段 OC 上（不含兩端點）；（2）在線段 BC 上（不含兩端點）；（3）恰好與 C 點重合。

（2）E、E’點組合統計如表1所示。

表1

3 公式推導

①當（1）（1）時，如圖2

圖2

已知：AO=A'O'=k FQ=L 測量出 OO'=MM'=m，OE=a，

O'E'=b ，由于重垂線，AE//A' E'//PQ。

設 M’Q=c PF=d

tan∠OPQ-tan∠O'PQ=m/d

∵OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ

②當（2）（1）時，如圖3

圖3

已知：AO=A'O'=k FQ=L，測量得 MM'=m,BE=a,O'E'=b,

由于重垂線，AE//A'E'//PQ；

設 M'Q=c PF=d

tan∠OPQ- tan∠O'PQ=m/d

∵OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ

∴90°-∠BAE=∠OAE=∠AEB=∠OPQ

③當（2）（2）時，如圖4

圖4

已知：AO=A'O'=k FQ=L，測量得 MM'=m，BE=a，B'E'=b，由于重垂線，AE//A'E'//PQ

設 M'Q=c PF=d

∵tan∠OPQ -tan∠O'PQ=m/d；

又因為OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ；

④當（2）（3）時，如圖5

圖5

已知：AO=A'O'=k FQ= L，測量得 MM'=m，BE=a，

由于重垂線，AE//A'E'//PQ；

設 M'Q=c PF=d；

因為=tan∠OPQ- tan∠O'PQ=m/d；

又因為OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ

所以tan∠OPQ- tan∠O'PQ=m/d；

⑤當（3）（1）時，如圖6

圖6

已知：AO=A'O'=k FQ= L，測量得 MM'=m， O'E'=a

由于重垂線，AE//A'E'//PQ；

設M'Q=c PF=d；

又因為tan∠OPQ-tan∠O'PQ=m/d；

OA⊥OC,O'A'⊥O'C',OF⊥PQ；

4 實際測試

因為只是粗略進行測量，我們決定，如果誤差在 20%以下，

就算成功。現以一次測量為例。

時間：2017 年 2 月 14 日下午 2：30

地點：北京密云二中

人員：寇天翊、齊勇

被測：第二教學樓從地面到二層樓頂的高度

過程：

第一步，用放繩子的方法測出樓的實際高度 H0=8.32m；

第二步，使用工具測量；

情況同（1）（1），測得

L=175cm，k=36cm,OO’=MM’=m=200cm，

OE=a=25.3cm，O’E’=b=15.6cm；

ΔH=0.85 誤差=0.85/8.32=10%

誤差容許范圍之內，成功此后，我們針對這幾種情況又進行了大量實驗，發現誤差均保持在±15%內。這對日常簡單測量已經足夠。

結論：日常情況下，公式推導和實際驗證均成立，新式測高方法成立，且具有可行性。

5 改進措施

第一點：眼睛、A點、物體最高點三點一線有偏差。

第二點：儀器不方便攜帶。

對于第一點，我們決定在 OA邊上沿射線 OA放置激光筆，利用激光進行校準。

對于第二點，我們找到了 k=36cm 的較好長度，可以兼顧小型與精確。